1、描述數列相鄰項之間關係的通式，稱為該數列的遞迴關係式。遞迴關係式的一般項 之求法na等差型：設首項 a， 公差 d， 則數列a n的遞迴表示法為 1.等比型：設首項 a， 公比 r， 則數列a n的遞迴表示法為 2.累加型： 3. a1 aan 1 an f（ n） )累乘型： 4. a1 aan 1 an f（ n） )5. 特殊的遞迴關係式 ：型態如 an 1 p an q an 1， n 2 的數列設數列a n滿足 an1 pa nqa n1 ， n 2， p， q I.若 p q1 ， 則 an1 pa n（1p） a n1an1 a n （pa na n）（p1） a n1（p1）
2、a n（p1） a n1（p1） （a na n1 ） ， n 2 數列a n1 a n是一個等比數列且公比為 p1 ，則我們可以用累加法找出一般項 II.若 pq 1， 則仿照 I. 之求法 ， 找出實數 ，使得 an1 a n （a na n1 ） ， n 2，亦即數列a n1 a n是一個等比數列且公比為 【例 1】 數列a n的遞迴表示法為 ，試寫出此數列的前 5 項與一般項 an解a13 ， a25 ， a37 ， a49 ， a5111遞迴關係由遞迴定義式可知a n為等差數列a na 1（n1）d23（n1）22n1【例 2】 有一數列a n滿足 ，試寫出此數列的前 5 項與一般項
3、 an解a12 ， a26 ， a318 ， a454 ， a51621由遞迴定義式可知a n為等比數列a na 1rn 1 23 n 12【例 3】 數列 an的遞迴定義式為 ，求此數列的一般項 an解a11a2a 121 1a3a 222 1 ）an an 1 2（n 1） 1 a n212（n1） n2 nn 2n （n 1）2【例 4】 設數列 a n的遞迴定義式為 ，求此數列的一般項 an解 a12a 23a 1a 34a 2 ） an （ n 1） an 1 a n234（n1）（n1）!【例 5】 設數列 的首項 , 且滿足遞迴關係式 . na12143,na1n求此數列的一般項 an解先將遞迴關係式 改寫成 , 143,1n1nnarpar展開得到 . 1napr比較係數得 解得 ,3,1.p因此, 遞迴關係式 可改寫成 .14,na141,nna由遞迴關係式 得知, n1122332214,4,nnnaa累乘得到 1 1434,2.nnnna因此, . 又 . 3,212a故遞迴關係式 的一般項 .143,na 134,n
