1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质,第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,预习交流(1)是否所有的周期函数都有最小正周期?提示:不是.如f(x)=c(c为常数,xR),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正数.(2)周期函数的周期是否唯一?提示:不唯一
2、.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x)(nN).,目标导航,预习导引,1,2,3,目标导航,预习导引,1,2,3,2.函数y=sin x与函数y=cos x的周期都是2k(kZ),最小正周期为2.,目标导航,预习导引,1,2,3,3.函数y=sin x是奇函数,函数y=cos x是偶函数.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,一、与三角函数周期有关的问题1.关于函数周期的理解(1)存在一个不等于零的常数T.(2)对于定义域内的每一个值x,都有x+T属于这个定义域.(3)满足f(x+T)=f(x).2.对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则
3、其周期也不一定唯一.(2)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期.(3)在周期函数y=f(x)中,若xD,则x+nTD(nZ).从而要求周期函数的定义域一定为无限集,且无上下界.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,3.对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y=sin 2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)=sin 2(x+),即是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数,是对x而言的,而非2x.(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=c,任一个
4、正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,【例1】 求下列函数的周期:(1)y=sin (xR);(2)y=|sin x|(xR).思路分析:(1)利用代换z=2x+ ,将求原来函数的周期转化为求y=sin z的周期求解,或利用公式求解.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,二、正、余弦函数的奇偶性1.正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称.2.正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴
5、对称图形.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,【例2】 判断下列函数的奇偶性:,思路分析:首先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)之间的关系.,典题例解,迁移应用,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,知识精要,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,判断函数奇偶性时忽略函数的定义域致误,A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案:D解析:由题意知,当1-sin x0,即sin x1时,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,准确判断函数的奇偶性此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断,判断奇偶性要本着定义域优先的原则,同时若要化简,应注意化简前后的等价性.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,
