1、3.4生活中的优化问题举例,【题型探究】类型一 平面几何中的最值问题【典例】1.如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).,(1)试写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域.(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.,2.(2014日照高二检测)某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100m,并与北
2、京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位:m2),AON=(单位:弧度).(1)将S表示为的函数.(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.,【解题探究】1.典例1的解题思路是怎样的?提示:写出函数解析式及函数定义域,然后对函数求导,讨论函数的单调性,求出最值.,2.(1)典例2中要表示阴影三角形的面积,需要求出的量有哪些?提示:需要求出三角形的两条直角边AB,BM.(2)点A位置由哪个量决定?怎样求面积的最大值?提示:点A位置由角的大小决定;表示出S()后利用导数求最值.,【解析
3、】1.(1)设长为xm,则宽为 m.据题意 解得 x16,y= 400+ 248+16000=800x+ +16000,(2)令y=800- =0,解得x=18.当x(0,18)时,函数y为减函数;当x(18,+)时,函数y为增函数.又因为 x16,所以当x=16时,ymin=45000.所以当且仅当长为16m、宽为12.5m时,总造价最低,为45000元.,2.(1)BM=AOsin=100sin,AB=MO+AOcos=100+100cos,(0,).则S= MBAB= 100sin(100+100cos)=5000(sin+sincos),(0,).,(2)S=5000(2cos2+co
4、s-1)=5000(2cos-1)(cos+1).令S=0,得cos= 或cos=-1(舍去),此时= .当变化时,S,S的变化情况如表:,所以,当= 时,S取得最大值Smax=3750 m2,此时AB=150m,即点A到北京路一边l的距离为150m.,【方法技巧】1.利用导数解决优化问题的基本思路,2.关于平面图形中的最值问题平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.,【变式训练】将长为52cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为21及32的矩形,那么面积之和的最小值为.,【解析】设剪成2段中
5、其中一段为xcm,另一段为(52-x)cm,依题意知:S=S1+S2= x2+ (52-x)2,所以:S= (52-x),令S=0,则x=27,另一段为52-27=25,此时Smin=78(cm2).答案:78cm2,类型二 立体几何中的最值问题【典例】1.做一个容积为256dm3的方底无盖水箱,它的高为dm时最省材料.,2.(2015重庆高二检测)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为4千元.设
6、该容器的总建造费用为y千元.,(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域.(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.,【解题探究】1.典例1中容器的体积与哪些量有关?提示:因为底面是正方形,所以体积与底面边长、高有关.2.(1)该组合体是哪些简单几何体构成的?提示:该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的.(2)怎样表示该容器的建造费?提示:两个半球合成一个球的表面积乘以造价+圆柱的侧面积乘以造价.,【解析】1.设水箱底面边长为xdm,则高为 dm,用料总面积S=x2+4 x=x2+ ,S=2x- ,令S=0得x=8,当08时,S0,所以当x=8时,S取得最小值,则高
7、为4dm.答案:4,2.(1)因为容器的体积为 立方米,所以 +r2l= ,解得l=所以圆柱的侧面积为2rl=2r两端两个半球的表面积之和为4r2,所以y= 3+4r24= +8r2.又l= 0r0得2r ;令y0得0r0得2r ;令y0得0r2,故当r 时,函数单调递减,故当r= 时,ymin= .,【方法技巧】关于立体几何中的最值问题(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.,【补偿训练】请你
8、设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?,【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a= x,h= = (30-x),0x30.所以S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.,类型三 实际生活中的优化问题角度1:实际应用中
9、的最大值问题【典例】(2015福州高二检测)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=,(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值.,【解题探究】1.根据销售收入的表达式,年利润关于年产量的函数解析式有什么特点?提示:由于销售收入是分段函数,因此年利润的解析式也是分段函数.2.怎样求分段函数的最大值?提示:分段函数的最大值要分段求,比较每一段上最大值的大小确定
10、最大值.,【解析】(1)当010时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x,所以W= (2)当00;x(9,10时,W10时,W=98- 98-2 =38,当且仅当 =2.7x,即x= 时,W取得最大值38.综合知:当x=9时,W取得最大值为38.6万元.答:当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,最大利润为38.6万元.,角度2:实际应用中的最小值问题【典例】(2015潍坊高二检测)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费
11、用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.,【解题探究】1.不建隔热层时,厚度x的取值是多少?提示:不建隔热层时,厚度x=0.2.总费用包含哪些费用?提示:总费用包含每年能源消耗费用总和+建造费用.,【解析】(1)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)= ,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)= ,而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费
12、用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20 +6x= +6x(0x10).,(2)f(x)=6- ,令f(x)=0即 =6.解得x=5,x=- (舍去),当00,故x=5时,为f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=65+ =70.当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.,【方法技巧】解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最
13、小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.,【变式训练】某商店商品每件成本10元,若售价为25元,则每天能卖出288件,经调查,如果降低价格,销售量可以增加,且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x(单位:元,0x15)的关系是t=6x2.(1)将每天的商品销售利润y表示成x的函数.(2)如何定价才能使每天的商品销售利润最大?【解题指南】表示出每天的商品销售利润y的表达式后利用导数求最值.,【解析】(1)设商品降价x元,记商品每天的获利为f(x),则依题意得y=f(x)=(25-10-x)(288+6x2)=(15-x)(288+6x2)=-6x3+90x2-288x+4320(0x15)
14、.,(2)根据(1),有f(x)=-18x2+180x-288=-18(x-2)(x-8).当x变化时,f(x)与f(x)的变化如下表:,故x=8时,f(x)取得极大值.因为f(8)=4704,f(0)=4320,所以定价为25-8=17元能使一天的商品销售利润最大.,规范解答 导数在实际问题中的综合应用【典例】(12分)(2015长沙高二检测)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P= (其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合
15、格品),已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?,【审题指导】1.要求每天的盈利额,首先将次品率转化为正品率计算正品的产量,再乘以每件产品的利润即可表示出每天的盈利额.2.要求日盈利额的最大值,则首先求出T=0时的日产量,再讨论c的范围,从而确定日产量的取值.,【规范解答】(1)当xc时,P= ,所以T= x2- x1=0. 2分当1xc时,P= ,所以T= x2- x1= 4分综上,日盈利额T(万元)与日产量x(
16、万件)的函数关系为:T= 5分,(2)由(1)知,当xc时,每天的盈利额为0,当1xc时,T= = 令T=0,解得x=3或x=9. 7分因为1xc,c6,所以()当3c6时,Tmax=3,此时x=3. 9分,()当1c3时,由T=知函数T= 在1,3上递增,所以Tmax= ,此时x=c. 11分综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.12分,【题后悟道】1.应用分类讨论思想当题目中含有参数时,一般要对参数进行讨论,如本题中针对参数c的讨论一方面决定了日盈利额的表达式,另一方面影响了日产量的取值.,2.参数的范围对变量取值的影响若参数有一定的范围,则要特别注意参数的取值范围对变量取值的影响,如本题中c为小于6的正常数,则T=0时,日产量只能取3.3.注意解题的规范性解决实际应用题时,要注意解答过程的规范性,对于分类讨论得到的结果,如本例最大利润的结果表达式,要写成分段的形式,最后一定要进行总结.,
