1、2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程,【知识提炼】1.抛物线的定义(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹.(2)焦点:_叫做抛物线的焦点.(3)准线:_叫做抛物线的准线.,相等,点F,直线l,2.抛物线的标准方程,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),【即时小测】1.思考下列问题:(1)抛物线的标准方程y2=2px(p0)中p的几何意义是什么?提示:焦点到准线的距离.(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?提示:不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l
2、的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.,2.抛物线y2=20x的焦点坐标是()A.(10,0)B.(5,0)C.(0,10)D.(0,5)【解析】选B.因为2p=20,所以p=10,故 =5,且焦点在x轴正半轴上.故为(5,0).,3.抛物线x=-2y2的准线方程是()【解析】选D.抛物线x=-2y2化为标准方程为y2=- x,则p= ,故准线方程为x= .,4.抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离是5,则P点坐标是.【解析】设P点的坐标为(x0,y0),由题意得x0+1=5,x0=4,所以y02=16,y0=4,所以P点坐标为(4,4).答案:(4,4),5.已知动点P到定点(2,0
3、)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为.【解析】由条件可知P点的轨迹为抛物线,其焦点为(2,0),准线方程为x=-2,所以 =2,p=4,所以轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x,【知识探究】知识点 抛物线的定义及标准方程观察图形,回答下列问题:,问题:根据上面的四个图形,考虑曲线上的点到直线l和定点F的距离之间有何关系?如何求抛物线的标准方程?,【总结提升】1.对抛物线定义的两点说明(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.,2.四种位置的抛物线标准方程的对比(1)相同点:原点在抛物线上;焦点在坐标轴上;焦点的
4、非零坐标都是一次项系数的 .(2)不同点:焦点在x轴上时,方程的右端为2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为2py,左端为x2.,开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.,【拓展延伸】抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),当b,c为0时,y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= y,a0时,抛物线开口向上,a0)或x2=2py(p0),又点(-2,3)在抛物线上,所以p= ,p= ,所以抛物线方程为y2=- x或x
5、2= y.,2.(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且- =-2,则p=4,所以,所求抛物线的标准方程为x2=-8y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴,且在x轴上面,且 ,则p= .所以,所求抛物线的标准方程为x2=- y.(3)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程为y2=-10x.,【方法技巧】求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程.(2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny,利用已知条件求出m,n的
6、值.,【变式训练】根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)准线方程是y=3.(2)过点P(-2 ,4).(3)焦点到准线的距离为 .,【解析】(1)由准线方程为y=3知抛物线的焦点在y轴负半轴上,且 =3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为x2=-12y.(2)因为点P(-2 ,4)在第二象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0),将点P(-2 ,4)代入y2=-2px,得p=2 ;代入x2=2py,得p=1.所以所求抛物线的标准方程为y2=-4 x或x2=2y.(3)由焦点到准线的距离为 ,得p= ,故所求抛物线的标准方程为y2=2 x或y2=-2 x或x
7、2=2 y或x2=-2 y.,类型二 抛物线定义的应用【典例】若位于y轴右侧的动点M到F 的距离比它到y轴的距离大 .求点M的轨迹方程.,【解题探究】典例中由“位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大 ”你能得出动点M到F的距离与它到哪条直线的距离相等?提示:根据“位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大 ”能得出动点M到F的距离与它到直线x=- 的距离相等.,【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F 的距离比它到y轴的距离大 ,所以动点M到F 的距离与它到直线l:x=- 的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y2=2px(p0)的形式,
8、而 ,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x0).,【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2,求点N的坐标.【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即 +y02=4,又由典例的解析知点M的轨迹方程为y2=2x(x0),故y02=2x0,由可得故点N的坐标为,2.(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+|MF|的最小值,并求出点M的坐标.,【解析】如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|AN|=3+ = .当A,M
9、,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值 ,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).,【方法技巧】抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.,【补偿训练】设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),点B是抛物线上的一个动点,求|BA|+|BF|的最小值
10、.【解析】由于点A(0,2)及点F 分别在抛物线的两侧,故当B,A,F三点共线时|BA|+|BF|取得最小值.即|BA|+|BF|AF|= 即|BA|+|BF|的最小值为,【延伸探究】若线段FA的中点B在抛物线上,求点B到该抛物线准线的距离.,【解析】如图所示,由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为 ,即B ,将其代入y2=2px(p0)得1=2p ,解得p= ,则B点到抛物线准线的距离为,类型三 抛物线的实际应用【典例】1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线
11、顶点)间的距离是.,2.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?,【解题探究】1.典例1中灯泡与反射镜顶点间的距离实际上是求抛物线中的哪个值?提示:焦点到顶点间的距离,即 .,2.典例2中如何求抛物线的方程?如何判断货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?提示:利用条件“跨度
12、为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米”求抛物线的方程;通过验证点(8,y)中y与船体高5米间的关系,判断该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔.,【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示.,因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,所以点A的坐标是(10,12).设抛物线的方程为y2=2px(p0),由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p10,所以p=7.2.所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm.答案:3.6cm,2.如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,
13、竖直直线为y轴,建立直角坐标系.因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p0),则102=-2p(-2),所以p=25,所以抛物线方程为x2=-50y,即y=- x2.,若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=- 82=-1.28,即船体在x=8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米,所以无法通行.又因为5-4.72=0.28(米),0.280.04=7,1507=1050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在
14、现有状况下不能通过桥孔.,【方法技巧】求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线标准方程.(4)求解:求出所要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.,【变式训练】如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水位下降1m后,水面宽m.,【解题指南】解答本题首先建系,转化成抛物线的问题,再利用解抛物线的方法解决问题.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2
15、y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2 m.答案:2,【补偿训练】一辆卡车高3m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.,【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,则点B的坐标为 如图所示.设隧道所在抛物线方程为x2=my,则 所以m=-a.即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y= .欲使卡车通过隧道,应有y- 3,即 3.因为a0,所以a12.21.所以a应取13.,易错案例 求抛物线的标准方程【典例】顶点在原点,焦点在x轴上,过焦点作垂直于x轴的
16、直线交抛物线于A,B两点,AB的长为8,则抛物线的方程为 .,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况,而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况,故出现漏解.,【自我矫正】由于抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,因此设所求抛物线的方程为y2=2ax(a0).因为|AB|=|2a|=8,所以2a=8.故所求抛物线的方程为y2=8x.答案:y2=8x,【防范措施】求抛物线标准方程的两个注意点(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2=2ax或x2=2ay(a0),此时a不具有p的几何意义.(2)在求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有四种形式,易于混淆,解题时一定要做到数形结合,按照“定形(抛物线焦点位置)定量(参数p的值)”的程序求解.,
