1、3.2简单的三角恒等变换(一),【知识提炼】1.半角公式 _. _. _(无理形式) _(有理形式).,2.常见的三角恒等变换(1) 其中tan= ，所在象限由a和b的符号确定.(2),【即时小测】1.思考下列问题(1)半角公式对任意角都适用吗？提示：不是对任意角都适用.半角的正切公式中 角的终边不能落在x轴的负半轴上.所以2k+，kZ.(分母不为零即：1+cos0，cos-1，2k+，kZ).,(2)半角公式可以应用于任何类型的题目中，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.半角公式的根式形式一般用于求值，有理式的形式可用来化简或证明，当然也可以用来求值.(3)半角公式与倍角公式二者有什么关
2、系？提示：半角公式与倍角公式的实质是一样的.因为 两边同时平方得 即 符合倍角公式.半角公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用.,2.若 且(0，)，则 的值为() 【解析】选A.因为 所以,3.已知 则 等于() 【解析】选B.因为 所以 所以,4.已知 则 _.【解析】可以运用半角公式，对本题进行求解.因为1800.2.典例2中的求解思路是什么？提示：利用平方关系求出cos，根据与 之间的关系求解.,【解析】1.方法一： 所以的终边落在第一象限， 的终边落在第一、三象限.所以 故 答案：,方法二： 答案：,2.因为 所以 因为 又 所以,【方法技巧】解决给值求值
3、问题的思路已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.,【变式训练】已知为钝角，为锐角，且 则 _.,【解析】因为为钝角，为锐角，且 所以 所以 又因为 所以 所以 答案：,类型二 三角恒等式的化简【典例】1.化简 的结果是_.2.化简 (-0).,【解题探究】1.典例1中，所求的式子次数不同，如何将 进行降次运算？提示：利用倍角公式分别逐次降幂.2. 是第几象限的角？提示： 是第四象限角.,【解析】1. =cos2+3(1-cos)-2(1+cos2-
4、2cos)=2cos2-1+3-3cos-2-2cos2+4cos=cos答案：cos,2.原式= 因为-0，所以 所以 所以原式,【延伸探究】1.(变换条件)若典例2中的式子变为 则化简后的值是什么？,【解析】原式= 所以原式=,2.(变换条件)若典例2中式子变为则化简后的值为什么？,【解析】原式= 因为 故原式,【方法技巧】化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如
5、升幂、降幂、配方、开方等.,【补偿训练】1.化简： 【解析】原式,2.化简 【解析】原式,类型三 三角恒等式的证明【典例】1.证明： 2.若 ，证明,【解题探究】1.典例1中，所证式子左右两边没有任何规律可言，我们在证明时首先应该做什么？提示：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于 此式右边就是tan2.,2.典例2中，角 是第几象限角？1+cos，1-cos，1+sin，1-sin分别如何变形？提示：角 是第二象限角.1+cos=2cos2 ，1-cos=2sin2 ，,【证明】1.原等式等价于求证 而上式左边 可见左边等于右边.所以上式成立，即原等式得证.,2.因为 所以 所以左边 所以原
6、式得证.,【方法技巧】三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以判定原等式成立.,【变式训练】证明 【证明】方法一：从右边入手，切化弦，得 由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以 得 左边=右边，原等式得证.,方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍
7、升幂，得 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以 ，得 所以原等式成立.,【补偿训练】在ABC中，已知 求证,【证明】因为 所以 所以 而 所以 即,易错案例 利用半角公式化简【典例】(2015大连高一检测)已知 则 的值为( ),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是忽视了角的取值范围，从而误认为 由于对角的范围的忽视而导致解题出现错误.,【自我矫正】选A.因为 所以 所以原式 所以，原式,【防范措施】重视角的范围对函数值符号的影响从里到外去掉根号时，要注意角的范围选择正负号，不能机械套用公式，如本例中先得到 再根据 ，所在象限确定cos， 的符号，去掉绝对值符号.,
