1、1.2.2同角三角函数的基本关系,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,同角三角函数的基本关系,目标导航,预习导引,预习交流如何理解同角三角函数基本关系中的“同角”?提示:同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律.这里,“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系都成立.,目标导航,预习导引,预习交流同角三角函数基本关系式有哪些变形形式?提示:sin2+cos2=1可变形为sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,tan =可变形为sin =tan cos 等.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,利用三角函数基本
2、关系式求值对同角三角函数基本关系的五点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里,“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关,如sin23+cos23=1.(2)sin2是(sin )2的简写,不能写成sin 2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义,如式子tan 90=不成立.(4)注意公式的变形,如sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin =cos tan ,cos =等.(5)在应用平方关系式求sin 或cos 时,其正负号是由角所在的象限决定的,不可凭
3、空想象.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例1】 已知tan =,且是第三象限角,求sin ,cos 的值.思路分析:解答本题可由商数关系和平方关系,构建sin ,cos 的方程组求解.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例2】 已知tan =-2,求下列各式的值:,思路分析:解答本题可结合商数关系和平方关系,将正切化为弦函数求解或将弦函数化为正切函数求解.,解:方法一:由tan =-2,得sin =-2cos .,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一
4、,二,三,1.已知cos =-,求sin ,tan 的值.解:cos 0,故tan =2.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、三角函数式的化简与证明1.三角函数式的化简要求三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式,其基本要求:尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求,因此在平常学习时要注意经验的积累.,
5、一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.三角函数式的化简方法化简三角函数式时,在题设的要求下,应合理利用有关公式,常见的化简方法:异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等.3.证明三角恒等式的常用方式方法证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活,常用的有以下几种:(1)直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性;(2)中间量法:证明等式左右两式都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等,即“a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关系的传递性及对
6、称性推出;,(3)比较法:设法证明:“左边-右边=0”或“=1”.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,【例3】 化简下列各式:,思路分析:(1)中含有根号,运用弦函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号;(2)观察式子中有正切,从而利用切化弦的思路进行变形.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,化简tan ,其中是第二象限角.解:因为是第二象限角,所以sin 0,cos 0.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、sin cos 与sin cos 之间的联系1.sin +cos ,sin
7、cos ,sin -cos 三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”.2.求sin +cos 或sin -cos 的值,要注意判断它们的符号.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,同角正、余弦的和、差、积之间的关系问题已知sin +cos =,其中0,求sin -cos 的值.思路分析:,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,1.若没有利用处sin cos 0,则无法判断出sin ,cos 的具体符号,则sin -cos 的符号判断会出现失误.2.若没有判断出处的关系式,则下一步利用平方关系求解sin -cos 的值时,可能会出现两个.3.若前边的符号问题都正确,但在处书写不正确,没有考虑前面的符号将出现sin -cos =的失误.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,1.充分挖掘解题条件在解题过程中要充分利用题中的条件,判断出所需要的符号,如本例中由00,cos 0.2.明确三角函数在每个象限的符号要明确三角函数在每个象限内的符号,要记准并熟练应用,如本例中0,可知余弦可能为正,也可能为负,但正弦一定为正.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,
