1、2.5 平面向量应用举例,2.5.1 平面几何中的向量方法,问题提出,1.用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化.,2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.,平面几何中的向量方法,探究（一）：推断线段长度关系,思考2：设向量 a， b，则向量 等于什么？向量 等于什么？,=a+b
2、, =a-b,思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？,|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.,思考4：利用 ，若求 需要解决什么问题？,思考5：利用|a|=2，|b|=1，|ab|=2，如何求ab？ 等于多少？,思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？,平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？,探究（二）：推断直线位置关系,思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？,交于一点,证明PCAB.,c(ab)0.,思考4：对于PABC，PBAC，用向量观点可分
3、别转化为什么结论？,a(cb)0，b(ac)0.,思考5：如何利用这两个结论: a(cb)0，b(ac)0 推出c(ab)0？,探究（三）：计算夹角的大小,三角形.gsp,思考2：设向量 a， b，可以利用哪个向量原理求A的大小？,思考3：以a，b为基底，向量 ， 如何表示？,思考4：将CDBE转化为向量运算可得什么结论？,ab = （a2b2）,思考5：因为ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论: ab = (a2b2 ),cosA等于多少？,理论迁移,例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的
4、长度具有什么关系，并证明你的结论.,结论:AM=MN=NC,三等分.gsp,例2 如图，ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DGBE，DHCF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行.,结论:EFGH,小结作业,2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.,作业：P113习题2.5A组：1，2. B组：3.,2.5 平面向量应用举例,2.5.2 向量在物理中的应用举例,问题提出,1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？,2.向量概念源于物理中的矢量，
5、物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.,向量在物理中的应用,探究（一）：向量在力学中的应用,|F1|=|F2|=10N,F1+F2+G=0,思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？,夹角越大越费力.,思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？,F1F2G=0.,思考4：假设两只手臂
6、的拉力大小相等，夹角为，那么|F1|、|G|、之间的关系如何？,思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？,0，180),思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？,0，180),探究（二）：向量在运动学中的应用,|v|= /h.,思考2：如果船沿与上游河岸成60方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？,|v|2| v1v2|2（v1v2）284.,思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？,与上游河岸的夹角为78.73.,思考4：如果河的宽度d500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？
7、,理论迁移,例1 一架飞机从A地向北偏西60方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.,位移的方向是南偏西30，大小是 km.,例2 一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30，|F2| =4N，方向为东偏北30， |F3| =6N，方向为西偏北60，求这三个力的合力所做的功.,W=Fs= J.,1.利用向量解决物理问题的基本步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.,小结作业,2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.,作业：P113习题2.5A组：3，4. B组：2.,
