1、随遇而安高中数学反证法例题（选择题、填空题、解答题）一、选择题1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C.a、b、c都是偶数D.a、b、c中至少有两个偶数答案B解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数;有两个奇数，一个偶数;有一个奇数，两个偶数;三个偶数.因为要否定，所以假设应为“
2、全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a、b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，
3、也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.5.命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()A.aB.abC.a=bD.ab答案B解析“ab”的否定应为“a=b或a6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案C解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.7.设a，b，c(-，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2答案C解析a+1b+c+1a+b+1
4、c=a+1a+b+1b+c+1ca，b，c(-，0)，a+1a=-a+-1a-2b+1b=-b+-1b-2c+1c=-c+-1c-2a+1b+c+1a+b+1c-6三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于A，若存在直线n，使nl且nm则有lm，与l、m异面矛盾;对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l);对于D，过点P与l、m都异面
5、的直线不唯一.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案C解析因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.10.已知x10，x11且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2)，试证“数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题
6、用反证法否定结论时，应为()A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1B.存在正整数n，使xn=xn+1C.存在正整数n，使xnxn+1且xnxn-1D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)0答案D解析命题的结论是“对任意正整数n，数列xn是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选D.二、填空题11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_.答案没有一个是三角形或四边形或五边形解析“至少有一个”的否定是“没有一个”.12.用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整
7、除”，那么反设的内容是_.答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“都不能”.13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：A+B+C=90+90+C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A=B=90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为_.答案解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_.设全体质数为p1、p2、pn，令p=p1p2pn+1.显然，p不含因数p1、p2、pn.故p
8、要么是质数，要么含有_的质因数.这表明，除质数p1、p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.答案质数只有有限多个除p1、p2、pn之外解析由反证法的步骤可得.二、解答题15.已知：a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0.求证：a0，b0，c0.证明用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，b0，则由a+b+c0，可得c-(a+b)，又a+b0，c(a+b)-(a+b)(a+b)ab+c(a+b)-(a+b)(a+b)+ab即ab+bc+ca0，ab0，b20，-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)0，
9、即ab+bc+ca0矛盾，所以假设不成立.因此a0，b0，c0成立.16.已知a，b，c(0,1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.证明证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.a、b、c都是小于1的正数，1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2(1-a)b14=12，同理(1-b)+c212，(1-c)+a212.三式相加，得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a232，即3232，矛盾.所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b14，(1-b)c14，
10、(1-c)a14，三式相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a143因为0同理，0所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c143.因为与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.17.已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR.(1)若a+b0，求证：f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.解析(1)证明：a+b0，a-b.由已知f(x)的单调性得f(a)f(-b).又a+b0?b-a?f(b)f(-a).两式相加即得：f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)逆命题：f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)?a+b0.下面用反证法证之.假设a+b0，那么：a+b0?abr，则只可能有2bs=br+bt成立.2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，由于r故数列bn中任意三项不可能成等差数列.9心有灵犀
