1、1课时跟踪检测（三） 余弦定理层级一 学业水平达标1在 ABC 中，若 a2 c2 b2 ab，则 C_.3解析：由 a2 c2 b2 ab，得 cos C ，所以 C30.3a2 b2 c22ab 3ab2ab 32答案：302在 ABC 中，若 b1， c ， C ，则 a_.323解析：由余弦定理c2 a2 b22 abcos C 得，3 a212 a1cos ，23即 a2 a20.解得 a1 或 a2(舍去) a1.答案：13在 ABC 中，若 a2， b c7，cos B ，则 b_.14解析：在 ABC 中，由 b2 a2 c22 accos B 及 b c7 知， b24(7
2、b)222(7 b) ，整理得 15b600，所以 b4.(14)答案：44在 ABC 中， a7， b4 ， c ，则 ABC 的最小角的大小为_3 13解析： abc， C 为最小角，由余弦定理得 cos C a2 b2 c22ab ， C .72 43 2 13 22743 32 6答案： 65已知在 ABC 中， b2 ac 且 c2 a，则 cos B_.解析： b2 ac， c2 a， b22 a2，cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a24a2 34答案：346若 ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则 ABC 的形状是_解析：在
3、ABC 中，sin Asin Bsin C51113，2 a b c51113，故令 a5 k， b11 k， c13 k(k0)，由余弦定理可得cos C b2 c2，则 ABC 为钝角三角形；若 a2 b2 c2 bc，则 A 为 120；若 a2 b2c2，则 ABC 为锐角三角形其中正确的为_(填序号)解析：中， a2b2 c2可推出 cos A c2可推出 C 为锐角，但 ABC 不一定为锐角三角形；所以正确，错误答案：9在 ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边， B ， b ， a c4，求边 23 13长 a.解：由余弦定理得， b2 a2 c22 acc
4、os B a2 c22 accos a2 c2 ac( a c)2 ac.23又因为 a c4， b ，所以 ac3，13联立Error! 解得 a1， c3，或 a3， c1.所以 a 等于 1 或 3.10在 ABC 中，已知 a5， b3，角 C 的余弦值是方程 5x27 x60 的根，求第三边长 c.3解：5 x27 x60 可化为(5 x3)( x2)0. x1 ， x22(舍去)cos C .35 35根据余弦定理，c2 a2 b22 abcos C5 23 2253 16.35 c4，即第三边长为 4.层级二 应试能力达标1已知 a， b， c 为 ABC 的三边长，若满足( a
5、 b c)(a b c)3 ab，则角 C 的大小为_解析：( a b c)(a b c)3 ab， a2 b2 c2 ab，即 ，cos a2 b2 c22ab 12C ， C60.12答案：602在 ABC 中，边 a， b 的长是方程 x25 x20 的两个根， C60，则边 c 的长为_解析：由题意，得 a b5， ab2.由余弦定理，得 c2 a2 b22 abcos C a2 b2 ab( a b)23 ab5 23219， c .19答案： 193边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是_解析：设边长为 7 的边所对角为 ，根据大边对大角，可得 cos ， 60，52
6、82 72258 1218060120，最大角与最小角之和为 120.答案：1204在 ABC 中， AB3， BC ， AC4，则 AC 边上的高为_13解析：由余弦定理，可得 cos A ，所以 sin AC2 AB2 BC22ACAB 42 32 13 2234 12A .则 AC 边上的高 h ABsin A3 .32 32 332答案：3325若 ABC 的内角 A， B， C 所对的边 a， b， c 满足( a b)2 c24，且 C60，则ab 的值为_4解析：依题意得Error!两式相减得 ab .43答案：436设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b
7、， c.若 b c2 a,3sin A5sin B，则角 C_.解析：由 3sin A5sin B 可得 3a5 b，又 b c2 a，所以可令 a5 t(t0)，则b3 t， c7 t，可得 cos C ，故 C .a2 b2 c22ab 5t 2 3t 2 7t 225t3t 12 23答案：237在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 c2， acos B bcos A .72(1)求 bcos A 的值；(2)若 a4，求 ABC 的面积解：(1) acos B bcos A ，根据余弦定理得，72a b ，a2 c2 b22ac b2 c2 a22b
8、c 722 a22 b27 c，又 c2， a2 b27， bcos A .b2 c2 a22c 34(2)由 acos B bcos A 及 bcos A ，得 acos B .72 34 114又 a4，cos B ，1116sin B ，1 cos2B31516 S ABC acsin B .12 31548在 ABC 中， BC ， AC3，sin C2sin A.5(1)求边 AB 的长；(2)求 sin 的值(2A 4)解：(1)在 ABC 中，根据正弦定理，得 ，ABsin C BCsin A5即 ABsin C 2 BC2 .BCsin A 5(2)在 ABC 中，根据余弦定理，得cos A .AB2 AC2 BC22ABAC 255于是 sin A .1 cos2A55从而 sin 2A2sin Acos A ，45cos 2Acos 2Asin 2A .35故 sin sin 2 Acos cos 2 Asin .(2A 4) 4 4 210
