1、第二章平面向量,2.1平面向量的实际背景及基本概念,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.向量的概念(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.,目标导航,预习导引,1,2,3,2.向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度.(2)向量可以用有向线段表示,向量 的大小,也就是向量 的长度(或称模),记作| |.向量也可以用字母a,b,c,表示,也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如: (3)长度为0的向量叫做零向量,记作0,长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.(4)方向
2、相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果向量a,b平行,记作ab.规定:零向量与任一向量平行.,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流 (1)两个向量可以比较大小吗?提示:不能.因为向量既有大小,又有方向.(2)零向量没有方向,对吗?提示:不对.零向量的方向是任意的.,目标导航,预习导引,1,2,3,3.相等向量与共线向量(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流(1)表示相等向量的有向线段一定重合吗?提示:不一定,也可以平行,或在一条直线上.(2)共线向量与相等向量有什么关系
3、?提示:相等的向量一定共线,而共线的向量不一定相等.(3)零向量与任一向量有什么关系?提示:规定零向量与任一向量是共线向量.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,三,一、向量有关的概念1.向量与数量的区别和联系,2.向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量.(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例1】 给出下列结论:(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(2
4、)向量的模一定是正数;(3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.其中正确结论的序号是.思路分析:解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手,逐一判断真假.答案:(3)解析:(1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.(2)错误.0的模|0|=0.(3)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,1.已知 =1, = 2,若ABC=90,则 =,BAC=.答案: 60,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,2.判断下列说法是否正
5、确,并说明理由.(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量;(3)数轴是向量;(4)由于零向量0方向不确定,故0不能与任一向量平行;(5)若向量a与b同向,且|a|b|,则ab.解:(1)不正确.两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量必相等,反之,两个向量相等,却不一定有相同的起止点.(2)不正确.两向量虽然有公共终点,但方向不一定相同或相反,故不一定是共线向量.(3)不正确.数轴是一条具有方向的直线,而没有大小.(4)不正确.规定零向量与任一向量平行.(5)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不
6、能比较大小,故(5)不正确.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,三,二、向量的表示1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.2.要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向,需要在日常学习中不断积累经验.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例2】 对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形?(1)把所有单位向量的起点平移到同一点P;(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P;(3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P.思路分析:本题可借助于图形帮
7、助解决问题.解:(1)是以P点为圆心,以1个单位长为半径的圆.(2)是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点.(3)是直线l.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后又改变方向向西偏北50方向走了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、相等向量与共线向量1.平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a,b平行,则记作ab.规定零向量与任一向量平行,即对于任意向量a,都有0a.2.相等向量任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段
8、的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.3.共线向量由于向量与起点无关,因此向量是自由移动的,也就是说,任何一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此平行向量也称为共线向量.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例3】 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,(1)与a的模相等的向量有多少个?(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?(3)与a共线的向量有哪些?(4)请一一列出与a,b,c相等的向量.思路分析:抓住向量的两个要素:长度和方向,对图中向量进行一一判断.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移
9、应用,知识精要,一,二,三,下列说法中:两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同;若非零向量 是共线向量,则A,B,C,D四点共线;若非零向量a与b共线,则a=b;若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:B解析:显然是错误的;也是错误的,例如平行四边形ABCD中, 共线,但A,B,C,D四点不共线;是错误的,两个非零向量共线,说明这两个向量方向相同或相反,而两个向量相等是说这两个向量大小相等,方向相同,因而共线向量不一定是相等向量,但相等向量却一定是共线向量;是正确的,向量相等,即大小相等、方向相同.,混淆位移与路程的概念而出错如图所示,一艘海上巡逻艇从
10、港口向北航行了30 n mile,这时接到求救信号,在巡逻艇的正东方向30 n mile处有一艘渔船抛锚需救助,试求:(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移.,案例探究,思悟升华,类题试解,案例探究,思悟升华,类题试解,案例探究,思悟升华,类题试解,路程是指物体行进轨迹的长度,只有大小;而位移是向量,与物体起点和终点有关,有大小和方向两个要素,与行进的轨迹无关.在实际问题的解决中,容易混淆位移与路程的概念而造成错误.,案例探究,思悟升华,类题试解,一架飞机先从点A沿西北方向飞行200 km到达点B,再从点B向东飞行100 km到达点C,最后从点C向南偏东60飞行50 km到达点D.求:(1)飞机从点A到点D航行的路程;(2)飞机从点D回到点A的位移.分析:利用平面几何知识和三角函数的定义求解,但要注意区分路程和位移.其中根据题意正确画出图形是解题的关键.解:(1)总的航行路程等于三次飞行的路程之和,案例探究,思悟升华,类题试解,
