1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算,【自主预习】主题1:平面向量的正交分解及坐标表示1.在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量对e1,e2的分解是唯一的吗?提示:由平面向量的基本定理知向量对e1,e2的分解是唯一的.,2.在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量 ,根据平面向量基本定理, =xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?提示:相同.,3.如果向量 也用(x,y)表示,那么这种向量 与实数对(x,y)之间是否一一对应?提示:一一对应.,结合以上探究,总结平面向量的正交分解及坐标表示:(1)正交分解
2、:把一个向量分解为两个_的向量.(2)平面向量的坐标表示基底:取与x轴、y轴方向相同的两个_i,j作为基底;,互相垂直,单位向量,表示:对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=_结论:有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.其中,x叫做a在_上的坐标,y叫做a在_上的坐标,_叫做向量a的坐标表示.,xi+yj,x轴,y轴,(x,y),主题2:平面向量的坐标运算1.设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b,a(R)如何分别用基底i,j
3、表示?,提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j,a=(x1i+y1j)=x1i+y1j.,2.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量 的坐标是什么?一般地,一个任意向量的坐标如何计算?提示: =(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.,用文字语言描述:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差),用符号语言描述(1)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数,那么a+b=_
4、;a-b=_;a=_.,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)则 =(x2,y2)-(x1,y1)=_,即一个向量的坐标等于该向量的_的坐标减去_的坐标.,(x2-x1,y2-y1),终点,始点,【深度思考】结合教材P96例2在平面直角坐标系中你认为应怎样求向量a的坐标?,第一步:_;第二步:_;第三步:_.,将向量a的始点移至坐标原点,找出以x轴正向为始边,向量a所在射线为终,边的角,根据x=rcos,y=rsin(r为向量的模)求终,点坐标,即为向量a的坐标,【预习小测】1.如图所示,i,j分别是与x轴、y轴正方
5、向相同的单位向量,则a的坐标为()A.(-3,3) B.(-1,1)C.(-2,2) D.(2,-2),【解析】选C.因为B(-1,1),A(-3,3),所以a= =(-2,2).,2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于()A.(-2,1) B.(2,-1)C.(2,0) D.(4,3)【解析】选B.b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).,3.已知 =(-2,4),则下面说法正确的是()A.A点的坐标是(-2,4)B.B点的坐标是(-2,4)C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4)D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)【解析】选D.当A是原点时,B点的坐标与向量
6、 的坐标相同.,4.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a=.,【解析】在OAP中,|OP|=|a|=4,POA=30,所以|PA|=2,|OA|=2 ,故a=2 i+2j.答案:2 i+2j,5.已知a=(2,1),b=(-1,4),则2a-3b=.【解析】2a-3b=2(2,1)-3(-1,4)=(4,2)-(-3,12)=(7,-10).答案:(7,-10),【备选训练】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,O为对角线AC,BD的交点, =(3,7), =(-2,1)
7、.求 的坐标.(仿照教材P97例5解法2的过程),【解析】 =(-2,1)-(3,7)=(-5,-6),所以,【互动探究】1.相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗?提示:由向量坐标的定义知:相等向量的坐标一定相同,由于向量可以平移,所以相等向量的起点、终点的坐标可以不同.,2.以原点O为起点作向量 =a,点A的位置由谁确定?提示:由a唯一确定.,3.求向量 的坐标需要知道哪些量?提示:求向量 的坐标,需要知道点A和点B的坐标.,4.向量可以平移,平移前后它的坐标会发生变化吗?提示:向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变.,【拓展延伸】向量的三种
8、运算体系(1)图形表示下的几何运算.此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用.(2)字母表示下的几何运算.此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面要注意 等运算法则的应用.,(3)坐标表示下的代数运算.此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量的坐标,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.,【题型探究】类型一:平面向量的坐标表示【
9、典例1】(1)已知O为坐标原点,点A在第一象限, xOA=60,则向量 的坐标为.,(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为.,【解题指南】(1)求 的坐标,就是求 在x轴、y轴上的分量,可根据题设条件,利用三角函数求解.(2)本题中圆周运动的距离即为P点转过的弧长,可利用单位圆中的三角函数求得P点坐标,即为 的坐标.,【解析】(1)设点A(x,y),则x=| |cos60=4 cos60=2 ,y=| |sin60=4 sin60=6,即A(2 ,6),所以
10、=(2 ,6).答案:(2 ,6),(2)当圆心运动到C时,则圆与x轴的切点为D,且弧PD长为2,所以PCD=2,点P的横坐标为2-cos(2- )=2-sin2,点P的纵坐标为1+sin(2- )=1-cos2,所以点P坐标为(2-sin2,1-cos2),即 的坐标为(2-sin2,1-cos2).答案:(2-sin2,1-cos2),【规律总结】求向量坐标的三个步骤,【巩固训练】已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30角.求点B和点D的坐标和 的坐标.【解题指南】利用任意角三角函数的定义求点B,D的坐标.,【解析】由题知B,D分别是30,120角的终边与单位圆的交点,设B(
11、x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos30= ,y1=sin30= ,所以B x2=cos 120=- ,y2=sin 120= .,类型二:平面向量的坐标运算【典例2】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 求点M,N及向量 的坐标.,【解题指南】设出点M的坐标(x1,y1),然后利用 列出x1,y1的方程组,即可求出点M的坐标,同理可求N点坐标,然后用N点坐标减去M点坐标即为 的坐标.,【解析】设M(x1,y1).因为 =(x1+3,y1+4), =(1,8)且 故M(0,20).,设N(x2,y2).因为 =(x2+3,y2+4), =(6,3
12、)且 故N(9,2).因此 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).,【规律总结】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,【拓展延伸】平面向量坐标运算的一般思路(1)对已知条件中的向量等式或由几何关系转化而得到的向量等式,先将其坐标化,然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数.,(2)在解题过程中应注意点的坐标与向量的坐标的区别及其表示符号的不同,即点A的坐标记为A(x,y),而向量a的坐标记为a=(
13、x,y),同时还要注意理解、选择解题思路.,【巩固训练】已知A(2,-4),B(-1,3),C(3,4), 的坐标.,【解析】由A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),得 =(2-3,-4-4)=(-1,-8), =(-1-3,3-4)=(-4,-1),所以 =2+3=2(-1,-8)+3(-4,-1)=(-2,-16)+(-12,-3)=(-14,-19).,设点M的坐标为(x,y),则 =(x-3,y-4).由向量相等坐标相同可得 所以点M的坐标为(-11,-15).,所以 =(-13,-11).又 =(4,1), =(-3,7),类型三:向量坐标运算的综合应用【典例3】已知点O(0
14、,0),A(1,2),B(4,5)及 t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?【解题指南】设出P点坐标,运用坐标运算及点P的坐标特点列出t的方程或不等式即可.,【解析】因为 =(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),若点P在x轴上,则2+3t=0,所以,t=- .若点P在y轴上,则1+3t=0,所以,t=- .若点P在第二象限,则 所以,【延伸探究】1.本例条件不变,试问四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不能,说明理由.,【解析】因为 =(1,2), =(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则 所以 该方程组无解.故四边形OABP不能成
15、为平行四边形.,2.本例中条件“点P在x轴上,点P在y轴上,点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值.【解析】由 因为B为线段AP的中点.所以t=2.,【规律总结】向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量:横坐标和纵坐标,如果纵或横坐标是一个变量,则表示向量的点的坐标的位置会随之改变.(2)解答这类由参数决定点的位置的题目,关键是列出满足条件的含参数的方程(组),解这个方程(组),就能达到解题的目的.,【补偿训练】已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第三象限的点P满足 求实数的取值范围.【解题指南】设出P点坐标,运用坐标运算,使点P的横、纵坐标都小于0,便可将问题解决.,【解析】设P(x,y),则 =(x-2,y-3),又 =(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7),于是由 可得,(x-2,y-3)=(3+5,1+7),所以 因为点P在第三象限,所以 解得-1.故所求实数的取值范围是(-,-1).,
