1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一),【自主预习】主题1:两角和的余弦公式1.由于公式C(-)对于任意,都成立,那么由cos(-)=coscos+sinsin如何得到两角和的余弦?提示:用-代替.,2.在公式C()中,的条件是什么?提示:,为任意角.,通过以上探究得到什么结论?用文字语言描述:两角和的余弦等于两角余弦之积与两角正弦之积的差.两角和的余弦公式:_.(C(+),cos(+)=coscos-sinsin,主题2:两角和与差的正弦公式1.根据公式C()能求sin 75的值吗?提示:可以,因为sin 75=cos 15=cos(45-30).,2.你能根据公式C()和诱导公式
2、推导出用任意角,的正弦、余弦值表示sin(+),sin(-)的公式吗?,提示:可以.sin(+)=cos =cos =cos cos+sin sin=sincos+cossin,sin(-)= = =sincos-cossin.,结合以上探究过程,试着写出两角和与差的正弦公式:S(+):sin(+)=_S(-):sin(-)=_,sincos+cossin,sincos-cossin,【深度思考】结合教材P129例3你认为应怎样利用和差角公式求值?第一步:_.第二步:_.,利用条件求出与角的正(余)弦值,代入和差角公式计算,【预习小测】1.cos78cos18+sin78sin18的值为(),
3、【解析】选A.cos78cos18+sin78sin18 =cos(78-18)=cos60= .,2.cos165等于(),【解析】选C.cos165=cos(180-15)=-cos15=-cos(45-30)=-(cos45cos30+sin45sin30)=- .,3.若cos=- , ,则cos =.,【解析】因为cos=- , 所以sin= 所以cos =coscos -sinsin 答案:-,4.cos71sin11-sin71cos11=.【解析】cos71sin11-sin71cos11=cos 71cos 79-sin 71sin 79=cos(71+79)=cos 150
4、=-cos 30=答案:,【备选训练】1.化简求值:(2)sin(+)cos-cos(+)sin.,【解析】,(2)sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)-=sin.,2.设 ,若sin= ,求sin .(仿照教材P129例3的解析过程),【解析】因为 ,是第二象限内的角,根据sin2+cos2=1,sin= ,其中cos0可得cos=- ,又根据两角和的正弦公式得sin =sincos +sin cos= sin+ cos=,【互动探究】1.将公式C(-),C(+)进行对比,两个公式有什么区别和联系?提示:两个公式的共同特点是“同名相乘,符号相反”,不同点是中间的连接符号不同.
5、,2.C()与诱导公式有什么关系?提示:令=2k(kZ), ,0可得到相应的诱导公式,因此诱导公式是和差角公式的特例.,3.将公式S(-),S(+)进行对比,两个公式有什么区别和联系?提示:两个公式的共同特点是“异名相乘,符号相同”,不同点是中间的连接符号不同.,4.sin(-)与sin(-)相等吗?在利用公式S(-)时要注意什么?提示:sin(-)sin(-).在利用公式S(-)时要注意作差顺序.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:两角和与差的正(余)弦公式的一般使用方法(1)正用:把sin(),cos(),从左向右展开运用.(2)逆用:公式的右边化简成左边的形式,实际上是一个“化一”的过程
6、.当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用.,(3)变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变用;二是角的变用,也称为角的拆分变换,如=(+)-,2=(+)+(-).,【题型探究】类型一:利用和(差)角公式化简【典例1】化简下列各式:,【解题指南】(1)直接利用两角和(差)公式展开即可.(2)将2+化为(+)+,然后利用两角和的正弦公式展开化简即可.,【解析】(1)原式=sinxcos +cosxsin +2sinxcos -2cosxsin - cos cosx- sin sinx= sinx+ cosx+sinx- cosx+ cosx- sinx,(2)原式=,【规律总结】化简三角函
7、数式的标准和要求(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少.(3)使三角函数式的次数尽可能低.(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.,【巩固训练】化简求值: (1)sin14cos16+sin76cos74.(2)sin(54-x)cos(36+x)+cos(54-x)sin(36+x).,【解析】(1)原式=sin14cos16+sin(90-14)cos(90-16)=sin14cos16+cos14sin16=sin(14+16)=sin30= .(2)原式=sin(54-x)+(36+x)=sin90=1.,(3)方法一:原式=,方法二:原式=,类型二
8、:给值(式)求值问题【典例2】(2016邢台高一检测)已知,【解题指南】由 =+知,可先求sin(+),再根据公式求sin(+).,【延伸探究】1.本例中条件不变,试求cos(-)的值.【解析】由例题知,2.若把本例中的条件“ ”改为“ ”,其他条件不变,则sin(+)的值是多少?,【规律总结】条件求值问题的原则和基本思路(1)“三看”原则:一看角,注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧;二看名,恰当利用同角三角函数关系进行转换,尽量减少函数名称;三看式子的结构与特征,恰当选择公式.,(2)基本思路:化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去求值;化分子、分母出现公约数进
9、行约分求值.,【拓展延伸】1.coscos,sinsin和cos(+),cos(-)的关系coscos= cos(+)+cos(-),sinsin= cos(-)-cos(+).,2.sincos,cossin和sin(+),sin(-)的关系sincos= sin(+)+sin(-),cossin= sin(+)-sin(-).,【补偿训练】已知cos(+)= ,cos(-)=- , +2, -,求cos2的值.,【解析】因为cos(+)= , +2,所以sin(+)= 因为cos(-)=-,所以cos2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-),类型三:给值
10、(式)求角问题【典例3】(1)(2016武汉高一检测)设,为钝角,且sin= ,cos=- ,则+的值为(),(2)(2016泸州高一检测)在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,则ABC的形状为.【解题指南】(1)根据+的范围,确定求cos(+).(2)根据条件的结构组成,可使用两角和的余弦公式化简,再根据三角函数的符号判断角的大小.,【解析】(1)选C.因为,为钝角,所以由sin= ,得,所以cos(+)=coscos-sinsin,又因为+2,所以+= .,(2)由sinAsinB0,所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)0,故角C为钝角.所以ABC的形状为钝角三角形.答案:钝角三角形,【规律总结】解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,)或(,2)时,选取求余弦值,当所求角范围是 或 时,选取求正弦值.,【巩固训练】已知cos= ,sin(+)= , 0 ,0 ,求角的值.,【解析】因为 所以sin= 又因为0 ,所以0+,因为sin(+)= sin,所以cos(+)= 所以sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin= 又因为0a.答案:bca,
