1、1.6三角函数模型的简单应用,类型一:三角函数在物理中的应用【典例1】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为,(1)作出函数的图象.(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?,【解题指南】(1)先依关键点列出对应值表,再描点连线得图象.(2)将t=0代入函数关系式 求出s即可.,【解析】(1)列表,描点连线再利用周期性将图象向右平移得t0,+)上的图象.,(2)因为当t=0时,s=6sin =3,所以此时离开平衡位置的距离是3cm.,【延伸探究】1.本例中“求单摆开始摆动(t=0)时离开平衡位置的距离”若换为“单摆摆动到最
2、右边时离开平衡位置的距离又是多少呢?”【解析】当单摆摆动到最右边时,该点离开平衡位置的距离最大,此时最大距离为6.,2.本例条件不变,试求单摆来回摆动一次需要多长时间?【解析】因为 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.,【规律总结】三角函数解决物理问题的三个关键量(1)物体运动的初始位置,即初相.(2)完成一次运动需要的时间,即周期.(3)离开平衡位置的最大位移,即振幅.,【补偿训练】已知电流I与时间t的关系为I=Asin(t +).(1)如图所示的是I=Asin(t+) 在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(t+).,(2)如果t在任意一段 秒的时间内,电流I=Asin(t+)都
3、能取得最大值和最小值,求的最小正整数值是多少?,【解析】(1)由图知A=300,设 则周期T=2(t2-t1)= 所以= =150.又当t= 时,I=0,即 而 故所求的解析式为,(2)依题意,周期 所以300.而300942.48,又N+,故所求最小正整数=943.,类型二:三角函数在生活中的应用【典例2】(1)(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(),A.5 mB.6 mC.8 mD.10 m,(2)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+
4、)+B 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低为5000元.根据以上条件可确定f(x)的解析式为_.,【解题指南】(1)先由图知f(x)的最小值为2,从而得出k的值,再求最大值.(2)由最大值及最小值确定A,B的值,再由 =9-3确定的值,再将(3,9000)代入解析式,求出.,【解析】(1)选C.由图知 =-1,函数取得最小值2,即3(-1)+k=2,所以k=5.因此函数的最大值为31+5=8.故水深最大值为8m.,(2)作出函数简图如图所示,由题意,知A=2000,B=7000, T=2(9-3)=12,所以 将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则
5、有 所以=0.故f(x)=2000sin x+7000(1x12,xN*).,答案:f(x)=2000sin x+7000(1x12,xN*).,【规律总结】解三角函数应用问题的基本步骤(1)审清题意:读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景,提炼出相应的数学问题.,(2)建立函数模型:整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,即建立三角函数模型.(3)解答函数模型:利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型,求得结果.(4)得出结论:将所得结论翻译成实际问题的答案.,【巩固训练】1.某人的血压满足函数式f(t
6、)=24sin160t+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A.60B.70C.80D.90,【解析】选C.因为f(t)=24sin160t+110.所以 所以此人每分钟心跳的次数为,2.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin160t,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题:,(1)求函数p(t)的周期.(2)求此人每分钟心跳的次数.(3)画出函数p(t)的草图.(4)求出此人的血压在
7、血压计上的读数.,【解题指南】(1)利用T= 求周期.(2)f= (3)用五点作图法画出函数p(t)的草图.(4)此人的血压在血压计上的读数是血压的最大值与最小值.,【解析】(1)由于=160,代入周期公式 可得 (min),所以函数p(t)的周期为 min.,(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f= =80(次).(3)列表:,描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:,(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.,拓展类型:根据数据拟合函数【典例】某港口水深y(米)是时间t(0t24,单位:小时)的函数,下面是水深数据:,据上述数据描成的曲线如图所示,经拟
8、合,该曲线可近似的看成正弦函数模型y=Asint+B的图象.,(1)试根据数据表和曲线,求出y=Asint+B的解析式.(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间),【解析】(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asin+B的一个周期为12小时,因此 又ymin=7,ymax=13.所以A= (ymax-ymin)=3,B= (ymax+ymin)=10.所以函数的解析式为y=3sin t+10(0t24).,(2)
9、由题意,水深y4.5+7,即y=3sin t+1011.5,t0,24,所以 所以t1,5或t13,17,所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.,【规律总结】数据拟合的通法(1)处理的关键:数据拟合是一项重要的数据处理能力,解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化,而散点图在这里起了关键作用.(2)一般方法:数据对作散点图确定拟合函数解决实际问题.,【巩固训练】为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费严重,为
10、了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并有以下规律:,每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.,(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?,【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+ B(A0,0,0|),由得T=12,所以 由可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故A=200;,由可知,f(x)在2,8上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,又0|,所以 所以f(x)=,(2)由条件知 即 所以 所以12k+6x12k+10,kZ,因为kN*,1x12,所以x=6,7,8,9,10,所以只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.,
