1、1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象,【自主预习】主题:正弦函数与余弦函数的图象1.观察正弦曲线y=sinx,x0,2的图象,回答下面的问题:,在正弦曲线y=sinx,x0,2的图象中起关键的点有哪些?提示:关键的点有五点:即(0,0), ,(,0)， ，(2,0).,2.观察余弦曲线y=cosx,x0,2的图象,回答下面的问题:在余弦函数y=cosx,x0,2的图象中,关键的点有哪些?,提示:关键的点有五点:即(0,1), ,(,-1), ,(2,1).,通过以上探究,总结得到什么结论?用文字语言描述:在0,2上,y=sinx与y=cosx图象上 的最高点、最低点、图
2、象与坐标轴的 交点起着关键作用,这五个点描出后 图象的形状就基本确定了.,五点法作图:先找出五个关键点再用光滑曲线连接起来, 就得到简图的方法称为“五点法”.正弦曲线、余弦曲线:,(1)正弦曲线如图所示:正弦函数的图象叫做正弦曲线.,(2)余弦曲线将正弦曲线向_平移_个单位,得到余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线.,左,【深度思考】结合教材P32例1你认为怎样画三角函数的图象?第一步:_;第二步:_;第三步:_.,按五个关键点列表,描点,用光滑的曲线将这些点连接起来,【预习小测】1.已知正弦函数过点 ,则m的值为()A. B. C. D.1【解析】选A.因为sin ,所以m= .,2.在“五点
3、法”中,正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于()A. B. C. D.2【解析】选B.由五点作图法知,最低点横坐标为 ,最高点横坐标为 ,故它们的差为.,3.用“五点法”作y=2sin2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是() 【解析】选B.由“五点法”知 所以 .故选B.,4.用五点法作y=1+cosx,x0,2的图象时,其中第二个关键点的坐标为.【解析】由五点作图法的规则知第二个点坐标为 .答案:,5.函数y=sinx的图象和y=cosx的图象在0,2内的交点坐标为.【解析】由sinx=cosx且x0,2,所以 或 当 时, 当 时 答案: 或,【备选训练】作出y=2-sinx
4、,x0,2的图象.(仿照教材P32例1解析过程)【解析】找出五点,列表如下:,描点作图(如图所示).,【互动探究】1.y=sinx,x0,2的图象与y=sinx,x2,4的图象有何关系?提示:它们的形状相同,位置不同,将y=sinx,x0,2的图象向右平移2个单位与y=sinx,x2,4的图象重合.,2.观察正弦曲线y=sinx,xR,你能发现哪些变化规律?提示:(1)正弦曲线夹在两条直线y=-1和y=1之间.(2)每2个单位长度重复出现.(3)正弦曲线在x=k(kZ)附近,曲线“陡”一些;在x=k+ (kZ)附近,曲线“平缓”一些.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:正(余)弦函数图象的作法
5、(1)几何法:就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法,该方法作图较为精确,但画图时较为烦琐.,(2)五点法:就是利用五个关键点作图的方法,是我们作三角函数图象的基本方法,在要求精度不太高的情况下常用此法.作图时要注意五个关键点的确定.,【题型探究】类型一:“五点法”作正弦、余弦函数的图象【典例1】作出下列函数在-2,2上的图象.(1)y=sinx-1.(2)y=2+cosx.,【解题指南】先在0,2范围内列出五个关键点的坐标,描点连线得在0,2范围内图象,再由对称性得-2,2范围内的图象.,【解析】(1)先作出y=sinx-1在x0,2上的图象.列表:,描点连线可得y=si
6、nx-1在0,2上的图象(如图所示).再向左平移2个单位,即得到y=sinx-1在-2,2上的图象.,(2)先作出y=2+cosx在x0,2上的图象.列表:,描点连线可得y=2+cosx在0,2上的图象(如图所示).再向左平移2个单位,即得到y=2+cosx在-2,2上的图象.,【规律总结】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A0)或y=Acosx+b(A0)在0,2上的简图的步骤(1)列表:,(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1), ,(,y3), ,(2,y5).(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.,【巩固练习】1.函数f(x)=asinx+b的图象如图所
7、示,则f(x)的解析式为 (),A.f(x)= sinx+1B.f(x)=sinx+C.f(x)= sinx+1D.f(x)= sinx+,【解析】选A.将图象中的特殊点代入f(x)=asinx+b,不妨将(0,1)与 代入得 解得b=1,a=0.5,故f(x)= sinx+1.,2.利用“五点法”作出函数y=-1-cosx(0x2)的简图.【解析】(1)取值列表如下:,(2)描点连线,如图所示.,类型二:利用正、余弦曲线解简单的三角不等式【典例2】求函数f(x)=lg sinx+ 的定义域.【解题指南】先写出使函数有意义的条件,然后借助正弦曲线,解不等式组,求原函数定义域.,【解析】由题意,
8、得x满足不等式组即 作出y=sinx的图象,如图所示.结合图形可得x-4,-)(0,).,【延伸探究】1.本题中将“函数f(x)=lg sinx+ ”改为“函数f(x)=lg sinx+ ”求定义域.【解析】由题意知 即0sinx .作y=sinx,xR的图象如图所示:,在0,2范围内,由图知满足0a(或cosxa)的三个步骤(1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象.(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. (3)确定sinxa(或cosxa)的解集.,提醒:解三角不等式sinxa一般先利用图象求出x0,2范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写
9、出原不等式的解集.,【补偿训练】函数y= 的定义域是.【解析】要使函数有意义,则2cosx+10,即cosx- ,作y=cosx,xR的图象如图所示:,在0,2范围内,由图知满足cosx- 的x的取值范围是 ,故在R上x应满足 (kZ).答案: kZ,类型三:正、余弦函数图象的应用【典例3】(1)方程2x=cosx的解的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多个,(2)作出函数y=2+sinx,x0,2的简图,并回答下列问题:观察函数图象,写出y的取值范围;若函数图象与y= 在x0,上有两个交点,求a的取值范围.,【解题指南】(1)画出函数y=2x与y=cosx的图象,根据图象判断交点的个数,即
10、为方程解的个数.(2)利用描点作图法先作图象,再观察得y的取值范围;根据y= 与y=2+sinx在0,上有两个交点,建立关于a的不等关系求解.,【解析】(1)选D.设f(x)=2x,g(x)=cosx,在同一坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图由图知f(x)=2x与g(x)=cosx交点个数有无穷多个,所以方程2x=cosx的解有无穷多个.,(2)列表:,描点、连线,如图.,由图知,y1,3.由图知,当2 3时,函数图象与y= 在0,上有两个交点,即-5a-3.故a的取值范围是(-5,-3.,【规律总结】方程根(或个数)的两种判断方法(1)代数法:直接求出方程的根,得到根的个数.(2)几
11、何法:方程两边直接作差构造一个函数,作出函数的图象,利用对应函数的图象,观察与x轴的交点个数,有几个交点原方程就有几个根;,转化为两个函数,分别作这两个函数的图象,观察交点个数,有几个交点原方程就有几个根.,【巩固训练】1.函数y=sinx+2|sinx|,x0,2的图象与直线y=的交点共有个.【解题指南】先将函数y=sinx+2|sinx|化为然后画出其图象,利用图象判断交点个数.,【解析】函数y=sinx+2|sinx|=在同一坐标系中画出两函数的图象,如图所示,由图知两图象的交点共有4个.答案:4,2.判断方程 -cosx=0的根的个数.【解题指南】把研究方程 -cosx=0根的个数问题,转化为判断函数y= 与y=cosx图象交点个数问题.,【解析】设f(x)= ,g(x)=cosx,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图:由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程 -cosx=0有三个根.,
