1、,分类加法计数原理和分步乘法计数原理,问题1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班, 汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,设问1： 从甲地到乙地按交通工具可分_类方法?,第一类方法, 乘火车，有_ 种方法;,第二类方法, 乘汽车，有_ 种方法;, 从甲地到乙地共有 3+ 2 = 5 种方法,设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？,只能属于某一类，并能单独完成从甲地到乙地的目的！,2,3,2,甲,乙,火车1,火车2,火车3,汽车1,汽车2,做一件事情，完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2
2、种不同的方法，在第 n 类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。,分类计数原理也称加法原理,分类计数原理：,使用分类计数原理中的“分类”要注意：,1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！,“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集！,每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,2.,3.,问题2： 如图,由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由B村去 C 村的道路有 2 条。从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,从A村到C村须经 _ 再由_到C村有_个步骤,第一步, 由
3、A村去B村有_种方法,第二步, 由B村去C村有_种方法, 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从A 村经B 村到达C 村的目的?,只能完成从A 村经B 村到达C 村目的地的一部分！,2,3,2,设问1：,B村,B村,做一件事情，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。,分步计数原理,分步计数原理也称乘法原理,使用分步计数原理中的“分步”程序要,标准必须一致、正确。,“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;
4、但也不能重复、交叉,若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成,1.,2.,3.,例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,可按_划分，有_（ 类?步？）办法。,第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有_ 种不同的方法,第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 _ 种不同的方法, 由分类计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 +
5、4 = 9 种,5,4,2,性别, 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,分析(2) :,完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 分两_(类，步）完成 ？,点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用_,第一步, 选一名男三好学生,有 _ 种方法,第二步, 选一名女三好学生,有 _ 种方法, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。,步,5,4,分类计数原理,分步计数原
6、理,分步完成”用_,分类记数原理与分步记数原理的区别：,如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类记数原理，即类与类之间是相互独立的，即分类完成。 如果只有当n个步骤都作完，这件事才能完成，则选用分步记数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。,练习：,1、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ （2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？ （3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？,解：（1）由分类记数原理知有3+4+5=12种
7、选法,（2）由分步记数原理知有345=60种选法,（3）有35+54+34=47种,2、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从 0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个 四位数字的号码？,解：依题意每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步记数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是：,10101010=10 000,10,10,10,10,3、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同 的日文书5本，从其中取出不是同一国文字的书 2本，问有多少种不同的取法？,解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有,N=97+7
8、5+95=143,种不同的取法。,4、用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12， 16中任意一个作分母，可构造多少个不同的分数？ 可构造多少个不同的真分数？,解：由分步记数原理得可构造44=16个不同的分数；,要构造真分数则分类进行，,分子为1，分母可为4，8，12，16，有4种；,分子为5，分母可为8，12，16，有3种；,分子为9，分母可为12，16，有2种；,分子为13，分母可为16，有1种；,所以可构造4+3+2+1=10种真分数。,5、集合A=1，2，-3，B=-1，-2，3，4，从A、B中各取1个元素作为点P（x，y）的坐标。（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，
9、位于第一象限的有几个？,解：（1）可以得到3443=24种； （2）共有22+22=8种。,6、（1）某中学的一幢6层教学楼共有4处楼梯，问 从1楼到6楼共有_种不同的走法？,（2）3个班分别从5个风景点中选择1处游览， 不同选法的种数是35还是53？_,45,53,（3）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮 球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动 队，不同报名方法的种数是34还是43？_,34,分析：,（1）从一楼到六楼五层有楼梯，每一层有四种走法，由分步记数原理知共有44444=45种走法。,（2）先由1班选择，有5种选法；再由2班选择亦有5种方法；最后由三班选也有5种 方法，由分步记数原
10、理可知有555=53种选法；,（3）同（1）、（2），每位同学都有3种选择，由分步记数原理知有3333=34种方法。,7、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,红,红,蓝,黄,蓝,黄,蓝,黄,黄,红,红,蓝,A区:3种,B区：2种,C区：1种,D区：1种,红,蓝,黄,红,蓝,红,蓝,黄,黄,红,黄,蓝,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, 填涂A区域： m1 = 3 种,第二步,填涂B区：m2 = 2 种,第四步,填涂剩下的最后一个区域：m3 = 1 种,所以根据分
11、步计数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11= 6 种。,第三步,填涂C区：m2 = 1 种,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少,2,4,5,它们的涂色方案种数是 0 种,它们的涂色方案种数是4322 = 48 种,它们的涂色方案种数是5433 = 180 种,小结：,何时用分类计数原理、分步计数原理里呢?,答: 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用 _,分类计数原理。,分步计数原理,完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用_,
