1、3.2简单的三角恒等变换(二),【自主预习】主题:辅助角公式asinx+bcosx= sin(x+)1. 能否作为同一个角的正弦(余弦)值和余弦(正弦)值?,提示:因为 所以 与能作为同一个角的正弦(余弦)值和余弦(正弦)值.,2.设 则asinx+bcosx的化简结果是什么?,提示:asinx+bcosx,3.设 则asinx+bcosx的化简结果是什么?提示:asinx+bcosx,通过以上探究过程,试着写出辅助角公式的两种形式:,【深度思考】结合教材P140例3你认为应怎样求函数f(x)=asinx+bcosx的最小正周期.第一步:_.第二步:_.,利用辅助角公式将函数f(x)化为,y=
2、Asin(x+)的形式,【预习小测】1.若sin ,则cos等于() 【解析】选C.cos=1-2sin2,2.函数f(x)=sinx-cosx,x 的最小值为()A.-2 B.- C.- D.-1【解析】选D.f(x)= 因为- x- ,所以f(x)min=,3.将下列各式化为Asin(x+)的形式(1)sin2x-cos2x=.(2) sinx+cosx=.,【解析】答案：,答案：,4.函数f(x)=sin(2x- )-2 sin2x的最小正周期是_.【解析】f(x)= sin 2x- cos 2x- (1-cos 2x)= sin 2x+ cos 2x- =sin(2x+ )- ,所以T
3、= =.答案：,【备选训练】求函数f(x)=sinxcosx+ cos2x的最小正周期和振幅.(仿照教材P140例3的解析过程),【解析】f(x)=sinxcosx+ cos2x= sin2x+ cos2x= 因为=2,所以周期T= 故最小正周期为,振幅为1.,【互动探究】1.在公式asinx+bcosx= sin(x+)中如何确定?提示:的值由tan= 来确定,所在的象限与点(a,b)所在的象限相同.,2.在公式asinx+bcosx= sin(x+)中,的值唯一吗?提示:不唯一,一般取(0,2)或(-,)内的角.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:三角恒等变换的步骤,【题型探究】类型一:辅
4、助角公式的应用【典例1】(2016长春高一检测)已知函数f(x)=asinxcosx- acos2x+ a+b(a0),(1)求函数的单调递减区间.(2)设x ,f(x)的最小值是-2,最大值是 ,求实数a,b的值.,【解题指南】先将函数式化为Asin(x+)+m的形式,再求单调区间和最值.,【解析】(1)f(x)=asinxcosx- acos2x+ a+b由 解得 故函数的单调递减区间为,(2)因为x ,所以 所以 又因为a0,所以f(x)min= a+b=-2,f(x)max=a+b= 解得a=2,b=,【延伸探究】1.本例中,若a0),且函数f(x)的最小正周期为,试讨论f(x)在区间
5、 上的单调性.,【解析】f(x)=4cosxsin 因为f(x)的最小正周期为,且0,从而有 =,=1,则f(x)=,若0x 则 当 即0x 时,f(x)单调递增;当 即 时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.,【规律总结】运用公式解决三角函数综合问题的思路,【补偿训练】(2013新课标全国卷)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cos=.,【解题指南】利用辅助角公式f(x)=asinx+bcosx 构造求解cos的值.,【解析】f(x)=sinx-2cosx= sin(x+),其中tan=-2,当x+=2k+ (kZ)时,函数
6、f(x)取得最大值,即=2k+ -(kZ).所以cos=cos =sin,又因为tan=-2,在第四象限,所以sin= 即cos=答案:,类型二:三角恒等变换在实际问题中的应用【典例2】点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,PAB=,问为何值时,四边形ABTP的面积最大?【解题指南】将四边形ABTP的面积表示为的三角函数,利用辅助角公式及三角函数的性质求解.,【解析】如图所示,因为AB为直径,所以APB=90,又AB=1,所以PA=cos,PB=sin.又PT切圆于P点,TPB=PAB=,所以S四边形ABTP=SPAB+STPB,= PAPB+ PTPBsin= sin
7、cos+ sin2= sin2+ (1-cos2)= (sin2-cos2)+ 因为0 ,所以 所以当2- ,即= 时,S四边形ABTP最大.,【规律总结】应用三角函数解决实际问题的步骤三角函数的实际应用多与最值有关,解决这类问题的一般步骤如下:,(1)审读题意,合理地选取“角”为自变量,建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理,通常要整理为y=Asin(x+)+b的形式.(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.,【巩固训练】福建沿海的超强台风过后,当地人民积极恢复生产,焊接工王师傅每天都很忙碌.今天他遇到了一个难题:如图所示,有一块扇形钢板,半径为1米,圆心角= ,施工要求按图中所画的那样,在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC,要求使裁下的钢板面积最大.,试问王师傅如何确定A的位置,才能使裁下的钢板符合要求?最大面积为多少?,【解析】连接OA,设AOP=,过A作AHOP,垂足为点H,在RtAOH中,OH=cos,AH=sin,所以BH= 所以OB=OH-BH=cos- sin,设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OBAH=sin=sincos- sin2=,由于0 ,所以 当 即= 时,Smax= 所以当A是 的中点时,所裁钢板的面积最大,最大面积为 平方米.,
