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中小学生学习指导百卷书数理学科 解几何题的钥匙.pdf

上传人:微能四上 文档编号:13205335 上传时间:2022-07-11 格式:PDF 页数:56 大小:200.66KB
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1、Learning materials 解几何题的钥匙Learning materials 几何是怎样入门的 几何是研究图形性质的学科。研究图形的性质,既不能单凭观察,也不能先靠度量。那么靠什么呢?靠判断、推理。要做到这一点,首先,要学好概念,这样才能了解题目的具体内容;其次,要学好公理、定理,这是判断、推理的依据。所有这些,既是学好几何的准备,又是几何入门的开始。 几何是研究什么的 几何是研究图形性质的学科。在平面几何中重点研究的对象是三角形、四边形和圆。比如图 1 中已知 ABC ,用刻度尺量一量每一边的长度,或者用量角器量一量每一个内角的大小,这当然是几何课的内容。但是,几何课主要的内容不

2、是这些,而研究图形的一般性质。象三角形有三个内角,每一个内角有多少度是不一定的,可是三个内角合起来一定是 180 ,无论任何人画任何一个三角形都会得出相同的结论。有了什么条件,必然得到什么结果,这就是规律性的认识。象图 1 中ABC ,若是给了 AB 边大于 AC 这个条件,就一定能得出 AB 边所对的 C ,一大于 AC 所边对的 B 这个结论。 在图 2 中,已知 ABCD 对角线相交于 O ,根据平行四边形定义不但能判断 AB 边等于 CD 边,而且可以判断 AOB 与 COD是能够重合的。这里,既不用度量,也不用把 AOB 、 COD 剪下来真的重合在一起。这就是凡平行四边形一定有的特

3、点,是它们的共性,是人们研究平行四边形得到的规律性认识。这些都图形的性质。在图 3 中,已知 A 、 B 、 C 、 D 都是 O 上的点,可以判断 ADB 一定等于 ACB 。这样判断不是单凭观察就能得到的,因为只凭眼看是看不准的,也不是靠度量,因为即使能量准,也不能得到一般性结论 (一个圆有这个性质,也不能对所有圆下结论)。所以,几何要研究的图形性质,是某一种图形的一般的性质,即凡是这一种图形一定有的性质,包括形状、大小和相互位置关系。练习一1 已知 AOB=+ , AOC= ,且,、表示 BOC 。提示: 原题是不给图的。由已知条件可知 O 是这两个角的公共顶点,OA 是这两个角的公共边

4、,但是 OC 的位置,并没说明, OC 与 OB 若是分在 OA的两旁,就成为图 4 形状,有 BOC= AOB AOC= ; OC 与 OB 若是同在 OA 的 一旁,如图 5 的形状,就有 BOC= AOB- AOC= - 。只有这样考虑才算全面,才能反映出满足已知条件的角的一般性质。Learning materials 2 画一个四边形 ABCD ,使 AB CD ,并且 AD=BC 。提示:题目没有限定四边形的边的长度,只提出 AB 、 CD 的位置是平行的, AD 、 BC 的大小是相等的。可能有的读者画出来的是一个平行四边形,有的读者画出来是一个等腰梯形。如果同时画出两种图形,就最

5、好了。学过平行四边形判定的读者知道,一组对边平行,另一组对边相等,是不能判定这个图形是平行四边形的。Learning materials 不懂概念寸步难行 研究图形性质,既不能单凭观察也不能靠度,那么靠什么呢?靠判断、推理。要学判断、推理,首先得学概念。比如学几何必须先明白什么是直线,然后才能分清两直线相交还是不相交,接下去才懂什么叫平行线、什么叫平形四边形。这样研究平行四边形的性质才有了起点。象直线、平行线、平行四边形这些是名称,相交、平行这些是术语,都是概念。学习几何必须准确、牢固地掌握概念,才可能动手研究,才可能研究出正确的结论。不懂概念是寸步难行的。在图 6 中,已知: AB CD ,

6、直线 EF 和 AB 、 CD 都相交,交点分别是 E 、 F , BEF 的平分线与 EFD 的平分线相交于 H ,求证: EH FH 。这样一个题目,包含多少概念? AB 、 CD 是平行线, EF 是直线,它们相交构成角,而且 BEF 与 EFD 是同旁内角 (懂得三线八角中,用两条直线分内、外,第三条直线分两旁,才能迅速、准确地找到内错角、同旁内角),平行线的同旁内角是互补的,由角平分线的定义得到 1= 2 , 3= 4 ,然后推出 2 、是互余的。由三角形内角和 180 算出 H=90 ,再根据两条直线互相垂直的概念,判断 EH FH 。这当中平行线、直线、角、同旁内角、角平分线、三

7、角形、内角都是名称;而相交、互补、互余、互相垂直是术语。 这个问题的解决共计用了十一个概念。无论哪一个概念不明确。都将导致错误。再如三角形的高是一个重要概念,不能一般对待,要格外认真地学。大家知道:三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做三角形的高。学习这一概念的时候,必须一定一句对照图形认真研究。如图 7 ,在ABC 中 ABC 是钝角,现在我们想从 A 点向它的对边画垂线,或者说想画出BC 边上的高。这时, A 是 “三角形一个顶点”,而 “它的对边”是 BC 线段,“它的对边所在直线”是 BC 直线。既然是直线,那么 BC 可以向两方无限延伸。引垂线就要自直线 BC 一点 A 用基本

8、作图的方法 (或用三角板推)画出垂线 AD 来。 A 点到垂足 D 之间的线段 (即线段 AD ),才是要作的高。这道题能否作正确,就看你对三角形的高的概念是否清楚。具体地说,这里用到了三角形、顶点、对边、所在直线、互相垂直、直角、垂线、垂线Learning materials 段等概念。我们经常用概念指导画图或作图,用概念指导计算,用概念指导推理。所以说,只有掌握好概念,才能形成正确的思路。练习二回答下列问题:1 什么叫钝角?2 什么叫垂线?3 两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离各是什么意思?4 什么叫三角形的外角?三角形外角和指的是什么?5 一条直线上有 A 、 B 、 C 三

9、个点,图中有几条射线?这个题目和射线概念有什么关系?6 什么叫命题、逆命题、公理、定义、定理?7 什么叫多边形的对角线?8 两个角既互余、又相等,这两个角各是多少度?既互补、又相等?9 一个角是它余角的 5 倍,求这个角的补角是多少度?10 画出钝角三角形的三条高。Learning materials 怎样记概念学概念一开始学几何,就遇到许多概念,光是前两节,大约就有 60 个名称、术语。初学的同学一下子把这么多的概念都记住是有困难的。怎么办?请你把最重要又常用的概念记 牢,比如,射线、线段,特别是角的概念,包括各种单称、并称、互称的角都必须学会;对于其他概念可以先读读,做作业用到哪个概念就读

10、哪个概念。逐渐对这些概念就会熟悉了,以后用到的时候再认真学。分散难点,集中精力,为的是把重要概念学好。到底怎样才能把几何概念学好呢?首先,我们应该把概念多念几遍,直到念顺了嘴为止。一个新概念,说都说不利落,怎么能讲理解、运用呢?比如,点到直线的距离的定义是: “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。”只有反复念几遍以后,才能在全面了解这个概念的基础上,抓住 “垂线段”、 “长度”这个要点。其次,我们应该结合图形,理解记忆。几何是研究图形性质的学科,几何概念应该结合图形去理解记忆。比如图 8 中任意四边形 ABCD 内有一点 P ,问 P 点到各边的距离是多少厘米,要求用刻度

11、尺去量,精确到 0.1cm 。根据点到直线的距离这个概念,应当先画出 P 点到这 AB 的垂线 PE ,这里垂足为 E ,所以垂线段 PE 的长就是 P 点到 AB 的距离。同样,可以画出 P点到 BC 的垂线段 PF , P 点到 DC 的垂线段 PG , P 点到 AD 的垂线段 PH ,再用刻度尺去量就可以了。这样边想概念边画图,就能懂得快、记得牢。再就是运概念解题。无论几何证明题、几何计算题、几何作图题,都离不开几何概念。学过等腰三角形性质以后,有这样一道证明题:求证 “等腰三角形底边中点到两腰的距离相等”。在图 9 中,已知 AB=AC , D 是 BC 中点。有的同学说,因为 DB

12、=DC ,所以 D到两腰距离相等。这就是错把 D 到 B 、 C 点的距离,当作 D 到 AB 、 AC 的距离了。应该首先看清题目,是 “底边中点”即 D 点,到 “两腰”即 AB 、 AC 的 “距离”,是指点到直线的距离,不是点到点的距离。然后复习点到直线的距离的概念,画出 D 到 AB 、 AC 的垂线段。这样,运用概念解决了问题。值得一提的是,有些概念应该格外注意。例如,平角是用射线绕端点旋转,始边终边成一直线定义的,而不是用 180 角定义的;钝角概念的理解、叙述都要完整;互余、互补概念不要混淆下面看两个例题。Learning materials 例 一个角是它的余角的 ,求这个角

13、的补角。1 13分析:设这个角为,则它的余角为 90 - ,它的补角为 180 - 。这就是用互余、互补的概念来表示这些角。再根据另外的大小关系列方程,即 ( ),可得 ,它的补角 。= 13 90 - = 22 5 180 - = 157 5若是用 的关系设未知数,即设 这个角的余角为,则 这个角为,然后用互余概念列 方程 ,可得 。因为一131313 = 90 = 67 5个角的补角比它的余角大 90 ,所以这个角的补角为 157 5 。这又是根据互余、互补的概念作出的判断。例 2 求证:三角形一边的两个端点到这边上的中线距离相等。分析:如图 10 ,这个题涉及的概念中 “三角形”、 “边

14、”、 “端点 ”,都不难懂,三角形的 “中线”,就需要明确是 “连结三角形一个顶点和它的对边中点的线段”;尤其值得注意的是这个 “距离”,是点到直线的距离,所以要从 B 点和 C 点分别向 AD 及其延长线引垂线段。在平面几何中,有三种不同的 “距离”概念:两点距 离;点到直线的距离,两条平行线之间的距离。只有把它们归在一起,对比着念,才能分得清,记得住。概念清楚,证明就容易了。这个题只要用 “角角边”证 BDE CDF ,就可以得到 BE=CF 了。练习三想一想,下列各题错在哪里。1 在图 11 中,已知 AD BC ,就说 1= 2 对不对?在图 12 中,已知AB CD ,就说 DEC=

15、 BFH 对不对?提示: 应着重研究三线八角中内错角与同位角概念。在图 11 中,两条平行线 AD 、 BC 被 DB 所截,内错角 3= 4 是正确的, 1 、 2 这一组三线八角无关。若说 1 、 2 也是内错角,那指的是两条直线 AB 、 CD 被 DB 所截,但是 AB 、 CD 是否平行还不知道,所以不能说 1= 2 。在图 12 中,两条平行线 AB 、 CD 被 EF 所截有四组同位角,其中没有 DEC 与 BFH ,这两个角的边Learning materials 是 ED 、 EG 、 FB 、 FH 已经是四条直线了,怎么会是同位角呢?用三线八角认真检查一下就明白了。2 在

16、图 13 中,问 E 到 CD 的距离,就画出垂线段 EF ,然后量 EF 的长对不对?提示: 点到直线的距离是用 “垂线段”的长定义的,而 “垂直”是用两条直线相交成直角定义的。那么,对这道题来说是哪两条直线呢?既然是 E到 CD 的距离,当然 CD 是一条直线,再就是所作的垂线 EF 是一条直线。下面,我们在看一看 CD 与 EF 所成的四个角中是不是有一个角是直角呢?没有。所以量 EF 的长是错误的。因为它不是从 E 点到 CD 所作的垂线,应该自 E 点作CD 的垂线,然后再量垂线段的长。3 把钝角三角形的三条高,画成图 14 的样子,对不对?提示: AD 是 ABC 的高是对的, D

17、E 、 DF 虽然也是垂线段,但是与三角形的高的概念 ( “三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段”)不符合,所以有两条垂线段不是高。我们应该从 C 点向 BA 的延长线引垂线,从 B 点向CA 的延长线引垂线。4 如图 15 , AB 是直线 l 的垂线,垂足为 B , AC 为直线 l 的斜线,斜足C , CD CA ,就说 1 与 2 互余、 1 与 3 互余,所以 2 与 3 互余,对不对?提示: 根据互余的概念,写出表达式 1 2=90 ; 1 3=90 这两个等式经过移项,可改写成 2=90 - 1 ; 3=90 - 1 。显然, 2= 3 ,不是 2 与 3 互余。一般地说,由

18、 =90 =90 是判断不出 =90 的,应该得出 = 。当然除非要、都是 45 的情况。Learning materials 5 如图 16 ,已知在 ABC 中, D 是 AB 中点, E 是 AC 中点, N 是 BC上一点, 交 于 。就说 等于 ,根据是三角形中位线 定理,对AN DE M DM 1 BN2不对?提示: 在应用三角形中位线定理的时候,必须符合三角形中位线的概念。在 ABN 中,已知 D 是 AB 中点,可是, M 是不是 AN 避点,却还没证明。应该先证 DE BC ,再用平行线等分线段定理的推论,判断 AM=MN ,才能用 两边中点连线 平行于 且等于 这个结论。A

19、BN DM BN BN126 如图 17 ,在正方形 ABCD 中, E 、 O 、 F 分别是 AB 、 DB 、 AD 的中点,能不能说根据三角 形中位线定理,有 、 。因为OE = 12 AD OF = 12 ABAD=AB ,所以 OE=OF 。又 AE=AF , A=90 ,所以四边形 AEOF 是正方形。这样说对不对?提示: 这个题中,论据摆了不少,但是对照正方形定义 ( “有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形”),还是少了一个条件,即没有证明这个四边形是平行四边形。如果说先以两组对边分别是相等证出平行四边形 , ,再有 , ,这OE= AD=AF OF= AB=A

20、E A= AE=AF12 12 90样证明就对了。 判断、推理的依据 判断、推理是研究图形性质的主要方法,判断、推理的依据又是什么呢?是几何的概念、公理和定理。概念问题,前两节已经讲过。下面,我们着重谈谈公理和定理的作用。让我们通过一道几何证明题,看看几何公理、定理的应用,以及公理、定理间的联系。如图 18 ,已知: ABC 。求证: A B C=180 证明时过 A 点作 DE BC ,得到 1= B , 2= C 。这就用到学过的定理:Learning materials 二直线平行,内错角相等。由于 1 BAC 2=180 ,比等量代换,可以得到 B BAC C=180 。从表面上看这个

21、证明过程只用了一个定理: “二直线平行,内错角相等”,可是这定理是在学了 “二直线平行,同位角相等”和 “对顶角相等”这两个定理之后得到的。因此,这个问题的解决,需要三个定理。 再进一步说,学习另外两个定理时,又需要先学另外的公理、定理,还需要应用反证法的知识和基本作图的技能。看起来一道几何题的证明,就是研究一个图形的性质的过程,而这个研究过程用的是判断、推理的方法。几何学要 求每一步的判断都要有根据,这些根据就是前面讲过的公理或定理。前面定理又要它前面学过的定理作依据,照这样总要向前面要根据,最前面的怎办呢?这就是公理。几何公理是人们从实践中总结出来的图形的基本性质,它已为大家所承认,可以作

22、为说明其他问题的根据。在几何课里学公理、定理,如同在代数课里学法则、公式一样,就靠这些内容来解题。研究图形性质,就要根据题目条件,选用一条或几条几何公理、定理来判断、推理,最终得到需要的结论。所以,大家一定要象熟悉代数法则、公式一样地念熟几何公理和定理。推论是证明定理时附带得出的几何图形性质,也可以把它看作定理,只不过推论往往是没有单独证明过。尽管如此,有时候一个定理的理论,比本定理应用的时候还要多。例如,三角形内角和定理的推论,圆周角定理的推论,都是这样。练习四1 将上面所说证明三角形内角和等于 180 的过程中用到的定理,都追问一个为什么,并且加以证明。2 证明下列定理,认真写出已知、求证

23、、证明过程,以及每一步骤的依据:( 1 )同角的余角相等;( 2 )同角的补角相等;( 3 )等角的余角相等;( 4 )等角的补角相等。Learning materials 思路是怎样打开的 思路随着推理过程而展开,为了找开思路,必须会推理。首先,要弄懂弄通某些局部知识的推理特点。比如,平行线部分的推理特点是分清判定定理和性质定理;全等三角形部分的推理特点是有选择地挑出三个元素对应相等;平行四边形是平行线与全等三角形的综合,必然兼有以上两部知识的推理特点。其次,要认真钻研某些知识的纵向联系,真正做到举一反三,触类旁通。比如,下面将要看到的:从研究相似形开始,引入了基本图的思想;从研究圆开始,提

24、出了十套知识归类训练法。思路打开以后,千万注意一个容易被人们忽视的问题:当你添设辅助线的时候,一定别忘了添线的合理性和可能性。 推理从这儿开始 如果把概念、公理、定理都学会了,判断、推是就有了基础。这时就要进行一些训练,比如,从具体到抽象的训练。下面,我们先从两个角互余的关第出发,研究一下推理是如何展开的。若为 40 ,则它的余角为 50 。互余是两角之间的大小关系,只要知道其中一个角的大小,就可以求出另一个角的大小。若为 40 ,画出它的余角,则为 50 ;再画出的另一个余角,则亦为 50 。结论是:凡是 40 角的余角,无论画出多少个,都是 50 ,也就是相等。若不是 40 ,则它的余角当

25、然不是 50 ,但总可以用 90 - 来表示。结论是:凡是角的余角,无论画出多少个,都可以用 90 - 表示。所以,凡是角的余角都是相等的。以上道理虽然简单,但是已经离开了具体数字的计算,开始上升到抽象推理。 (或几个角)的大小 (度、分、秒),过渡到判断两个角大小相等,虽然这时并不知道这两个角各自是多少度。与此相类似,若是角等于角,则角的余角必等于角的余角。两角互补的关系也是一样,下面写出推理的具体思路看 一看。已知:如图 19 ,是的补角,也是的补角。求证: = 。分析:既然、是互补的角,就用式子把它们的关系表示出来,写成 =180 ,再进一步,等于什么呢? =180 - ;同样的想法写出

26、 =180 - 。到这里,可以看出:与都等于 180-,所以 = 。证明: =180 (补角定义),又 =180 (补角 定义), =180 - (等式性质), =180 - (等式性质), = (等量代换)。Learning materials 同样是图 19 ,可以把知条件改作与是对顶角,求证 = 。证明开始时,先说 OB 、 OC 分别是 OA 、 OD 的反方向延长线,根据是对顶角定义;再说 AOB 与 COD 都是平角,根据是平角定义;接着说 =180, =180 根据是互补定义。到了这时就可以直接得出结论, = ,根据是同角的补角相等。通过上述推理过程可以看出,从已知条件出发,每一

27、步骤就是一次判断,把一次又一次的判断连接起来就构成了推理。判断的依据不是概念,就是公理、定理,也包括等式性 质,开始学某一部分知识的时候,一般用概念进行判断较多;逐渐定理学多了,用定理作为推理依据就多了。练习五1 已知: AOC 和 BOC 互为邻补角, OD 平分 AOC , OE 平分 BOC 。求证: OD OE 。2 已知: AB MN 等于 B , CD MN 于 D 。求证: AB CD 。Learning materials 泾渭分明的平行线问题 从研究同角的余角相等这个结论开始,我们已经走进了推理论证的大门。判断、推理伴随着学习几何的全过程,但是各阶段的推理也有它自己的特点。平

28、行线这一部分推理的特点,是必须分清判定和性质。即已知平行用性质定理;求证平行用判定定理。用角的关系来判断两直线平行,是一各常用的方法。因为平行线虽然有定义,但是不好运用 “不相交”这个概念。所以不便用定义,需要另设关定方法。这里有一项准备工作必须做好。就是弄清三线八角中的同位角、内错角和同旁内角。这些角是因位置不同而得名的并称的角;并不说明两个角的大小关系,即同位角有的相等,有的不相等,内错角也是有的相等,有的不相等;同旁内角 有的是互补的,有的不是互补的。学习平行线判定公理,千万不要过早地简化公理,应该要求自己能完完整整一字不错地将公理全文背不来,明确这是用同位角的大小关系,判断两直线平行或

29、是不平行的。若知道 (已知或已证)同位角相等,就可以判断二直线平行;若不知道同位角相等还是不相等,就不能判断二直线平行。学过平行线性质定理,必须已知或已证二直线平行才能用,也要全文背诵下来。若是过早地简化,往往容易忽视 “如果”、 “那么”的关系,甚至随便就说 “同位角相等”,造成凡同位角就相等的错误印象。有关平行线问题的推理,重要的事情就是分清性质和判定,每次证一个题目,对其中每一个推理步骤,都要问自己一次:是已知平行还是求证平行?是用性质理还是用判定定理?例如图 20 中,已知: AB CD , EG 、 FH 分别是 AEF 和图 20 EFD 的平分线。求证: EG FH 。证明: A

30、B CD (已知), AEF= EFD (两直线平线,内错角相等)。 1= 2 , 3= 4 (角平分线定义), 2= 3 (等式性质), EG FH (内错角相等,两直线平行)。值得注意的是 2 与 3 确实是内错角,但是之所以能说 2= 3 ,并不是因为这两角由它们的位置来看是内错角 (因为内错角不见得相等),而是因为 2 是 AEF 的一半, 3 是 EFD 的一半, AEF 与 EFD 是相等的,2 、 3 是等量的一半,所以相等。练习六1 如图 21 ,已知:直线 MN 分别交 AB 、 CD 、 EF 三直线于 P 、 Q 、 R ,且AB CD , 1= 2 。求证: AB EF

31、 。Learning materials 提示:证明 AB 、 EF 的位置关系时,可以用有关的角证,也可以用平行公理的推论证。2 如图 22 ,已知: 1+ 2=180 , 3=61 ,求: 4 的度数。3 如图 23 ,已知: AB CD ,且 1= 2 。求证: BE DF 。4 如图 24 ,已知: AB CD , AG 、 CF 分别是 BAC 与 DCE 的平分线。求证: AG CEF 。Learning materials 规规矩矩证全等三角形 每一个三角形都有三条边、三个内角。如果两个三角形这六个元素一一对应相等,这两个三角形必然能重合。如果两个三角形能重合,那么这两个三角形就

32、叫做全等三角形。实际上,在判定两个三角形全等的时候,不需要六个元素对应相等,只要有经过选择的三个元素对应相等就够了。这就是课本上明确的五个判定定理。但是一道几何题是不会给足三个条件的,至少要缺一个条件,让学生从其他条件中再推出一个条件。如图 25 ,已知: ABC 与 ADE 都是等边三角形。求证: ABD ACE 。每见到一个图形,就应当立刻想想它有什么性质这是推理的具体准备。比如,已知条件说 ABC 与 ADE 都是等边三角形,我们就会立刻想到AB=BC=AC , CAB= ABC=BCA=60 ; AD=DE=AE , EAD= ADE= DEA=60 。这些不一定都写出来,只是作好准备

33、,证明时用什么写什么。再看看求证的两个三角形,已经有两对边分别相等了,下面或是能证明夹角相等,满足 “边、角、边”定理;或是能 证明第三边相等,满足 “边、边、边”定理。结合上面推出的条件, 1= BAC- 3 , 2= DAE- 3 ,所以 1= 2 。可以证明 ABD ACE 。开始学习三角形全等,主要是证这类题,所缺条伯,经常靠下述关系补足: 1 公共边; 2 公共角; 3 对顶角; 4 平行线的内错角 (或同位角);5 同角 (或等角)的余角相等; 6 同角 (或等角)的补角相等; 7 等式性质。上面说的是 “怎样想”。全等三角形与相似三角形是平面几何两大 中心,大部分知识环绕着这两个

34、内容来研究,所以从已知的条件及求证的要求产生证三角形全等的意识是很有用的。证全等三角形不但要会想,而且要会写,要讲究证题格式。以前的证明格式是在纸上画一条竖线,左边写过程,右边写根据;后来就用 “” “”的形式,一步步往下推理,将主要根据注在括弧内;现在用双箭头、大括号。无论哪一种格式都要求有条有理、有根有据。讲究解题格式,最重要的理由是保证推理无误,也使人能看清楚。出题的人不能把证全等的三个条件给全,这就要求做题的人能根据已知条件有根有据地推出新的相等元素 (边或角)。寻新的相等元素的论证过程,未必都很简单,因此,有条有理地、清清楚楚地写出证明过程,就显得十分重要了。讲究格式对培养自己思维的

35、条理性、全面性也是非常有益的。一道题的前半部分是将需要的内容都证出来,准备好。后半部分是将用作判断三角形全等的三条,摆在一起用 大括号括起来,再审查一遍,看合不合要求,到底是 “角、边、角”,还是 “角、角、边”,最后再用 “”符号把要证的两个三角形连结起来,在后面注明理由。Learning materials 如果做到上述要求,就不至于丢三落四了。请大家看看下面例题的证明格式:如图 26 ,已知: AB CD , BE AC 于 E , DF AC 于 F ,且 AF=CE 。求证:AB=CD 。证明: AB CD , A= C (两直线平行,内错角相等)。 BE AC 于 E , DF A

36、C 于 F , AEB= CFD=90 (垂直定义)。 AF=CE , AF-EF=CE-EF ,即 AE=CF 。 ABE CDF (角、边、角), AB=CD 。刚刚开始学习三角形全等的同学,有必要将已经推出的三个条件重写一遍,用大括号括在一起。证两个三角形全等,往往不是目的,而是通过证明两个三角形全等得到对应边相等或对应角相等。有时证了一套三角形全等以后,还要再去证第二套甚至 第三套三角形全等。这样,题目加深了,内容复杂了,步骤多了,产生错误的可能性就更大了。所以,我们说要规规矩矩证全等,只有找准三个条件,才能依照判定定理证全等。一般的题目是这样,难度大的题目更是这样。如图 27 ,已知

37、:等边 ABC ,延长 BC 到 D ,再延长 BA 到 E ,使 AE=BD ,连结 EC 、 ED 。求证: EC=ED 。这个题有几种不同的解法,应该怎么想呢?所谓学会想问题的方法,是指什么说的呢?从等边 ABC 着眼,想到 AB=BC=AC , B= BAC= ACB=60 ;由 AE=BD=BC+CD 想到为了能说清这些线段之间的关系,不妨设 BC=a , CD=b ,则 AB=a , AE=a+b , BE=2a+b ;由 BE 的长度可以用 a 、 b 表示, B 又是 60 角,想到若是作 EF BD 于 F ,则 BEF 为直角三角形, BEF 为30 30 12 12 2

38、121212, 角所对边 为斜边 的一半,即 ( )。但是, ,所以 。又 ,所以 。即BF BE BF= BE= a+b =a+b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= bLearning materials CF=FD 。这时,再证 ECF EDF 就不困难了,易得 EC=ED 。这个题目与前面一些题目比较,显得难了一些,训练要 求也高了一些。要求降了必须熟悉等边三角形性质以外,还必须弄清这几条线段间的位置关系与大小关系,才能按照需要运算、推理。最后,欲证 ECD 是等腰三角形,作出辅助线 EF CD 于 F ,制造全等三角形的想法是比较自然的。与些同时制造了直角 EB

39、F ,这个一举两得的结果对解这个题是十分关键的。练习七1 如图 28 ,已知: AB=AC , AD=AE 。求证:( 1 ) ABE ACD ; ( 2 ) BOS COE ;( 3 ) AOD AOE ; ( 4 ) AOB AOC 。2 已知条件如上题。求证: BAO= CAO 。3 如图 29 ,已知: D 是 ABC 的 BC 边的中点, E 是 AC 边上一点, DF DE 交 AB 于 F ,以 E 以圆心 EF 长为半径作弧交 FD 的延长线于 G ,连结 CG ,求证: BF=CG 。4 如图 30 ,已知: C 是 AB 上一点, CD=AB ,且 BE CD ,以 BE=

40、AC 。求证,AE=AD 。Learning materials 综合性强的平行四边形 平行四边形本身就是平行线与全等三角形的综合,因此,解题的时候必然要兼顾上述两个方面。值得注意的是,对于 “见到图形想到性质”的训练,在这里要求更高些。从已知条件向推理,到底从哪个条件开始:这个选择是十分重要的,关系到能不能顺利地进行推理。 “已知”告诉我们的是 “有什么”, “求证”告诉我们的是 “要什么”这就要求我们能按照题目的需要选择有关的图形性质。如图 31 ,已知:在四边形 ABCD 中, AB CD , A= C 。 求证:四边形 ABCD是平行四边形。这道题目虽然简单,但是证题的思路要清楚。若利

41、用边的关系来,则可以用定义,也可以用 “一线对边平行且相等”或 “有两组对边分别相等”。这时,千万不要忙着连结对角线,证三角形全等。首先应当看看本题的条件与哪条定理接近,显然,用平行四边形定义来证是可以的。现在,已经有一组对边平行了,因而可以得出 A+ D=180 ,现在,换成 C+ D=180 ,就能证出另一组对边 AD BC 。其次应当再想一想:因为没有 “对边相等”的条件,所以就不考虑后两种办法了;若用角证,则靠等角的补角相等,也能证出另一组对角也相等;因为图中没有对角线,就不考虑用对角线判定了。如图 32 ,已知 ABCD 中, DE AB 于 E ,交 AC 于 F ,且 FC=2A

42、D 。求证: DAC=2 CAB 。如果一时没有头绪,不妨根据平行四边形的性质,进行推理,扩大可知的条件。由于有平行线,于是有 1 、 2 相等,同时有 CDF=90 ;这样,图中共有三个直角三角形: ADE 、 AFE 、 DFC ;显而易见进一步该考虚直角三角 形的性质了。我们学过直角三角形的性质,如在直角三角形中,锐角互余,斜边中线等于斜边一半, 30 角所对边是斜边一半等等。这里,锐角互余暂时派不上用场,也没有 30 角可用。那么,只好考虑斜边中线等于斜边一半这一条了。已知 FC2=2AD ,可改写成AD= FC DFC FC12 ,这一改写使我们得到 启发,若看直角 ,斜边就是 ,A

43、D 就是这斜边的一半。取 FC 中点 M ,连结 DM ,这 DM 就是斜边中线,应该等于斜边一半,于是有 ,经等量代换,得到 , 。DM= FC AD=DM =12 3 4而 DM=MC , 2= 5 , 4 是 DMC 的外角, 4= 2= 5=2 2 ,再换成 3=2 1 。再如图 33 ,已知: ABCD 对角线相交于 O ,引 OE AB 于 E , OF CD 于 F 。求证: OE=OF 。Learning materials 前面那个题的思考方法,主要是从前到后,先看有什么,是从已知向后推理,属于综合法。这一次求证两线段相等,自然想到要证三角形全等,使它们当对应边,这种想法主要

44、是从后向前,先看要什么,希望证出什么,属于分析法。要证 OE=OF ,看看它们所在的三角形,希望证出 AOE COF ,或是DOF BOE 。这两个三角形全等 的条件够不够呢?有 OA=OC ,根据是原平行四边形对角线互相平分,有 AEO= CFO=90 ,还有 1= 2 ,满足角、角、边,可以了。从而得到 OE=OF 。如果没好好想一想,随便说 OA=OC , AEO=CFO=90,还有 AOE= COF 是对顶角相等,也满足角、角、边,不是也能证 AOE COF 吗?这就错了。因为已知条件给的是分别从 O 点向 AB 、 CD 引垂线,E 、 O 、 F 三点在不在一条直线上还没证明。在肯

45、定 EOF 是直线以前,说 AOE与 COF 是对顶角是不行的。其实,要证三点共线并不难,这个题只要用三角形内角和为 180 ,就能证出 AOE= COF ,而 AOC 是直线,即 AOF+ COF=180 ,经等量代换,可以得到 AOF+ AOE=180 ,则 EOF=180 ,据平角定义, EOF 当然是直线了。即使不证三点共线,也能证明 OE=OF ,那么何必自讨苦吃呢?所以,遇到共线问题,能躲开是躲开的好,这是一般的想法。练习八1 如图 34 ,已知:四边形 ABCD 是正方形,直线 MN 过 C 点, BE MN 于E , DF MN 于 F 。求证: DF-BE=EF 。2 如图

46、35 ,已知: E 、 F 分别是 ABC 的边 AB 、 BC 的 中点, G 、 H 是 AC边上的点,且 AG=GH=HC , EG 和 FH 的延长线相交于 D 。求证:四边形 ABCD 是平行四边形。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0033_1.bmp提示: 连结 BH , EG 为 ABH 中位线;连结 BG ,则 FH 为 BCG 的中位线。可证四边形 BHDG 为平行四边形。连结 BD ,交 AC 于 O ,因为 OG=OH ,易证 OA=OC ,OB=OD 。这个图形中有对角线的关系,所以用对角线判定平行四边形比较方便。3 如图 36 ,已知:

47、ABC 中 ACB=90 , CD AB 于 D , A 的平分线 AE交 CD 于 F , FH AB 交 BC 于 H ,再引 EG AB 于 G ,连结 FG 。求证:四边开 CFGE是菱形;四边形 FGBH 是平行四边形。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0033_2.bmp提示 : 分别找出 1 、 2 的余角,可证 CF=CE 。易证 AEC AEG ,有 CE=EG 。4 如图 37 ,已知: ABCE ,且 ABE 、 CDF 、 BCG 都是等边三角形。求证: EG=AC 。 提示: 由于 EB=AB , BG=BC , EBC=60 + ABG=

48、 ABC ,所以 EBG ABC 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0034.bmpLearning materials 从相似形谈到研究基本图 学习相似三角形,主要是研究比例线段。这是因为证四条线段成比例,在平面几何里是一个重要的内容。根据图形性质判断四条线段成比例,共有三部分定理:平行线分线段成比例定理,角平分线定理,相似三角形对应边成比例。其中,用得较多的是第三部分定理。我们知道,相似三角形判定定理有五个,但是用得比较多的还是下面两个:平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相;一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角

49、对应相等,则这两个三角形相似。在直线形中的比例线段问题,多用前一个定理,在圆中的比例线段问题多用后一个定理。下面,我们重点谈谈基本图。什么是基本图呢?就是在 成千上万的几何题中,反复出现,重复使用的简单图形。图 38 和图 39 是比例线段问题中常用的、重要的基本图。如图 38 , D 、 E 分别是 AB 、 AC 边上的点,且 DE BC 。ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0035_1.bmp这里一方面可用平行线 分线段成比例定理,即 。这四条线段是连续的, 在 的延长线上, 和 也是这样。另外,用合 比、反比,也可以得到 和 。另一方面用相似三角 形可以得到

50、 。如图 , ,可以得到 。AD = AEECDB AD EC AEAB = ACECAB = ACAEAD = AEAC =DEBC 39 ED BCAD = AEAC =DEBCDBDB ADAB AB下面,让我们通过两个例题,说明这两个基本图在证明题中的应用。如图 40 ,已知: B 是线段 AC 上的一点, ABET 和 BCD 都是等边三角形,AD 交 BE 于 M , CE 交 BD 于 N 。求证: BM=BN 。 我们注意到,在图 40 中, ACD内有 BM CD ,符合图 38 的条件,于是有 ,即 ,同样,在 内有 ,得到,即 ,等量代换后,有 。BM = ABAC BM

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