1、1.2.2同角三角函数的基本关系,【自主预习】主题:同角三角函数的基本关系1.写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系.,提示:下列角的三角函数值为:,由表可看出:sin230+cos230=1, sin245+cos245=1, sin260+cos260=1,2.从以上的过程中,你能发现什么一般规律?你能否用代数式表示这些规律?用文字语言描述:_.,同一角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切,同角三角函数的基本关系:(1)平方关系:_.(2)商数关系: _(k+ ,kZ).,sin2+cos2=1,【深度思考】结合教材P19例6你认为如何根据某一角的某一三角函数值,
2、求该角的另外的三角函数值?第一步:_.第二步:_.,确定该角的象限,列方程由sin2+cos2=1,tan =,建立方程或方程组求解,【预习小测】1.sin22015+cos22015=()A.0 B.1 C.2 015 D.2 015【解析】选B.因为sin2+cos2=1,所以sin22015+cos22015=1.,2.已知sin= ,且是第二象限角,则tan=(),【解析】选C.由sin= ,是第二象限角,所以cos=所以tan=,3.如果角满足sin+cos= ,那么tan+ 的值是.【解析】sin+cos= ,则sincos= .又tan+= ,故tan+ =2.答案:2,4.化简
3、 的结果是.【解析】因为 故cos0,所以答案:,5.已知 则 =.【解析】答案:,【备选训练】已知tan= ,求sin,cos的值.(仿照教材P19例6的解析过程),【解析】因为tan= ,所以即cos=3sin.因为sin2+cos2=1,所以sin2+(3sin)2=1,所以sin2= .,又tan= 0,所以是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin= ,cos=3sin= .当是第三象限角时,sin=- ,cos=3sin=- .,【互动探究】1.同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么?提示:对于平方关系只需同角即可;对于商的关系第一保证是同角,第二保证k+ (kZ).,2.
4、当角的终边与坐标轴重合时,sin2+cos2=1也成立吗?提示:成立,在使函数有意义的前提下,对任意角,sin2+cos2=1都成立.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:1.由sin或cos求tan的方法由平方关系求cos或sin,再由商数关系求tan.,2.由tan求sin或cos的方法由商数关系将sin用cos表示,再代入平方关系,求出cos及sin.注意事项:(1)关系式中的角一定是同角,否则公式不成立.,(2)同角不要拘泥于形式可将换成 或2等.(3)注意公式中的隐含条件.,【题型探究】类型一:利用同角三角函数的基本关系求值【典例1】(1)(2016杭州高一检测)若cos=- ,且 ,
5、则tan=.(2)(2016汕头高一检测)若cos+2sin=- ,则tan=.,【解题指南】(1)由cos=- ,根据sin2+cos2=1,求出sin,从而得tan.(2)将等式两边平方,再将分母1换为sin2+cos2,转化为关于tan的方程求解.,【解析】(1)由cos=- , ,所以sin= 所以tan=答案:,(2)将cos+2sin=- 两边平方得:cos2+4sincos+4sin2=5,即 =5,分子、分母同除以cos2得: =5,所以tan2-4tan+4=0,解得tan=2.答案:2,【延伸探究】1.若题(2)条件不变,求 的值.【解析】将cos+2sin=- 两边平方得
6、:cos2+4sincos+4sin2=5,即 =5,分子、分母同除以cos2得: =5,所以tan2-4tan+4=0,解得tan=2.,2.若题(2)中条件“cos+2sin=- ”改为“sincos= ”,其他条件不变,则tan=.,【解析】由sincos= ,即所以所以tan2-4tan+1=0,解得tan=答案:2,【规律总结】三角函数求值的常见类型及常用方法(1)已知正切值求正弦、余弦值可利用方程组: 求解.(2)已知正弦值或余弦值,求其他值,可先由sin2+cos2=1求出余弦值或正弦值,再利用 求正切值.,(3)形如 或 的求值,将分子分母同除以cos或cos2,化成关于tan
7、的式子,从而达到求值的目的.(4)形如asin2+bsincos+ccos2的求值,可看成分母是1,利用1=sin2+cos2进行代替后分子分母同时除以cos2,得到关于tan的式子,从而可以求值.,【补偿训练】已知sin= ,并且是第二象限角,求cos和tan.【解析】因为sin= ,且是第二象限角,所以 所以,类型二:利用同角三角函数的基本关系化简三角函数式【典例2】(1)化简:sin2+sin2-sin2sin2+cos2cos2=.(2)化简:,【解题指南】(1)通过提公因式,借助于sin2+cos2=1化简.(2)将“1”化为sin210+cos210求解.,【解析】(1)原式=si
8、n2(1-sin2)+sin2+cos2cos2=sin2cos2+cos2cos2+sin2=(sin2+cos2)cos2+sin2=1.答案:1,(2)原式=,【规律总结】利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注意事项(1)化简的标准:尽量使函数种类最少,次数最低,而且尽量化成积的形式;能求出值的要求出值;带根号的三角函数式尽量开出;尽量使分母不含三角函数.,(2)注意事项:在化简三角函数时,应注意“1”的代换,如sin2+cos2=1.对于函数种类较多的式子,化简时,常用“切化弦”法.,【巩固训练】1.若角是第二象限角,化简: 【解析】原式= 因为是第二象限角,所以sin0,cos0,所以原式=,2.化简: 【解析】原式=,类型三:利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式【典例3】求证:【解题指南】对左边通分,向右化简,注意“1”的代换.,【证明】,【规律总结】证明简单三角恒等式的思路及常用技巧(1)思路:从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则;证明左右两边等于同一个式子;证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1;,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.(2)常用技巧:切化弦,整体代换,“1”的代换等.,【巩固训练】1.求证:【证明】左边=所以原式成立.,2.求证:sin(1+tan)+cos【证明】左边=所以原式成立.,
