1、1.1.3四种命题间的相互关系,【知识提炼】四种命题的真假关系(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是_.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性_.,逆否命题,没有关系,(3)一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:,真,真,假,真,假,真,假,假,【即时小测】1.思考下列问题:(1)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同,这种说法正确吗?提示:两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系,但也可能相同,故此说法错误.(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同吗?提示:相同.因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题.,2.与命题“若xAB
2、,则xAB”等价的命题是()A.若xAB,则xABB.若xAB,则xABC.若xAB,则xABD.若xAB,则xAB【解析】选D.因为原命题与其逆否命题等价,故选D.,3.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则p是q的.(从“逆命题、否命题、逆否命题”中选一个填空).【解析】命题p可改为:“若a是正数,则它的平方不等于0”,所以由否命题的概念知p是q的否命题.答案:否命题,4.“若sin= ,则= ”的逆否命题是,逆否命题是命题.(填“真”或“假”)【解析】“若sin= ,则= ”的逆否命题是“若 ,则sin ”,是假命题.答案:若 ,则sin 假
3、,【知识探究】知识点 四种命题之间的关系观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:四种命题中原命题是确定的吗?问题2:四种命题之间有怎样的相互关系.,【总结提升】对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.,(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,有两对互逆命题,两对互否命题,两对互为逆否命题.它们分别为:两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题.两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题.两对互逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题.(3)由于原
4、命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明或判断原命题困难时,可以转化成证明其逆否命题.,【题型探究】类型一四种命题的相互关系【典例】1.(2015济南高二检测)若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是()A.互逆命题 B.互否命题C.互为逆否命题 D.以上都不正确,2.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确,【解题探究】1.典例1中命题q的条件与结论与命题r的条件与结论有什么关系?提示:命题q的条件与结论分别是命题r的结论与条
5、件.2.典例2中原命题的逆命题是什么?逆命题的等价命题是什么?提示:原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”,逆命题的等价命题是:“若p正确,则q正确”.,【解析】1.选A.设p为“若A,则B”,那么q为“若A,则B”,r为“若B,则A”.由于q和r的条件和结论互换,故q和r互为逆命题.2.选D.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”.因此逆命题的等价命题为“若p正确,则q正确”.,【方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一:利用四种命题的定义判断;方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“
6、逆、否”二字,其关系为逆否关系.,【拓展延伸】等价命题的证法与反证法在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾,从而得出假设不成立.,【变式训练】(2014陕西高考)原命题为“若 an,nN+,则an为递减数列”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.,类型二等价命题的应用【典例】判断
7、命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集,则a0,即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.,方法二:先判断原命题的真假如下:因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集,所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a 2.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.,【延伸探究】1.(改变问法)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集,则a2”的逆命
8、题的真假.,【解析】原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判断真假如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,因为a2,所以4a-71,当01时,抛物线与x轴有交点,当0的解集是R,则a0的解集为R,且抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70.所以a0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.,【解析】方法一:因为m0,所以12m0,所以12m+40.所以方程x2+2x-3m=0的判别式=
9、12m+40.所以原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.,方法二:原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+2x-3m=0无实数根,则m0”.方程x2+2x-3m=0无实数根,所以=4+12m0.所以m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆命题的真假.【解析】原命题的逆命题为“若方程x2+2x-3m=0有实数根,则m0”.若方程x2+2x-3m=0有实数根,则=12m+40,解得m-,所以原命题的逆命题为假命题.,2.(变换条件)判断
10、命题“若x2+2x-3m0的解集为(1,+)(-,-3),则m的值为-1”的逆否命题的真假.【解析】判断真假如下:因为x2+2x-3m0的解集为(1,+)(-,-3),所以方程x2+2x-3m=0对应的两个根为1,-3;由根与系数的关系得(-3)1=-3m,解得m=1;所以原命题“若x2+2x-3m0的解集为(1,+)(-,-3),则m的值为-1”为假命题.又因原命题与它的逆否命题等价,所以命题“若x2+2x-3m0的解集为(1,+)(-,-3),则m的值为-1”的逆否命题为假命题.,规范解答 等价命题的实际应用【典例】(12分)(2015天津高二检测)命题:对任意xR,ax2-2ax-30不
11、成立是真命题,求实数a的取值范围.【审题指导】利用等价命题进行转化,然后根据不等式恒成立的条件列出关于参数a的不等式求解.,【规范解答】对任意xR,ax2-2ax-30不成立等价于对任意xR,ax2-2ax-30恒成立,2分当a=0时,不等式为-30时二次函数的图象开口向上,图象不会全部落在x轴下方,显然不符合题意. 6分,当a0时,二次函数f(x)=ax2-2ax-3开口向下,只需满足0即可,即 所以 8分所以 所以-3a0.11分综上所述a的范围是:-3a0.12分,【题后悟道】1.转化思想的应用在解决原命题遇到困难时,可转化为解决其等价命题,如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决.2.分类讨论意识在解决含参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例对二次项系数的讨论.,
