1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式,【自主预习】主题1:二倍角公式1.在公式C(+),S(+)和T(+)中,若=,公式还成立吗?提示:成立.,2.通过C(+),S(+),T(+)怎样构造二倍角?提示:只需令=即可.,通过以上探究过程,试着写出二倍角公式:sin2=_.(S2)cos2=_.(C2)tan2= .(T2),2sincos,cos2-sin2,主题2:二倍角的余弦公式的变形1.利用sin2+cos2=1,你能用cos来表示cos2吗?提示:cos2=cos2-sin2=cos2-(1-cos2) =2cos2-1.2.利用sin2+cos2=1,你能用sin来表示cos2吗?提
2、示:cos2=cos2-sin2=(1-sin2)-sin2=1-2sin2.,通过以上探究过程,试着写出二倍角的余弦公式的变形公式:cos2=_=_cos2= ,sin2= .,2cos2-1,1-2sin2,【深度思考】结合教材P133例6你认为应怎样利用二倍角公式解决三角形中的问题?第一步:_.第二步:_.,运用已知条件,借助内角和公式及各内角的范,围求出相关内角的三角函数值,运用二倍角公式化简并计算,【预习小测】1.已知cos= ,则cos2=(),【解析】选B.cos2=2cos2-1=2 -1=- .,2.cos215-sin215=.【解析】cos215-sin215=cos30
3、= .答案:,3.sin cos =.【解析】原式= 答案:,4. =.【解析】 =tan(2150)=tan300=-tan60 =- .答案:-,【备选训练】已知sin2=-sin, ,求tan2的值.【解析】因为sin2=2sincos=-sin,【互动探究】1.二倍角公式应用过程中“角”和三角函数式的“次数”是如何变化的?提示:两种变化形式,一是“角”变二倍,“次数”降低为一次;二是“角”变为原来的一半,“次数”升高为二次.,2.二倍角公式中“二倍角”特指2与的关系吗?提示:不是.“二倍”是两个角的关系,如4是2的两倍. 是 的两倍.,3.联系已学公式,考虑cos2,sin2有哪几种变
4、形方法?提示:变形方法一:由同角三角函数关系式得cos2=1-sin2,sin2=1-cos2;变形方法二:由二倍角公式变形公式得cos2= ,sin2= .,4.如何用 表示sin2x与cos2x?,【拓展延伸】万能公式的推导及应用(1)公式的推导:cos2=cos2-sin2=sin2=2sincos=,(2)应用:若已知tan的值,利用万能公式可求出cos2,sin2,tan2的值;若已知cos2或sin2或tan2的值及的范围,可以求出tan的值.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关
5、公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.,(2)当遇到 x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.,类似这样的变换还有:,【题型探究】类型一:求值问题【典例1】(1)(2016南宁高一检测)若 则sin2的值为(),(2)求下列各式的值:,【解题指南】(1)先利用两角和差的余弦公式展开 求出cos2,再求sin2.(2)直接利用二倍角公式或逆用公式求值.,【解析】(1)选B.,【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,试求tan4的值.【解析】由本例(1)知, 则tan2= 从而tan4=,2.若把本例(1)中的条件改为“ ”,则结果又是什么?【解析】由 得 即cos2=
6、 又 ，则22，从而sin2=,【规律总结】直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin(或cos) cos(或sin) sin2.(2)sin(或cos) cos2=1-2sin2(或2cos2-1).(3)sin(或cos),【补偿训练】(2014江苏高考)已知(1)求 的值.(2)求 的值.,【解析】(1)由题意 所以,(2)sin2=2sincos= cos2=2cos2-1= 所以,类型二:化简与证明【典例2】(1)化简(2)证明:,【解题指南】(1)思路一:直接利用平方差公式变形,然后用两角和、差的余弦公式,最后用二倍角公式;思路二:用二倍角公式降次,再用两角和、差的余弦公式.(2
7、)左边复杂.由复杂的一边向简单的一边变形.,【解析】(1)方法一:,答案： - sinx,方法二:,(2)【证明】方法一:左边=,【规律总结】证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.,(2)证明恒等式的一般步骤:观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.,【巩固训练】1.化简:,【解析】(1)原式=（2）原式=,2.证明:sin3sin3+cos3cos3=cos32.
8、【证明】左边=sin2sinsin3+cos2coscos3= sinsin3+ coscos3= (sinsin3+coscos3)+ cos2(-sinsin3+coscos3),= cos(-3)+ cos2cos(3+)= cos2+ cos2cos4= cos2(1+cos4)= cos22cos22=cos32=右边.,类型三:二倍角公式在三角形中的应用【典例3】(1)若ABC的内角A满足sin2A= ,则cosA-sinA=(),(2)在ABC中,sinAsinB=cos2 ,则ABC的形状一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形,【解析】(1)选D
9、.因为sin2A= 所以(cosA-sinA)2=cos2A-2sinAcosA+sin2A=1-sin2A= 又因为A(0,),且sin2A0,所以cosA-sinA0,所以cosA-sinA=,(2)选B.因为sinAsinB=cos2 所以sinAsinB= 所以2sinAsinB=1+cosC.又A+B+C=,所以cosC=-cos(A+B),所以2sinAsinB=1-cos(A+B),2sinAsinB=1-(cosAcosB-sinAsinB),cosAcosB+sinAsinB=1,所以cos(A-B)=1.,又A-B(-,),所以A-B=0,所以A=B.所以ABC是等腰三角形
10、.,【规律方法】二倍角公式在三角形中应用要注意的问题(1)注意三角形中内角的范围限制对三角函数值的影响当涉及判断三角函数值或三角函数式的符号时关键是判断角终边的位置,此时要特别注意三角形三个内角的取值范围都是(0,).,(2)注意诱导公式的应用:三角形内角和为,因此要注意利用诱导公式进行角之间的转化.例如,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC, 等。,【巩固训练】(2016泰安高一检测)已知A,B,C是ABC的三个内角.已知m=(tanA+tanB, ),n=(1,1-tanAtanB)且mn,求C的大小.,【解析】因为mn,所以mn=(tanA+tanB, )(1,1-tanAtanB)=tanA+tanB+ (1-tanAtanB)=0.所以tanA+tanB=- (1-tanAtanB),所以tan(A+B)= 又A+B(0,),所以A+B= ,所以C= .,
