1、1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法,【知识提炼】函数的表示法,数学表达式,图象,表格,【即时小测】1.思考下列问题:(1)所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y=2x+1,xR.因为自变量xR不能一一列出,所以不能用列表法来表示.(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式的时候,一般要写出函数的定义域.,2.已知函数f(x)由下表给出:,则f(f(2)=.【解析】由表格可知,f(2)=1,所以f(f(2)=f(1)=0.答案:0,3.已知f(x-1)=(x-1)2,则f(x)的解析式
2、为.【解析】设x-1=t,则x=t+1,所以f(t)=t2,即f(x)=x2.答案:f(x)=x2,4.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其定义域是.,【解析】因为函数y=f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是-2,3,所以其定义域为-2,3.答案:-2,3,5.已知f(n)=2f(n+1),f(1)=2,则f(3)=.【解析】f(n)=2f(n+1),f(1)=2,所以f(1)=2f(2)=4f(3),故f(3)= .答案:,【知识探究】知识点 函数的三种表示方法观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?,
3、【总结提升】1.对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.在应用三种方法表示函数时要注意:(1)解析法:必须注明函数的定义域.(2)列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.(3)图象法:是否连线.,2.函数三种表示方法优缺点比较,【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=4x+3,则函数f(x)的解析式为.2.已知二次函数y=f(x)的最大值为13,且f(3)=f(-1)=5,求f(x)的解析式.,【解题探究】1.典例1中一次函数解析式的形式是什么?
4、提示:一次函数解析式的形式为f(x)=ax+b(a0).2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)=ax2+bx+c(a0).,【解析】1.设f(x)=ax+b(a0),则f(f(x)=f(ax+b)=a2x+ab+b.所以a2x+ab+b=4x+3.所以 故所求的函数为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3,2.方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a0).由条件知,点(3,5),(-1,5),(1,13)在f(x)的图象上,所以f(x)=-2x2+4x+11.,方法二:利用二次函数的顶
5、点式求解.由f(3)=f(-1),可知:对称轴为x=1,又最大值为13,故可设f(x)=a(x-1)2+13.将f(3)=5代入,得a=-2.所以f(x)=-2(x-1)2+13,即f(x)=-2x2+4x+11.,【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围:已知所要求的解析式f(x)的类型,如是一次函数、二次函数,等等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:设出所求函数含有待定系数的解析式;把已知条件代入解析式,列出关于待定系数的方程或方程组;解方程或方程组,得到待定系数的值;将所求待定系数的值代回所设解析式.,【变式训练】已知二次函
6、数f(x)的图象过点A(0,-5),B(5,0),其对称轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2,所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a0).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得 所以解析式为f(x)=(x-2)2-9.即f(x)=x2-4x-5.,类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(x)满足f( +1)=x+2 .(2)函数f(x)满足2f( )+f(x)=x(x0).,【解题探究】1.典例(1)中的f( +1)中的 +1与x+2 能否建立联系?提示:典例(1)中的x+2 =( +1
7、)2-1.2.典例(2)中x和 有什么关系?提示:互为倒数关系.,【解析】(1)方法一(换元法):令 +1=t(t1),则x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,所以f(x)=x2-1(x1).方法二(配凑法):因为x+2 =( +1)2-1,所以f( +1)=( +1)2-1.又因为 +11,所以f(x)=x2-1(x1).,(2)由题意知f(x)+2f( )=x，令x= (t0)，则 =t,则f( )+2f(t)= ，即f( )+2f(x)= ，于是得到关于f( )与f(x)的方程组,【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( 1)=x2 ”变为“f(2x
8、-1)=x2x1”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-1=t，则x=所以f(t)=即f(x)=,2.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( 1)=x2 ”变为“f(1 )= ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】f(1 )= 因为1 1，所以函数解析式为f(x)=x2-x1，x(-，1)(1，),【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路(1)已知f(g(x)=h(x),求f(x),常用的有两种方法:换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意:换元后新元的范围.配凑法,即从f(g(x)的解析式中配凑出“g(x)”,即用g
9、(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.,【补偿训练】已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的解析式是()A.f(x)=x2+6xB.f(x)=x2+8x+7C.f(x)=x2+2x-3 D.f(x)=x2+6x-10【解析】选A.方法一:设t=x-1,则x=t+1,因为f(x-1)=x2+4x-5,所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,f(x)的解析式是f(x)=x2+6x.方法二:因为f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-
10、1),所以f(x)=x2+6x.所以f(x)的解析式是f(x)=x2+6x.,类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+1,x0,2.(2)y=x2-2x,x0,3).(3)y= .,【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象?提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.,【解析】(1)当x=0时,y=1;当x=2时,y=5.所画图象如图(1)所示.(2)因为0x3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0x3之间的一部分,如图(2)所示.(3)函数图象如图(3)所示.,【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤:列表:取自变量的若干个值,求出相应的函
11、数值,并列表表示;描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来,得到函数图象.,(2)关注点:画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.,【变式训练】作出函数y=x2-2x-2,x0,3的图象并求其值域.【解析】因为y=(x-1)2-3,所以函数y=x2-2x-2的对称轴为x=1,顶点为(1,-3);函数过点(0,-2),(3,1),其图象如图所示.由图象知函数的值域为-3,1.,【补偿训练】画出函
12、数图象:y=x2-2,xZ且|x|2.【解析】因为y=x2-2,xZ且|x|2,所以x=-2,-1,0,1,2;对应y的值为:2,-1,-2,-1,2.图象如图:,易错案例 换元法求函数解析式【典例】已知f(x2+2)=x4+4x2,则f(x)的解析式为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错哪里吗?提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面的解法,看上去似乎是无懈可击,然而从其结论,即f(x)=x2-4来看,并未注明f(x)的定义域,那么按一般理解,就应认为其定义域是全体实数.但是f(x)=x2-4的定义域不是全体实数.,【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,令t=x2+2(t2),则f(t)=t2-4(t2),所以f(x)=x2-4(x2).答案:f(x)=x2-4(x2),【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成.所以,当函数f(g(x)一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变,那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们由f(g(x)求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x)中的f的“管辖范围”一致才妥.,
