1、Learning materials 解竞赛题的钥匙Learning materials 一 算谜问题凑凑、估估、揭谜底 算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏，它不仅加深对小学数学基本知识的理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。1958 年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力竞赛和数学竞赛所选用。算谜问题，一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的算式就像 “谜”一样，要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算谜 “猜”出来，使不完整的算式补充完整。我们通过一些
2、例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。例 1 9 13 7=10014 2 5= 把 + 、 - 、分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使上面的两个等式都成立。这时长 方形中的数是几？（ 1986 年第一届 “华罗庚金杯赛”决赛试题）解法：先考虑第一个等式，等式右边是 100 比 9 、 13 、 7 大得多，所以等式的圆圈里首先应考虑 “ + ”或 “”，但 9 13=117 比 100 大，所以得 9 13 7=100 。第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号，所以得 14 2-5=2 。即长方形中的数是 2 。例 2 在 15 个 8 之间添上
3、+ 、 - 、，使得下面的算式成立：8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986（北京市第二届小学生 “迎春杯”数学决赛题）分析：这个式子数字很大，我们先凑出与 1986 较接近的数，如： 8888 8 888=1999 。这个数比 1986 大 13 ，这样原问题就转化为：能否用剩下的七个 8 经适当的四则运算得出一个等于 13 的算式呢？还是用上面的想法：11 与 13 较接近，而 88 8=11 这样一来问题就转化为能否用剩下的四个 8 写出一个等于 2 的算式。而这是不难办到的。如： 8 8 8 8 2解法： 8888 8 888-88 8-8 8-8 8=
4、1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？以上二例是填写运算符号，例 1 是根据运算结果进行逆推，是解答算谜问题的常用方法。例 2 用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑出一个与结果较接近的数，然 后凑凑、算算，使算式成立。下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。例 3 将 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几？ = = （ 1986 年第一届 “华罗庚金杯赛”复赛试题）解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数，两个二位数，二位数应是积和被除数
5、。Learning materials O 和 1 不宜做一位数，一位数如果是 2 ，则会出现 2 6 12 （ 2 重复出现）， 2 5=10 （经试验不行）， 2 4 8 （ 7 个数中没有 8 ）， 2 3=6 （ 6 不能成为商），因此， 2 也不能做一位数。0 、 1 和 2 只能用来组成二位数，它可以组成 12 和 21 ，经验算， 21 不能填在方框内，于是得到 3 4=12=60 5 。即填在方框内的数是 12 。例 4 下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这 6 个方框中的数字的总和是多少？（ 1991 年第三届 “华罗庚金杯赛”初赛试题）+1 9 9 1分析：解决这样的
6、问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻找突破口。这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进 1 ， 且百位上两个内数字之和加上十位向百位的进位等于 19 ，可以推出百位上两个内数字均填 9 ，且十位向百位进 1 ；同理，由于十位上两个内数字之和加上个位向十位的进位等于 19 ，可以推出十位上两个内数字均填 9 ，且个位向十位进1 ；由此推出个位上两个内数字之和等于 11 。解法：由于两个加数的十位和百位数字均为 9 ，两个加数的个位数字之和为 11 ，因此所有内数字之和为 9 4+11=47 。7 ， 8 ， 9 ”中的某一个数字，使得该除式成立。（上海市 1988 年小学数学竞赛
7、试题）分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是 1 ，第一次相除后，余数是 32 ，由此推出商数的个位数字只能是 2 ，除数的个位数字也只能是 6 。解法：例 6 在中填上适当的数字，使算式成立。分析：因为除数是三位数，并且百位数为 6 ，它和商的首位的乘积也是三位数，所以商的首位是 1 ；Learning materials 因为第一行的个位数是 7 ，所以除数的个位数也是 7 ；因为第二行的个位为 1 ，所以商的个位为 3 。因为 3 7= 21 ，必须向十位进 2 ，所以根据十位上的 6 ，推知除数的十位是 8 。商与除数确定后，其他数字都易于确定。解法：例 表示一个四位数， 表示一
8、个三位数， 、 、 、 、7 ABCD EFG A B C DE F G 1 9 ABCD + EFG = 1993、 、 、代表 中的不同的数字。已知 ，问：乘积ABCD EFG 的最大值与最小值差多 少？（ 1993 年第三届 “华罗庚金杯赛”决赛第一试试题）分析：这是一道数字谜的最值问题，要选择好 “突破口”通常从首位或未位数字入手。解法：由已知条件A B C DE F G+1 9 9 3首先确定 A 1 ，然后再看被加数与加数的个位数字之和： D +G=3 或 13 ，由题意 A 、 D 、 G 代表不同的数字，于是 D C 2 3=5 ，因此有 D G=13 。同理，被加数与加数的十
9、位数字之和： C+F 8 9=17 。这样可以断定 C F=8 ，最后可以推知，被加数与加数的百位数字之和 B E=9 ，下面考虑乘法算式1BCD EFG 。为了使乘积最大，显然乘数的首位数字 E 应该尽可能大，而 B E=9 。于是 B 应该尽可能小，这样可以断定取 B =2 ， E=9 ，根据同样理由，可以确定乘数的十位数字 F 应该取 5 ，因为这时 C 的最小值可取 3 ；最后确定 C=9 ，D = 4 ABCD EFG，所以乘积 的最大值是1234 759=936606 。类似地，为了使乘积最小，可以依次确定 B=7 ， E=2 ， C=5 ， F=3 ， D=9 ，C = 4 AB
10、CD EFG，所以乘积 的最小值是1759 234=411606 。936606-411606=525000 。所以，乘积 ABCD EFG 的最大值与最小值差 525000 。例 8 在右边的算式中 A 、 B 代表不同的数字，若算式成立，求出 A 、 B 。A BB A1 1 43 0 43 1 5 4（ 1980 美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题）Learning materials 解法：算式中， AB A=114 将 114 分解因式， 114=2 3 19 ，然后将 114 写成一个二位数与一个一位数的积。114=52 2=38 3=19 6 ，显然 38 3 符合要求，所以 A=
11、3 ， B 8 。例 9 右边乘法算式中的来参加数学邀请赛 “来参加数学邀请赛”八个字各代赛表一个不同的数字，其中赛代表来来来来来来来来来 9 ，来代表，参代表，加代表，数代表 ，学代表，邀代表，请代表。（ 1986 年 “小学生数学报”数学邀请赛试题）解法：已知赛代表 9 ，赛赛 9 9=81 ，所以来代表 1 ，即乘积为111111111 。根据积一个因数另一个因数，可以求得被乘数 111111111 9=123456789 。从而得出：参代表 2 ，加代表 3 ，数代表 4 ，学代表 5 ，邀代表6 ，请代表 7 。例 10 下面乘式中的 “趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字，每个
12、方框中可以填 0 至 9 任何一个数字，但最高位不能填 0 ，试确定算式中的每一个数字。解法：为叙述方便，把每行中的数字从上到下称为第一行，第二行，从第二行看， “数”代表 0 。从第三行看， “趣”代表的数自乘后仍是一位数，所以这个数必须小于等于 3 。而且当 “趣”代表 3 时， “味”必须小于等于 2 。从第四行看，第三行的第一个数字必须是 9 ，因此 “趣”代表 3 。又因 “数”代表 0 ，如果 “味”代表 1 ，那么第二行的第一个数 “ 3 ”与第三行的第二个数 “ 3 ”相加就没法进行。所以， “味”必须是 2 。于是 “趣”、“味”、 “数”分别为 “ 3 ”、 “ 2 ”、
13、“ 0 ”。最后看第一行 “学”不能大 于 3 ，否则第一行将是五位数，又因为四个数字表示互不相同的数，所以学只能是 “ 1 ”。通过上面例题分析，解答算谜问题要注意：1. 首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取 0 至 9 中的某一个数字。2. 要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选择 “突破口”。3. 突破口的选择往往从确定一个数 （乘数，被乘数，除数或商）的个位、首位或其他数位上的数字入手。4. 必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻找正确答案。5. 运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1. 在 1199 之间填上适
14、合的运算符号，使等式成立。Learning materials 1199 10（天津市第一届小学生 “我爱数学”邀请赛试题）2. 填上合适的符号，使等式成立。4444=14444=24444=34444=44444=5（天津市第二届小学生 “我爱数学”预赛试题）3. 在下面式中填上算术运算符号、括号，使式子成立：（ 1 ） 1 2 3=1 ；（ 2 ） 1 2 3 4=1 ；（ 3 ） 1 2 3 4 5=1 ；（ 4 ） 1 2 3 4 5 6=1 ；（ 5 ） 1 2 3 4 5 6 7=1 。（ 1984 年重庆市小学数学竞赛试题）4. 填上适当的运算符号，使下式成立：1 2 3 4 5
15、 100（ 1983 年 小学生报数学邀请赛）5. 在下面十五个 9 之间添上 + 、 - 、 （ ）使下面算式成立：9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 20006. 在被除数小于 100 的情况下，在右图内填上适当的数： =4 45 56 6（ 1983 年 小学生报数学邀请赛试题）7. 在下面的中，分别填上 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 中的一个数字（每个只许填一次）使得带分数算式 （每式只要一个填法）：（上海第一届 “从小爱数学”邀请赛试题）8. 在下面乘法竖式的内各填上适合的数字，使算式成立：9. 在下面的方框中填上适当的数
16、字，使算式成立：Learning materials 10. 关于下面的算式，只知道一个数字 8 ，你能确定其他数字吗？11. 把下面除法算式中的 * 号填出来，成为一完整的算式。12. 下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求出这些字母各代表什么数字，算式才能成立：( )( )120H EH EH EH EA HA B C DD C B AA B C D+13. 将下面式中的字母用数字代替，使算式成立。赛 竞 学 数 年 少 匙 钥 金金 钥 匙 少 年 数 学 竞 赛+ 8 6 4 1 9 7 5 3 2（ 1984 年上海 “金钥匙”数学竞赛题）14. 下面算式中每一
17、个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字，当算式成立时，求每个字所代表的数字。Learning materials 努 力 学 习向 上我 们 天 天 向 上（ 1986 年北京奥林匹克学校入学试题）15. 在下面的算式中 “三”、 “好”、 “学”、 “生”四个汉字各 代表一个阿拉伯数字，其中 “三”代表， “好”代表， “学”代表，“生”代表。学 生好 学 生三 好 学 生1 9 8 9（ 1988 年 小学生数学报小学生数学邀请赛初赛试 题）16. 在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想棋子各代表哪些数字。兵 砲 马 卒兵 砲 车 卒车 卒 马 兵 卒+17. 下列各题的每一
18、个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，试求出下列各算式。( )14从 小 爱 数 学学 数 学 小 从(2)131红 花 映 绿 叶红 花 映 绿 叶(3)蜜 蜜 蜜 蜜 蜜 蜜蜜 蜂 酿 蜂 蜜（ 4 ）优优优优优优学 = 学习再学习Learning materials 二 填数问题从 “九宫算”谈起 在填数问题中，小学生常常采用 “凑”的方法，通过几次试验来寻找解答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。在这个意义上讲，填数问题是一种很好的 “锻炼思维的体操”。我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的 “九宫算”就是其中之一，最早提出的问题是：将
19、 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。这种图形填数，我国古代称为 “九宫算”、 “纵横图”，国外叫做幻方。“九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3 3 的小格内，它是一个三阶幻方。传说大禹治水的时候，洛水中 浮出一只神龟，龟背上驮了一个 “洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0014_1.bmp一般地，在 n n 的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n 2 个自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样排成的数表称为 n 阶幻方。
20、都相等的和叫幻和。幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林就曾经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 105 阶，它是由美国一位 13岁少年作成的。下面我们来谈谈如何填好 “九宫图”。例 1 填九宫图所表示的幻方。解：首先应解决二个问题：（ 1 ）每行、每列的和是多少？（这个和叫幻和）（ 2 ）中间位置的数应当填几？（求幻和时几次用到了它）为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示 （图 1 ）。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0015_1.bmp首先求出幻和。因为 a 1 +a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 +c 1 +c 2
21、+c 3 1+2+3+4+ +9=45 ， a 1 +a 2 +a 3 =b 1 +b 2 +b 3 =c 1 + c 2 c 3 = 幻和，所以，幻和 3=45 ，幻和 =45 3=15 。其次，确定中心数 b2 。因为 （ a l +b 2 +c 3 ） + （ a 3 +b 2 +c 1 ） + （ a 2 +b 2 +c 2 ） + （ b 1 +b 2 +b 3 ） =15 4a l +a 2 +a 3 +b 1 +b 2 +b 3 +c 1 +c 2 +c 3 +3b 2 =60 ，所以 b 2 =5 ，即中间数应当是 5 。最后，考虑四个角上应填什么数假设 a 1 为奇数，那么L
22、earning materials （ 1 ）如果 a 2 也是奇数，那么 a 1 a 2 a 3 =a 1 +5 c 3 =a 2 +5 c 2 =15 。于是a 3 、 c 3 、 c 2 也都是奇数，连同 b2=5 共有六个奇数，矛盾 （如图 2 ）。（ 2 ）如果 a 2 为偶数，那么 a 3 、 c 2 为偶数。又因为 c 3 为奇数， a 3 b 3 c 3 =c 1 +c 2 c 3 =15 ，所以 b 3 、 c 1 为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾 （如图 3 ）。所以 a 1 不能为奇数。同理可证 c 1 、 c 3 、 a 3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方
23、 （如图 4 、图 5 ）。例 2 把 4 至 12 填在 3 3 的方格内，制成三阶幻方。解： （ 1 ）求幻和： （ 4 5 12 ） 3 72 3=24 。（ 2 ）求中心数： 72 3b2=24 4 ， 3b2=24 ， b2=8 。 （ 3 ）确定四角数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数为偶。现在九个数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证这个猜想是正确的，所以在四个角上填 7 、 5 、 9 、 11 。填其余数字就容易了 （如图 6 ）。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、既辐射又封闭的复合型数阵。例 3 将 1 至 7
24、七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相等。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0017_1.bmp解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a ，则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以， （ 28 2a ） 3=28 3 2a 3 。其中， 28 3 商 9 余 1 。因此，2a 3 的余数必须是 2 ，那么当 a 是什么数时 2a 3 的余数才是 2 呢？为此，我们在 1 7 六个数中试验选择如下：当 a 1 时， 2a 3=2 3 商 0 余 2 ； （符合要求）当 a 2 时， 2a 3=4 3 商 1 余 1 ；当 a 3 时， 2a 3
25、=6 3 商 2 余 0 ；当 a=4 或 7 时，余数也是 2 。 （符合要求）所以，当 a=1 、 4 、 7 时， 2a 3 的余数是 2 ，即中心数为 1 ， 4 ， 7 。当 a l 时， （ 28 2 ） 3 10 ，所以除中心数外，其他两 个数的和是10-1 9 ，只要把 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 按和为 9 分成三组填入内即可。当 a=4 时， （ 28 8 ） 3=12 ，除中心数外其他两个数的和为 8 。当 a 7 时， （ 28 14 ） 3=14 ，除中心数外其他两个数的和为 7 。因此，可得三个解：ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1600
26、0100_0018_1.bmp例 4 将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个内数字和相等。Learning materials 解：首先应确定三个顶点上内的数字。用 k 表示每边上三个内的数字和，用 a 、 b 、 c 分别表示三个顶点内的数字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c 3k ， 21+a+b+c 3k ，即 k= （ 21+a+b+c ） 3 。又因为 a 、 b 、 c 可以分成七组数： 1 ， 2 ， 3 ； 2 ， 3 ， 4 ； 3 ， 4 ， 5 ； 4 ， 5 ，6 ； 1 ， 2 ， 6 ； 1 ， 3 ， 5 ； 2
27、， 4 ， 6 。我们把这四组 a b c 的和与 k 的值列表如下：从表中看出，当 a b c 的最小值是 1 2 3=6 时， k 的最小值是 9 。当 a b c 的值最大是 4 5 6 15 时， k 的最大值是 12 。1. 当 a b c=6 ， k=9 时， a 、 b 、 C 分别是 （ 1 ， 2 ， 3 ）、 （ 1 ， 3 ， 2 ）、（ 2 ， 1 ， 3 ）、 （ 2 ， 3 ， 1 ）、 （ 3 ， 1 ， 2 ）、 （ 3 ， 2 ， 1 ），那么，其余三个内分别填 4 、 5 、 6 。我们可以填出六种解法：ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000
28、100_0019_1.bmp从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适 当调换就可以得到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解是同一个解。2. 当 a b c=9 ， k=10 时，试验如下：（ 1 ）如果 a=1 ， b=2 ， c=6 （如右图），那么在三角形底边上只有填 2 ，才能使底边上内数的和是 10 ，但这样重复，因此无解。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0020_1.bmp（ 2 ）如果 a=1 ， b=3 ， c=5 ，那么其余三个内分别填 2 、 4 、 6 ，得本题的第二个基本解。（ 3 ） a=2 ， b 3
29、， c=4 时，无解。3. 当 a b c=12 ， k=11 或 a b c=15 ， k=12 时，用上面同样的方法得到下面的两个基本解：ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0020_2.bmp从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 24个解，但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个内，使每个圆周上五个数的和都等于 21 。解：设两个圆的交叉点上的两 个内各是 a 、 b 。那么，在计算两个大圆周上 10 个数的和时， a 、 b 两数都多加了一次，所以 1 2+ 8 a b除以 2 应该是
30、 21 ，即 36 a b=21 2 ，从而得 a b=6 。在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5 ， 2 和 4 这两组数的和是 6 。Learning materials （ 1 ）如果中间两个内分别填 1 和 5 ，另外三个内三个数的和都应当是 21-6=15 ，在 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 这六个数中，和相等的数只有 2 ， 6 ， 7和 3 ， 4 ， 8 。（ 2 ）如果中间两个内填 2 和 4 ，其他的数可分成两组 1 ， 6 ， 8 和 3 ， 5 ，7 ，分别填入中。例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的内，使每条线上三个数的和都相等。ewc MVI
31、MAGE,MVIMAGE, !16000100_0021_1.bmp（ 1988 年无锡市小学生数学竞赛试题）解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x ，其余各数分别为 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、f 。根据例 3 的分析， x 可取 1 、 4 、 7 。（ 1 ）当 =1 时，则得每条线上三个数的和为 10 。a+b+c+d+e+f=28-x=-27 。但 a+c+e=10 ， b+d f 10 ，于是 a+b+c+d+e+f=20 。两种结果产生矛盾，因此， x 不能为 1 。（ 2 ）当 x 4 时，则得每条线上三个数的和为 12 。a+b+c+d+e+f=28-x=24 。
32、但 a+c+e 12 ， b+d+f=12 ，于是 a+b+c+d+e+f 24 。两种结果一致，因此， x 可为 4 。因为 1+7+4=12 ， 6+2+4 12 ， 5+3+4=12 ，而且 7+2+3= 12 ， 1 6 5=12 ，所以可得解 （见右图）。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0022_1.bmp图中当 1 的位置确定后， 5 与 6 可以对换， （ 3 与 2 也相应的对换），因此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式，这样就有 2 3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因此，本题有 6 2=1
33、2 种不同形式。（ 3 ）当 x=7 时，无解。习题二1. 在下面的方格内，每边加起来的数都是 5 ，总数是 12 ，现在请你用任何数字重新排列，每边加起来仍是 5 ，但总数是 13 、 l4 。2. 把 5 、 7 、 9 、 11 、 13 、 15 、 17 、 19 、 21 分别填入下面正方形的方格里，使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。3. 右图中的 A= ， B= ， C= ， D= ， E= 时，它可能构成一个三阶幻方？Learning materials 19 A 1410 B CD 18 E4. 将 1 至 8 八个数填入右图的八个方格内，使上面四格，下面四格，右边四格
34、，中间四格，对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是 18 。5. 用 1 至 5 这五个数填入右图中使每行和每列的 3 个数的和相等。6. 将 1 至 9 这九个数分别填入右图的内，使每条辐射支上的三个数的和都相等。7. 将 1 至 11 这 11 个数，分别填入右图中，使每条线段上三个内数的和都相等。8. 在右图的每个圆圈里填上适当的质数 （不得重复），使每条直线上三个数的和都相等，且均为偶数。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_1.bmp（安庆市首届小学数学竞赛试题）9. 请将 1 至 8 这八个数字填入右图的空方框内，使每条直线上三个数的和都为质数。
35、ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_2.bmp（张家口市 1990 年小学五年级数学竞赛 （复赛试题）10. 把 1 至 7 七个自然数分别填入右图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_3.bmp（ 1990 年济南历下区小学五年级数学竞赛试题）11. 把 20 、 21 、 22 、 23 、 24 、 25 这六个数分别放在图中的一个圆圈中，使这个三角形各边上的三个数之和是相等的。Learning materials ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_00
36、24_4.bmp（天津市第二届 “我爱数学”竞赛题）12. 将 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 这九个数分别填在右图的三角形的圆圈里，使每条边上的四个数字和等于 17 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_5.bmp（ 1983 年洛阳市小学生数学竞赛试题）13. 如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是 20 ，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这六个质数的积是多少？ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0025_1.bmp（ 1986 年 “华罗
37、庚金杯”决赛试题）14. 把 1 至 10 这十个数填入右图的十个内，使每个正方形四个顶点上各数的和都等于 24 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0025_2.bmp15. 把 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 填入右图中的小圆中，使每个大圆圈中六个数的和是 55 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0025_3.bmp（长春市 1988 年四年级数学竞赛题）16. 将 195 、 196 、 197 、 198 、 199 、 200 、 201 七个数分别填入右图的小圆圈内，使每
38、条直线上和每个圆上的三个数的和都是 594 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0025_4.bmp（石家庄市长安区 1989 年五年级数学复赛试题）17. 将 1 至 10 这十个数分别填入图中内，使每条线段上四个内数的和相等。每个三角形三个项点上内数的和也相等。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0026_1.bmpLearning materials 三 数列问题从高斯的故事谈起 高斯是 19 世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明过人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目： “把从 1 到100 的自然数
39、加起来，和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候，小高斯很快报出答数为 5050 ，这使得老师非常吃惊。小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +100 。这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大 1 ，好比上体育课同学们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列： 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ； 2 ， 6 ， 10 ， 14 ， 18 ， 22 ； 5 ， 10 ， 15 ， 20 ， 25 ， 30 。这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些数列排
40、列都有规律可找，因此可以发现许多 数学问题，这些就是数列问题。小高斯做的题目是最简单的数列问题。 100 个数相加大多了。我们先用九个数来研究一下：这样凑成 4 个 10 再加上 5 ，和为 45 。还有一个办法：1+ 2 + 3+ 4 +5 + 6 + 7 + 8 + 9 =9 +8 + 7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2 +1 = 10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 +10 = 90和和 倍和2把数列颠倒过来相加，所得结果是和的 2 倍，只要除以 2 就得到答案：和 90 2 45 。按照这个道理，可以得到求等差数列的和的一般公式：（首项 + 末项）个数 2
41、把小高斯做的题目： 1+2+3+4+5+ +100 代入公式：（ 1+100 ） 100 2=101 100 2=10100 2=5050例 1 1+2+3+ +250 31375（ 1+250 ） 250 2=251 250 2=62750 2=31375Learning materials 例 2 1+3+5+7+9+ +199 10000这是一列奇数数列，也可代入公式（首项十末项）个数 2（ 1+199 ） 100 2=20000 2=10000怎样算出连续奇数的个数，不必一个一个地数出来。只要 （首项 + 末项） 2 ，就能求出个数。例 3 101+103+105+ +199= ？这道
42、题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从1 开始的。其实也不难，只要先算出从 1 到 199 的连续奇数的和，再减去从 1到 99 的连续奇数的和，问题就解决了。 1+3+5+ +99=2500 ，1+3+5+ +199=10000 ， 101+103+105+ +199=10000-2500 7500 。例 4 2+4+6+ +100= ？这道题一看就知道，是求从 2 开始连续偶数的和。同样可用上面的公式代入（ 2+100 ） 50 2=5100 2=2550 。要知道从 2 开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去 数，只要把最后那个偶数除以 2 就可以了。例 5 五个连续
43、偶数的和是 150 ，这五个偶数是哪几个数？粗看这道题目觉得很难，感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数观察一下：请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数的 5 倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例 5 ：先求出五个连续偶数的中间数： 150 5=30 。所以这五个连续偶数是： 26 ， 28 ， 30 ， 32 ， 34 。例 6 已知四个连续偶数的和是 84 ，这四个偶数是哪几个数？这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上题的思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下：Learning materials 从上面两组题发现，四个连续偶数分
44、成两个数对，每个数对的和是相等的。根据这个特点，可以从这个和中先求出一个数对，然后再推算出四个连续偶数来。84 2=42然后推算出这个四个偶数： 18 ， 20 ， 22 ， 24 。例 7 10 到 80 之间能被 7 整除的各数之和是多少？10 到 80 之间， 7 的最小倍数是 14 ， 7 的最大倍数是 77 ，这是一列 7 的倍数的数列：14+21+28+ +77 455 。代入求等差数列之和的公式得：（ 14+77 ） 10 2=910 2=455 。例 8 11 2 + + + + =12 3 13 4 199 100 ?求这一数列各数之和，如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿
45、意试一下的话，恐怕半天还算不出来呢。从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看出，这 99 个分数的分子都是 1 ，分母都是两 个连续的自然数的乘积。这一数列的编列是有规律可找的。根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如：11 2 =111212 3 =1213.12 。121316133 261612131213= = = .根据上面分析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数不是任意的，它们必须符合一定的条件。具体地说，就是它们的分子都是 1 ，分母分别是两个连续的自然数中的一个。分析到这里，爱动脑筋的同学会恍然大悟解答例 8 可以找到简便方法了。只
46、要用两个分数的差的形式代入式子里：Learning materials 同学们看到这里一定会 高兴得跳起来。这个方 法太巧妙了！ 12 12 13 13+ +,13+13 不是都等于 0 吗？最后就只剩下第一个数和最后一 个带“一”号的数，即 ，所以立即可以算得结1- 1100果 。99100一道复杂繁难的题目，现在竟不费吹灰之力就解决了。所以学习数学，一定要勤于思考、善于分析。练习三1.101+102+103+104+ +200=2.1+3+5+7+ +259=3.52+54+56+ +150=4.72+74+76+ +200=5. 比 101 小的所有的偶数的和是多少？（天津市小学生红花奖
47、竞赛中年级试题）6. 全部三位数的和是多少？（哈尔滨市第八届小学生数学竞赛试题）7. 三个连续自然数的和是 231 ，这三个数中最大的一个是多少？（江西省 1990 年 “八一杯”小学数学比赛题）8. 三个连续自然数的积是 2730 ，这三个数分别是多少？（宜兴市 1990 年第五届小学生数学竞赛试题）9. 一个数分别与相邻两个偶数相乘，所得的积相差 50 ，这个数是多少？（北京市第三届小学生 “迎春杯”数学 竞赛试题）10. 11 2 + + + + =12 3 13 4 1199 20011 1100 101 1101 102 1102 1031199 200. + + +Learning
48、 materials 四 假设问题以 “假”求 “真”，化难为易 用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指出： “只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥白尼的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。在解答数学问题中，假设未知数为 x ，列出方程进行解题，就是建立在假设的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量关系简单化。我国古代算术中的 “鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的，它往往先假设某种现象的存在，得到和已知条件不同的 “差异”，再分析 “差异”的原因，进行适当的调换，使问题得
49、到解决。例 1 笼中共有鸡兔 100 个头， 350 只脚，问鸡兔各有多少头？（ 1990 年济南市历下区小学数学五年级竞赛题）分析：假设 100 头全为兔，则应有 4 100=400 只脚，比 实际多了 400-350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少 4-2=2 只脚，要减少 50只脚，就要换 50 2=25 头鸡，这样就求出了鸡的头数。解法一：（ 4 100-350 ） （ 4-2 ） =25 （头）鸡，100-25=75 （头）兔。或者 （ 350-2 100 ） （ 4-2 ） =75 （头）兔，100-75=25 （头）鸡。解法二：设：鸡有 x 头，则兔有 （ 100
50、-x ）头。2x+4 （ 100-x ） =350 ，解之得 x=25 。100-25=75 （头）兔。答：鸡有 25 头，兔有 75 头。例 2 光明书店卖出甲、乙两种书共 120 本，甲种书每本 5 元，乙种书每本 3.75 元，卖出的甲种书比乙种书多收入 162.5 元。甲、乙两种书各卖出几本？（ 小学生数学报第五届初赛题）分析 1 ：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入 5 120-3.75 0=600 元，比实际的相差数多 600-162.5 437.50 元。如果甲种本换一本为乙种本 （也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本），那么甲种本的收入比乙种本少 5 3.75=8.
