1、第2课时椭圆方程及性质的应用,【题型探究】类型一直线与椭圆的位置关系的判断【典例】1.直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2的位置关系是.2.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,求m的取值范围.,【解题探究】1.典例1中如何判断两者的位置关系?提示:联立两个方程,消元后,判断方程的判别式的符号.2.典例2中的直线有何特点?提示:直线恒过定点(0,1).,【解析】1.联立方程组得消去y,整理得5x2-4x-1=0(#)=(-4)2-45(-1)=360,即方程(#)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交.答案:相交,2.方法一:由消去y,整理得(m+5k2)x2+10k
2、x+5(1-m)=0,所以=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1),因为直线与椭圆总有公共点,所以0对任意kR都成立,因为m0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5,所以1m5.方法二:因为直线y=kx+1过定点M(0,1),所以要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,由此得 解得1mb0)的位置关系:(1)点P在椭圆上 =1;(2)点P在椭圆内部 1.,【变式训练】当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.(1)无公共点;(2)有且仅有一个公共点;(3)有两个公共点.,【解
3、析】由 消去y,得9x2+16(x+m)2=144,化简整理,得25x2+32mx+16m2-144=0,=(32m)2-425(16m2-144)=-576m2+14400.(1)当5,直线l与椭圆无公共点.(2)当=0时,得m=5,直线l与椭圆有且仅有一个公共点.(3)当0时,得-5mb0),直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),则-得因为kAB=- ,AB中点为(x0,y0),x0=4,y0=2,所以- =-2 ,即a2=4b2.所以该椭圆的离心率为,【方法技巧】1.直线与椭圆相交弦长的有关问题直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆
4、的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点:(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2
5、)是椭圆 (ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则由-,得 变形得,(3)共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其一交点为A(x,y),则另一交点为B(2x0-x,2y0-y),则两式作差即得所求直线方程.,【补偿训练】已知椭圆4x2+5y2=20的一个焦点为F,过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长AB.,【解析】椭圆方程 =1,a= ,b=2,c=1,所以直线l的方程为y=x+1(不失一般性,设l过左焦点),由消去y,得9x2+10x-15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2=- .,【延伸探
6、究】1.(改变问法)把题设条件“过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A,B两点”换为“倾斜角为45的直线l交椭圆于A,B两点”,求弦长AB中点的轨迹方程.,【解析】椭圆方程为设A(x1,y1),B(x2,y2),其中点坐标为(x,y),则-得,因为kAB=1,所以4x+5y=0,即弦长AB中点的轨迹方程为4x+5y=0(椭圆4x2+5y2=20内的部分).,2.(改变问法)设题设中椭圆的另一焦点为F,求AFB的面积.【解析】如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设知得c=1,则AB:y=x+1,由得9y2-8y-16=0,则y1+y2= ,y1y2=- ,SAFB= |FF|y1-y
7、2|=,类型三 与椭圆有关的综合问题角度1:最值问题【典例】(2015浙江高考)已知椭圆 +y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+ 对称(1)求实数m的取值范围.(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点),【解题探究】典例中如何设直线AB的方程？提示:由点A，B关于直线y=mx+ 对称知直线AB的方程可设为y=- x+b.,【解析】(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为y= x+b，由 消去y整理得，因为直线y=- x+b与椭圆 +y2=1有两个不同的交点，所以=2b2+2+ 0，,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2= (x1+x2)+2b=所以线段AB的中点 ，将点
8、M的坐标代入直线方程y=mx+ ，解得b= ，由解得m 或m .,(2)令t= ，则且O到直线AB的距离为d= ，设AOB的面积为S(t)，所以S(t)= |AB|d= ，当且仅当t2= 时，等号成立，故AOB面积的最大值为 .,角度2:应用椭圆的几何性质解题【典例】(2014天津高考)设椭圆 (ab0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.,【解题探究】本例如何转化条件“以线段PB为直径的圆经过点F1”?提示:可转化为,【解析】(1)设椭圆的
9、右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则 .所以,椭圆的离心率e= .,(2)由(1)知a2=2c2，b2=c2.故椭圆方程为设P(x0,y0).由F1(c,0)，B(0,c)，有由已知，有即(x0+c)c+y0c=0.又c0，故有x0+y0+c=0. 又因为点P在椭圆上，故 ,由和可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点，故x0= 代入得y0= ，即点P的坐标为设圆的圆心为T(x1,y1)，则,进而圆的半径设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.由l与圆相切，可得即整理得k28k+1=0，解得k=4 .所以，
10、直线l的斜率为4+ 或4 .,【延伸探究】把本例条件“经过原点O的直线l与该圆相切”换成“经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2 ”,求椭圆的方程.,【解析】由例题解析结合已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2 ,故有解得c2=3.所以所求椭圆的方程为,【方法技巧】解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理,注意椭圆的范围.,【变式训练】点P在椭圆 =1上运动,则它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短时的坐标为.
11、,【解题指南】平移直线l使其与椭圆相切,则切点即为最值点,然后结合图形取舍点的坐标.,【解析】设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y= x+m,代入 =1,并整理得4x2+3mx+m2-7=0.=9m2-16(m2-7)=0m2=16m=4,故两切线方程为y= x+4和y= x-4.显然y= x-4与椭圆 =1的切点P距l最近,切点坐标为答案:,规范解答 直线与椭圆的位置关系【典例】(12分)(2014新课标全国卷)设F1,F2分别是椭圆 (ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截
12、距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,【审题指导】(1)要求离心率,只需利用直线MN的斜率为 ,再结合a2=b2+c2表示出关于离心率e的方程,解方程求得.(2)要求a,b,只需结合图形,利用椭圆的性质和中位线求解即可.,【规范解答】(1)因为由题知, 所以 2分且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0, 3分解得e= .e=-2(舍去),所以C的离心率为 .4分,(2)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y)(y0),则 =1,即y2= ,解得y= ,因为OD是MF1F2的中位线,所以 =4,即b2=4a, 6分由|MN|=5|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,设N(x1,y1),由题意知y10,则 10分代入椭圆方程得 =1,将b2=4a代入得解得a=7,b=2 . 12分,【题后悟道】解决直线与椭圆的位置关系问题的步骤(1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).(2)联立直线与椭圆的方程.(3)消元得到关于x或y的一元二次方程.(4)利用根与系数的关系设而不求.(5)把题干中的条件转化为x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,进而求解.,
