1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二),【自主预习】主题1:正弦、余弦函数的单调性1.观察正弦函数y=sinx,xR的图象,回答问题:,(1)函数y=sinx,x 的单调递增区间是,单调递减区间是.答案:,(2)结合正弦函数的周期性,它还有哪些单调区间?用文字语言描述:在 及 的每一个端点上分别加上2,4,6都是它的单调区间.,正弦函数的单调性:单调增区间: _ 单调减区间: _,2.观察余弦函数y=cosx,xR的图象,回答问题:(1)函数y=cosx,x-,的单调递增区间是,单调递减区间是.答案:-,00,(2)结合余弦函数的周期性,类比正弦函数的单调性总结得出余弦函数的单调性:单调增区
2、间:_单调减区间: _,-+2k,2k(kZ),2k,2k+(kZ),主题2:正弦、余弦函数的最值观察正弦曲线、余弦曲线,回答下面的问题:正弦曲线:,余弦曲线:,1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?提示:存在.正弦、余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1.,2.在何处正(余)弦函数取得最大值和最小值?用文字语言描述:过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得最大(小)值.,正弦、余弦函数的最值:(1)正弦函数:当x= 时,正弦函数取最大值1当x= 时,正弦函数取最小值-1,(2)余弦函数:当
3、x=_时,余弦函数取最大值1当x=_时,余弦函数取最小值-1,2k(kZ),+2k(kZ),【深度思考】结合教材P39例5你认为求形如y=Asin(x+)(0,A0)的函数单调性的一般步骤是什么?第一步,_;,换元,令=x+,第二步,_;第三步,_;第四步,_.,解出x的取值范围,确定y=f(x)的单调区间,令- +2k +2k,kZ,+2k +2k,kZ,【预习小测】1.下列函数在 上是增函数的是()A.y=sinx B.y=cosxC.y=sin2x D.y=cos2x【解析】选D.y=cos2x在 上为减函数,在上为增函数.,2.函数y=cos2x 的值域是()A.-2,2 B.-1,1
4、C. D. 【解析】选C.由 x ,得 2x 所以- cos2x .,3.函数y=sin(x+)在 上的递增区间为.【解析】由2k- x+2k+ ,kZ得因为x ,故增区间为 .答案:,4.若cosx=2m-1有意义,则m的取值范围是.【解析】由于-1cosx1,所以-12m-11,解得0m1.答案:0,1,【备选训练】求函数y=2cos 的单调减区间.(仿照教材P39例5解析过程),【解析】令z= ,函数y=2cosz的单调减区间是2k,2k+,kZ,由2k 2k+,得4k+ x4k+ ,kZ,所以y=2cos 的单调减区间为(kZ).,【互动探究】1.正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数
5、在定义域上是减函数,这种说法对吗?,提示:不正确,正弦函数在每个区间 (kZ)上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数;余弦函数在每个区间2k,2k+(kZ)上是减函数,并不是在整个定义域上是减函数.,2.已知y=asinx+b(a0)xR,如何求该函数的最大、最小值?提示:当a0时,ymax=a+b,ymin=-a+b;当a0,0)的最值求法形如y=Asin(x+)(A0,0)的函数的最值通常利用“整体代换”,即令x+=z,将函数转化为y=Asinz的形式求最值.,【题型探究】类型一:正弦、余弦函数的单调性及应用【典例1】(1)(2016包头高一检测)下列关系式中正确的是()A.sin11c
6、os10sin168B.sin168sin11cos10C.sin11sin168cos10D.sin168cos10sin11,(2)(2016巢湖高一检测)已知函数f(x)= ,xR.求f 的值;求函数f(x)的单调递增区间.,【解题指南】(1)先将函数名化为同名,再将角度转化到同一单调区间内判断.(2)直接代入求解;通过解不等式- +2k2x+ +2k,kZ求函数f(x)的增区间.,【解析】(1)选C.由cos10=sin80,sin168=sin12,根据y=sinx在090范围单调递增,所以sin11sin12sin80.即sin11sin1680)单调区间求解的注意事项(1)当0的
7、形式.(2)当0时,其单调增区间和减区间分别由以下不等式确定:- +2kx+ +2k; +2kx+ +2k,kZ.,【巩固训练】1.比较下列各组数的大小.(1)sin194与cos160.(2)cos ,sin ,-cos .,【解析】(1)sin194=sin(180+14)=-sin14,cos160=cos(90+70)=-sin70.因为0-sin70,所以sin194cos160.,(2)因为0 0,0,直线 是函数f(x)=sin(x+)图象的两条相邻的对称轴,求和的值.,【解题指南】(1)分别求出其对称中心判断.(2)通过相邻对称轴获得函数的周期,从而确定的值,将其中一条对称轴方
8、程代入函数对称轴方程公式,求得值.,【解析】(1)选A.y=cos =-sin2x,满足题意;B中y=sin =cos2x,其对称中心为 (kZ),最小正周期为;C中,其对称中心为 (kZ),最小正周期为.D中,其对称中心为 (kZ),最小正周期为2.故A正确.,(2)由题意知T=2 =2,故=1.所以f(x)=sin(x+),令x+=k+ (kZ),将x= 代入可得=k+ (kZ),又因为0,所以= .,【规律总结】正弦函数、余弦函数的对称中心与对称轴(1)正弦函数的图象与x轴的每一个交点(k,0)(kZ)都是它的对称中心;过最值点且垂直于x轴的直线x=k+ (kZ)都是它的对称轴.,(2)余弦函数的图象与x轴的每一个交点 (kZ)都是它的对称中心;过最值点且垂直于x轴的直线x=k(kZ)都是它的对称轴.,【巩固训练】1.(2016天津高一检测)函数y=cos 的图象的一条对称轴方程为(),【解析】选A.因为函数y=cos 的图象的对称轴是过图象的顶点且垂直于x轴的直线,所以对称轴方程为 即 kZ,当k=0时,2.函数y=2sin(3x+) 的一条对称轴为x= ,则=(),【解析】选C.由y=sinx的对称轴为x=k+ (kZ),可得3 +=k+ (kZ),则=k+ (kZ),又| ,所以k=0,得= .,