1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二),【知识提炼】正弦函数、余弦函数的图象和性质,-1，1,-1，1,2k-，2k,2k，2k+,2k,2k+,【即时小测】1.判断(1)存在角，使得cos=1.1.()(2)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.()(3)在区间0，2上，函数y=cosx仅当x=0时取得最大值1.(),【解析】(1)错误.因为-1cos1，所以不存在角使cos=1.1.(2)错误.正弦函数、余弦函数在定义域内都不具有单调性.(3)错误.在区间0，2上，函数y=cosx当x=0与x=2时取得最大值1.答案：(1)(2)(3),2.在下列区间中，使函数y=sinx为增函数的
2、是()A.0， B.C. D.，2【解析】选C.由正弦曲线知y=sinx在 上是增函数.,3.函数y=3-2cosx的最大值为_，此时x=_.【解析】因为-1cosx1，所以当cosx=-1时ymax=3-2(-1)=5.此时x=2k+，kZ.答案：52k+，kZ,4.函数 的值域为_.【解析】画出函数 的图象，如图：由图象可知，当x= 时ymax=1，当x= 时，ymin=所以函数 的值域为答案：,5.函数y=cosx在区间-，a上为增函数，则a的范围是_.【解析】y=cosx在区间-，0上为增函数，故由题意知-，a-，0，所以-0，0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令x+=Z，将函数
3、转化为y=AsinZ的形式求最值.,【题型探究】类型一 正弦函数、余弦函数的单调性【典例】(2015淮安高一检测)已知函数f(x)= sin( +2x)+1，求函数f(x)的单调递增区间.【解题探究】本例中函数与以下三个函数有什么关系？u= +2x；t=sinu；y= t+1提示：代入，代入可得本题中函数.,【解析】令= +2x，函数y=sin 的单调递增区间为- +2k， +2k，kZ，由得所以函数f(x)= 的单调递增区间是- +k， +k，kZ.,【延伸探究】1.(变换条件)将本例函数改为“f(x)= ”，结果又如何？,【解析】f(x)=令t=2x- ，函数y=cos t的单调递增区间为
4、-+2k，2k，kZ.由-+2k2x- 2k，得所以函数f(x)= 的单调递增区间为 +k， +k，kZ.,2.(增加条件)本例函数后增加x0，其他条件不变，结果又如何？【解析】设A=0，画数轴可知AB=所以函数f(x)= (x0，)的单调递增区间为0， 和 ，.,3.(变换条件、改变问法)本例函数改为“y=log3sin(2x+ )”，求其单调递减区间.【解析】为使函数解析式有意义，须有sin(2x+ )0.因为函数y=log3x在(0，+)为增函数，所以原函数的单调递减区间就是y=sin(2x+ )的递减区间，且要满足sin(2x+ )0.由 +2k2x+ +2k，kZ，,得 +kx0时，
5、把x+整体放入y=sin x或y=cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；放入y=sin x或y=cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间.,(2)当A”或“ .2典例2中为比较两个数的大小，首先要将这两个数变为什么形式？用什么公式变形？提示：用诱导公式变形为都是正弦或都是余弦的形式.,【解析】1.选B. ，为锐角三角形的两个内角，+ ， -，(0， ) ， -(0， ) ，所以cos ,【方法技巧】比较两个三角函数值的大小的步骤(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数.(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间.(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论,
6、【变式训练】比较大小：cos(-508)_cos(-144).(填“”“cos 36，所以-cos 32-cos 36，即cos(-508)cos(-144).答案：0)的最大值为 ，最小值为(1)求a，b的值.(2)求函数g(x)=-4asin(bx- )的最小值并求出对应x的集合.,【解题探究】1.典例1中的函数是由哪两个函数复合而成的？提示：由t=cos x和y=t2+3t+2复合而成的.2.典例2中，cos(2x+ )的最大值、最小值与y=a-bcos(2x+ )的最大值、最小值有什么关系？提示：由于-b0，所以-b0，所以a= ，b=1.,(2)由(1)知：g(x)=-2sin(x-
7、 )，因为sin(x- )-1，1，所以g(x)-2，2，所以g(x)的最小值为-2，对应x的集合为x|x=2k+ ，kZ.,【延伸探究】将本例1中的函数改为f(x)=-cos2x-2asin x，(x0，aR)，求其最小值.【解析】f(x)=-(1-sin2x)-2asin x=sin2x-2asin x-1=(sin x-a)2-a2-1由x0，知sin x0，1.若a1，则当sin x=1时，f(x)min=1-2a-1=-2a；若0a1，则当sin x=a时，f(x)min=-a2-1；若a0，则当sin x=0时，f(x)min=-1.,【方法技巧】求三角函数值域或最值的常用方法(1
8、)可化为单一函数y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k，其最大值为|A|+k，最小值为-|A|+k(其中A，k，为常数，A0，0).(2)可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A0)，最大、最小值可利用二次函数在区间-1，1上的最大值、最小值的求法来求.(换元法),【变式训练】函数y=sin x在区间0，t上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值是( )A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选C.因为函数y=sin x的最小正周期为 ，所以要使函数y=sin x在区间0，t上至少取得2个最大值，则t =7.5，故正整数t的最小值是8.,【补
9、偿训练】已知函数f(x)= 的定义域是0， ，值域是-5，1，求a，b的值.【解析】因为0x ，所以所以当a0时， 解得当a0时， 解得因此a=2，b=-5或a=-2，b=1.,规范解答 y=Asin(x+)+b型函数的最大(小)值问题【典例】(12分)(2015北京高一检测)函数f(x)=2sin(2x- )的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值.(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,【审题指导】(1)要求f(x)的最小正周期可直接利用公式：要求x0，y0，关键是确定函数f(x)何时取得最大值及最大值是多少.(2)要求f(x)在区间 上的最大(小)值，
10、先要求出2x- 的取值范围，再结合正弦函数的图象，求f(x)的最大(小)值.,【规范解答】(1)f(x)的最小正周期T= =，2分当2x- =2k+ ，kZ时，sin(2x- )=1.f(x)取得最大值2.此时x=k+ ，kZ.4分结合图象可知，6分,(2)由x得2x- - ，0，7分所以当sin(2x- )=-1，f(x)取得最小值-2.9分当2x- =0，即x= 时，sin(2x- )=0，f(x)取得最大值0.11分综上可知，f(x)在区间 上的最大值为0，最小值为-2.12分,【题后悟道】1.明确函数的单调性求y=Asin(x+)+b型函数的最值通常有以下三步：(1)求=x+的取值范围.(2)求t=sin 的取值范围.(3)求y=At+b的最值，关键是明确以上三个函数的单调性，如本例中=2x- 在 上为增函数，t=sin 在 上为减函数，在 上为增函数，y=2t在R上为增函数.,2.注意函数图象的应用求函数最大(小)值的基本方法是借助函数的图象，找出函数的最高点和最低点，就可求出函数的最大(小)值，如本例由2x- 0，求sin(2x- )的最值时，应借助正弦曲线求出最大(小)值.,
