1、第六节 简单的三角恒等变换,1.半角公式,2.辅助角公式asin x+bcos x=_sin(x+)，其中,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)当是第一象限角时， ( )(2)对任意角， 都成立.( )(3)公式 是相同的.( ),（4）半角公式的正余弦其实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )（5）公式 中的取值与a,b的值无关.( ),【解析】（1）错误.在第一象限时， 在第一或第三象限.当 在第一象限时， 当 在第三象限时， (2)错误.此式子必须使 有意义.即 即(2k+1)(kZ).,(3)错误.两个公式的角的范围是不同的.(4)正确.由半角公式推导过程可知正确
2、.(5)错误.由 可知的取值与a,b的值有关.答案：（1） （2） （3） （4） （5）,1.已知 (,2)，则 等于( )【解析】选B.,2.已知 等于( )（A）3 （B）6 （C）12 （D）【解析】选A.,3.若 等于( )（A）-a （B）a （C）1-a （D）1+a【解析】选B.,4.函数 的值域是_.【解析】由已知得答案：-2,2,5.计算: =_.【解析】原式=答案：,考向 1 三角函数的化简 【典例1】（1）化简： (2)=_.(2)化简：【思路点拨】(1)分子左边利用倍角公式、分母利用半角公式升幂，整理后可解.（2）利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解.,【规范解
3、答】（1）方法一：原式,方法二：原式=下同方法一.答案：cos,(2)原式=,【拓展提升】三角函数式化简的原则、要求及方法(1)原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.(2)要求：能求出值的应求出值;尽量使三角函数种数最少;,尽量使项数最少;尽量使分母不含三角函数;尽量使被开方数不含三角函数.(3)方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是“1”的代换经常用到.,【变式训练】化简【解析】,考向 2 三角函数式的求值 【典例2】(1)若 =_.(2)已知sin= +cos ,且( )，则的值为_
4、.(3)（2013惠州模拟）已知则tan(-2)=_.,【思路点拨】(1)将所求式子“切化弦”，通过应用倍角公式展开，再“弦化切”可解.（2）将已知条件变形，求得sin-cos与sin+cos，将所求式子应用公式展开代入即可求解.（3）构造角“-2=(-)-”求解.,【规范解答】（1）故所求式子=2 012.答案：2 012,（2）又答案：,答案：-1,【互动探究】本例题（1）中若将“ ”改为“ ”，如何求解 呢？【解析】由已知得所以,【拓展提升】三角函数式求值的类型和思路(1)类型：三角函数式求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式
5、的值；条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.,（2）条件求值的一般思路先化简所求式子或已知条件;观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);将已知条件代入所求式子,化简求值.,【变式备选】已知, 且tan ,tan 是方程 的两个根，求+的值.【解析】由根与系数的关系得：,考向 3 的应用 【典例3】设aR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+（1）求f(x)的解析式.（2）求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,【思路点拨】（1）将f(x)的关系式展开合并再利用 可求a，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从
6、而得f(x)的解析式.（2）利用x的范围及函数单调性求最值.,【规范解答】（1）f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x由解得因此,(2) 当 为增函数；当 为减函数，所以f(x)在又因为故f(x)在,【拓展提升】 在解决三角函数性质问题中的应用(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为 (其中 )的形式去讨论.这样的变形，主要是角的确定.,(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质.【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当为
7、特殊角，即| |的值为1或 时要熟练掌握.对是非特殊角时,只要求会求最值即可.,【变式训练】已知函数(0)的最小正周期为.（1）求的值.（2）求函数f(x)在区间 上的取值范围.,【解析】（1）因为函数f(x)的最小正周期为,且0，所以,(2)由（1）得因为所以所以 所以f(x)在区间 上的取值范围为 .,【满分指导】三角函数综合题的规范解答 【典例】（12分）（2012北京高考）已知函数（1）求f（x）的定义域及最小正周期.（2）求f（x）的单调递减区间.,【思路点拨】,【规范解答】（1）由sin x0得，xk,kZ，所以定义域为x|xk,kZ.3分 5分所以f(x)的最小正周期 8分,10
8、分所以单调递减区间为12分,【失分警示】（下文见规范解答过程）,1.（2013湛江模拟）已知函数f(x)=2sin(x- )cos(x- )（其中0,xR）的最小正周期为，则函数的一条对称轴可能是( ),【解析】选D. 又最小正周期为,故故当 此时f(x)取得最大值，故一条对称轴为,2.（2013广州模拟）已知 则 的值是（ ）,【解析】选C.cos(- )+sin ,3.(2013佛山模拟)化简: 【解析】原式=答案：2,4.（2013云浮模拟）已知,均为锐角，且tan = 则tan(+)=_.【解析】由即tan +tan tan =1-tan ,即tan +tan =1-tan tan ,即即tan(+)=1.答案：1,1.已知 则cos 2等于( )【解析】选B.,2.已知a=(sin x,cos x),b= f(x)=ab，则f(x)在x 的最大值与最小值的差等于( ),【解析】选B.由f(x)=ab= f(x)在 上的最大值为 最小值为故两者之差为,3.函数 的图象( )（A）关于原点对称（B）关于y轴对称（C）关于点(- ,0)对称（D）关于直线x= 对称,【解析】选D. 当此时故关于直线 对称.,
