1、3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率,第三章 直线与方程,笛卡儿(1596-1650):法国数学家、物理学家和哲学家,堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为“近代科学的始祖”.,几何问题,代数化,观察下面的跷跷板,跷跷板的位置固定吗?,1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.(难点)4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式(重点、难点),思考1 已知直线l经过点P,直线l 的位置能够确定吗?,y,提示:不确定.过一个点有无数条直线.,这些直线有何区别?,提示:它们的倾斜程度不同,如何描
2、述直线的倾斜程度?,x,y,o,规定:当直线l和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.,l,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.,直线倾斜角的范围为:,一、直线的倾斜角,思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系?,提示: 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;,倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.,x,y,O,l,l,l,思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么?,x,y,o,提示:直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可,P,l,思考4 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量呢?,提示:,3 m,3 m,坡度越大,楼梯越陡,“坡度(比)”是“倾斜
3、角”的正切值.,请标出以下直线的倾斜角.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,【即时训练】,二、直线斜率的定义,通常用小写字母k表示,即,一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).,倾斜角不是90的直线都有斜率.,注意:,1.直线的倾斜角为 ,且 则直线的斜率k的取值范围是 。2.直线的倾斜角为 ,且 则直线的斜率k的取值范围是 。3.设直线的斜率为k,且 ,则直线的倾斜角的取值范围是_。,【即时训练】,提示:如图,若为锐角,,思考5 已知一条直线上的两点坐标,如何计算斜率?,结论:当时,斜率k0.,若为钝角,,结论:当,同样,当 的方向向上时,也有 成立.,说明:此公式与两
4、点坐标的顺序无关.,思考6 当直线P1P2平行于x轴,或与x轴重合时, 还适用吗?为什么?,O,提示:适用,O,思考7 当直线平行于y轴,或与y轴重合时,公式还适用吗?,提示:不适用,因为分母为0,斜率不存在.,三、斜率公式,公式特点:,(1)与两点坐标的顺序无关.,(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.,(3)当x1=x2时,公式不适用,此时=90.,经过两点 的直线的斜率公式,已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x等于( )A.-1 B.1 C.-3 D.3解:选C.因为 又A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即
5、解得:x=-3.,【即时训练】,例1 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.,O,x,A,C,B,分析:直接利用公式求解.,由 及 知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角,斜率为正,倾斜角为锐角;斜率为负,倾斜角为钝角;斜率为0,倾斜角为0;斜率不存在时,倾斜角为直角.,已知a,b,c是两两不等的实数,求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角. (1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c). (3)P(b,b+c),Q(a,c+a).,【变式练习】,例2 在平面直
6、角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.,x,y,解:设A1(x1,y1)是l1上任意一点,根据斜率公式有,即x1=y1.,设x1=1,则y1=1,于是A1的坐标是(1,1)过原点及点A1(1,1)的直线即为l1,分析:找出直线上异于原点的点.,O,同理l2是过原点及点A2(1,-1)的直线, l3是过原点及点A3(1,2)的直线, l4是过原点及点A4(1,-3)的直线,x,y,O,l1,画出经过点(0,2),且斜率为2与-2的直线.,y,解:斜率为2的直线经过(0,2),(-1,0)两点;,斜率为-2的直线经过(0,2),(1,0)两点.,【变式
7、练习】,1.下列哪些说法是正确的( ),A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B.直线的倾斜角越大,斜率也越大C.两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等D.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等,C,2.下列哪些说法是正确的( ),A.直线斜率的范围是RB.平行y轴的直线倾斜角和斜率都不存在C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或D.过原点的直线,斜率越大,越靠近y轴。,A,3.设直线l过原点,其倾斜角为,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()A.45 B.135C.135D.当0135时,为45;当135180时,为135,D,直线的倾斜角和斜率,不是每一粒种子都能发芽,不是每一段路程都铺满鲜花,不过不要忘记,乌云遮不住太阳的光华。,