1、1第二章 学业水平达标检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列说法不正确的是( )A某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为 0C公式 E(X) np 可以用来计算离散型随机变量的均值D从一副扑克牌中随机抽取 5 张，其中梅花的张数服从超几何分布答案：C2设随机变量的 的分布列为 P( k) (k1,2,3,4,5,6)，则 P(1.5 3.5)kn( )A. B.521 421C. D.221 121答案：A3设 X B(1
2、0,0.8)，则 E(2X2)等于( )A16 B18C32 D64答案：B4若 X 的分布列为X 0 1P 0.5 a则 D(X)( )A0.8 B0.25C0.4 D0.2答案：B5某射击运动员射击一次，命中目标的概率为 0.9，问他连续射击两次都没命中的概率是( )A0.64 B0.56C0.01 D0.09答案：C6某停车场能把 12 辆车排成一列停放，设每辆车的停车位置是随机的，若有 8 个车位放了车，而 4 个空位连在一起，这种情况发生的概率等于( )A. B.7C812 8C812C. D.9C812 10C812解析：12 个车位停放 8 辆车共有 C 种停法，将其中 4 个空
3、位“捆绑” ，插空，共有8129 种插法，所以所求概率为 .9C812答案：C7三个元件 T1， T2， T3正常工作的概率分别为 ，且是互相独立的将它们中某123434两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( )2A. B.1532 932C. D.732 1732解析：电路不发生故障的概率P .12 1 (1 34)2 12 1516 1532答案：A8为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N( ，2 2)，且正态分布密度
4、曲线如图所示若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数是( )A997 B954C819 D683解析：由题意可知 60.5， 2，故 P(58.5 X62.5) P( X )0.682 6，从而属于正常情况的人数是 1 0000.682 6683.答案：D9设火箭发射失败的概率为 0.01，若发射 10 次，其中失败的次数为 X，则下列结论正确的是( )A E(X)0.01B P(X k)0.01 k0.9910 kC D(X)0.1D P(X k)C 0.01k0.9910 kk10解析：该试验为独立重复试验，故 E(X
5、)0.1， D(X)100.010.990.099， P(X k)C 0.01k0.9910 k.k10答案：D10某船队若出海后天气好，可获得 5 000 元；若出海后天气坏，将损失 2 000 元；若不出海也要损失 1 000 元根据预测知天气好的概率为 0.6，则出海的期望效益是( )A2 000 元 B2 200 元C2 400 元 D2 600 元解析：出海的期望效益 E( )5 0000.6(10.6)( 2 000)3 0008002 200(元)答案：B11某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f(x) e ，则下列命题中不正确的是( )11
6、02 x 80 2200A该市这次考试的数学平均成绩为 80 分B分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D该市这次考试的数学标准差为 10解析：利用正态密度函数的表达式知 80， 10.故 A，D 正确，利用正态曲线关于直线 x80 对称，知 P( 110)线关于直线 x80 对称，知 P( 110) P( 50)，3即分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同，故 C 正确，故选 B.答案：B12一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为c(a， b
7、， c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为( )A. B.148 124C. D.112 16解析：由已知，得 3a2 b0 c2，得 3a2 b2，所以ab 3a2b 2 .16 16(3a 2b2 ) 16答案：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设离散型随机变量 X N(0,1)，则 P(X0)_； P(2 X2)_解析：由题意知正态曲线的对称轴为 x0.所以 P(X0) P(X0) ； P(2 X2)12 P( 2 X 2 )0.954 4.答案： 0.954 41214口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1
8、 个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 an： anError!如果 Sn为数列 an的前 n 项和，那么 S73 的概率为_解析：由于每次有放回摸球，故该试验可看作独立重复试验，即 7 次试验中摸取白球的次数 B .由 S73 可知，7 次试验中 5 次摸白球，2 次摸红球，故(7，13)PC 5 2 .57(13)(23) 28729答案：2872915由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：X 1 2 3 4 5 6P 0.20 0.10 0.5 0.10 0.1 0.20请你找出丢失的数据后，求得均值为_解析：由 0.200.100.50.100
9、.10.201 知，两个方框内数字分别为2,5，故 E(X)3.5.答案：3.516甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1， A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) P(B) ； P(B|A1) ；25 511事件 B 与事件 A1相互独立； A1， A2， A3是两两互斥的事件； P(B)的值不能确定，因为它与 A1， A2， A3中究竟哪一个发生有关解析：由条件概率
10、知正确显然正确而且 P(B) P(B( A1 A2 A3) P(BA1) P(BA2) P(BA3)4 P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3) .510 511 210 411 310 411 922故不正确答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于 60 分为不及格，求：(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例(2)成绩在 8090 分内的学生人数占总人数的比例解析：(1)设学生的得分为随机变量
11、X， X N(70,102)，则 70， 10.分数在 6080 之间的学生的比例为P(7010 X7010)0.682 6，所以不及格的学生的比例为(10.682 6)0.158 7，12即成绩不及格的学生人数占总人数的 15.87%.(2)成绩在 8090 分内的学生的比例为P(70210 X70210)12 P(7010 X7010)12 (0.954 40.682 6)0.135 9.12即成绩在 8090 分内的学生人数占总人数的 13.59%.18(本小题满分 12 分)一袋中有 6 个黑球，4 个白球(1)依次取出 3 个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率
12、(2)有放回地依次取出 3 球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率(3)有放回地依次取出 3 球，求取到白球个数 X 的分布列、期望和方差解析：(1)设 A“第一次取到白球” ， B“第二次取到白球” ， C“第三次取到白球”，则在 A 发生的条件下，袋中只剩 6 个黑球和 3 个白球，即 P( |A) .Cn A Cn A C14 C13C16 A26C14A29 23(2)因为每次取之前袋中球的情况不变所以 n 次取球的结果互不影响所以 P( ) .C610 35(3)设“摸一次球，摸到白球”为事件 D，则 P(D) ， P( ) .410 25 D 35因为这三次摸球互不影响，
13、显然这个试验为独立重复试验， X 服从二项分布，即 X B.(3，25)所以 P(X0)C 3 ，03(35) 27125P(X1)C 2 ，13(35) 25 54125P(X2)C 1 2 ，23(35) (25) 361255P(X3)C 3 ，3(25) 8125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125又 X 服从二项分布，即 X B .(3，25)所以 E(X)3 ，25 65D(X)3 .35 25 182519(本小题满分 12 分)某校组织一次冬令营活动，有 8 名同学参加，其中有 5 名男同学，3 名女同学，为了活动的需要，要从这
14、 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务，记其中有 X 名男同学(1)求 X 的分布列(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率解析：(1) X 的可能取值为 0,1,2,3.根据公式 P(X k) ， k0,1,2， m，CkMCn kN MCnN其中 mmin M， n算出其相应的概率，即 X 的分布列为X 0 1 2 3P 156 1556 1528 528(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P P(X1) P(X2) .1556 1528 455620(本小题满分 12 分)电信公司进行促销活动，促销方案为顾客消费 1 000 元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
15、，中奖后电信公司返还顾客现金 1 000 元，小李购15买一部价格 2 400 元的手机，只能得 2 张奖券，于是小李补偿 50 元给同事购买一部价格600 元的小灵通(可以得到 3 张奖券)，小李抽奖后实际支出为 X(元)(1)求 X 的分布列(2)试说明小李出资 50 元增加 1 张奖券是否划算解析：(1) X 的所有可能取值为 2 450,1 450,450，550，P(X2 450) 3 ，(45) 64125P(X1 450)C 2 ，1315 (45) 48125P(X450)C 2 ，23 (15) 45 12125P(X550)C 3 ，3 (15) 1125故 X 的分布列为
16、：X 2 450 1 450 450 550P 64125 48125 12125 1125(2)E(X)2 450 1 450 450 (550) 1 850(元)64125 48125 12125 1125设小李不出资 50 元增加 1 张奖券消费的实际支出为 X1(元)，则6P(X12 400) 2 ，(45) 1625P(X11 400)C ，1215 45 825P(X1400)C 2 ，2(15) 125所以 E(X1)2 400 1 400 400 2 000(元)，1625 825 125所以 E(X) E(X1)故小李出资 50 元增加 1 张奖券是划算的21(本小题满分 1
17、2 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中 x 的值(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ，求 的数学期望解析：(1)由频率分布直方图知(0.00630.010.054 x)101，所以 x0.018.(2)因为 50(0.0180.006)1012,500.006103，所以不低于 80 分的学生共 12 人，90 分(含 90 分)以上的共 3 人 的取值为 0,1,2.P(
18、0) ， P( 1) ， P( 2) .C29C21 611 C19C13C21 922 C23C21 122所以 E( )0 1 2 .611 922 122 1222(本小题满分 12 分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超1412过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车时间都不会超过四小时1214(1)求出甲、乙两人所付租车费
19、用相同的概率(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望E( )解析：(1)甲乙两人所付租车费用相同即为 0,2,4 元则付 0 元的概率为 P1 .14 12 18付 2 元的概率为 P2 ，12 14 18付 4 元的概率为 P3 ，14 14 1167则所付租车费用相同的概率为P P1 P2 P3 .516(2) 的可能取值为 0,2,4,6,8，P( 0) ，18P( 2) ，14 14 12 12 516P( 4) .14 14 12 14 14 12 516P( 6) ，14 14 12 14 316P( 8) .14 14 116 的分布列为 0 2 4 6 8P 18 516 516 316 116E( ) .58 54 98 12 72
