1、11 变化的快慢与变化率对 应 学 生 用 书 P34平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min) 0 10 20 30 40 50 60y() 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8问题 1：试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从 20 min 到 30 min 变化快问题 2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率问题 3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定可正，可负，可为零平均变化率(1)定义：对一般的函数 y f(x)来说，当自变量 x 从 x1变为
2、x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为 .f x2 f x1x2 x1其中自变量的变化 x2 x1称作自变量的改变量，记作 x，函数值的变化 f(x2) f(x1)称作函数值的改变量，记作 y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 . y x f x2 f x1x2 x1(2)作用：刻画函数值在区间 x1， x2上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速 70 km/h 的路段超速行驶王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长 60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段
3、路我们的平均速度呢！”问题 1：限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗？ 2提示：不是，是指瞬时速度问题 2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢问题 3：王先生在该路段平均速度为 60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数 y f(x)，在自变量 x 从 x0变到 x1的过程中，设 x x1 x0， y f(x1) f(x0)，则函数的平均变化率是 y x f x1 f x0x1 x0.而当 x 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变
4、化f x0 x f x0 x率(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢1. 为平均变化率，其中 x 可正、可负，不能为零 y x f x0 x f x0 x2瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值对 应 学 生 用 书 P35求平均变化率例 1 求函数 y x3在 x0到 x0 x 之间的平均变化率，并计算当 x01， x 时12平均变化率的值思路点拨 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值精解详析 y f(x0 x) f(x0)( x0 x)3 x303 x x3 x0( x)2( x)3，20函数 y x3在 x0到 x0 x
5、 之间的平均变化率为：3 x 3 x0 x( x)2. y x 203当 x01， x 时，12平均变化率的值为 31231 ( )2 .12 12 194一点通 求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量 y f(x1) f(x0)；(2)再计算自变量的改变量 x x1 x0；(3)求平均变化率 . y x f x1 f x0x1 x01在平均变化率的定义中，自变量的增量 x 满足( )A x0 B x0C x0 D x0答案：C2一物体的运动方程是 s3 t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为( )A0.41 B3 C4 D4.1解析： 4.1. s t 3 2.12 3
6、222.1 2答案：D3求函数 y f(x)2 x25 在区间2,2 x内的平均变化率解： y f(2 x) f(2)2(2 x)25(22 25)8 x2( x)2， 82 x. y x即平均变化率为82 x.求瞬时变化率例 2 以初速度 v0(v00)竖直上抛的物体， t s 时的高度 s 与 t 的函数关系为s v0t gt2，求物体在时刻 t0处的瞬时速度12思路点拨 本题可先求物体在 t0到 t0 t 之间的平均速度，然后求当 t 趋于 0时的瞬时速度4精解详析 s v0(t0 t) g(t0 t)2 ( v0 gt0)12 (v0t0 12gt20) t g( t)2，12 v0
7、gt0 g t. s t 12当 t 趋于 0 时， 趋于 v0 gt0，故物体在时刻 t0处的瞬时速度为 v0 gt0. s t一点通 求函数 y f(x)在 x0处的瞬时变化率，可以先求函数 y f(x)在 x0到 x0 x 处的平均变化率，再求当 x 趋于 0 时平均变化率的值，即为函数 y f(x)在 x0处的瞬时变化率4一个物体的运动方程为 s1 t，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A1 米/秒 B1 米/秒C2 米/秒 D2 米/秒解析：由 1，得物体在 3 秒末的瞬时速 s t 1 3 t 1 3 t t t度是1 米/秒答案：B5求函
8、数 f(x) x23 在 x1 处的瞬时变化率解： y f(1 x) f(1)(1 x)23(1 23)( x)22 x22( x)22 x， x2. y x x 2 2 x x当 x 趋于 0 时， 趋于 2. y x所以函数 y x23 在 x1 时的瞬时变化率为 2.1平均变化率刻画的是函数值在区间 x0， x0 x上变化的快慢2瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢3 x 趋于 0 时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率对 应 课 时 跟 踪 训 练 十 一 51在曲线 y x21 上取一点(1,2)及邻近一点(1 x，2 y)，则 ( ) y xA x B x 21 x 2
9、 1 xC x2 D2 x1 x解析： y f(1 x) f(1)(1 x)21(1 21)( x)22 x， x2. y x答案：C2某质点的运动规律为 s t23，则在时间段(3,3 t)内的平均速度等于( )A6 t B6 t9 tC3 t D9 t解析： v s t s 3 t s 3 t 6 t. 3 t 2 3 32 3 t答案：A3一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s t2，则 t2 时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )18A2 B1C. D.12 14解析：因为 s (2 t)2 22 t ( t)2，所以 t，当 t 趋18
10、 18 12 18 s t 12 18于 0 时， t 趋于 ，因此 t2 时，木块在水平方向瞬时速度为 . 12 18 12 12答案：C4水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像相对应的一项是( )6A BC D解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，符合上述变化情况而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像适合上述变化情况故应选 C.答案：C5函数 f(x)ln x1 从 e 到 e2的平均变化率为_解析
11、： y f(e2) f(e)(ln e 21)(ln e1)1， xe 2e， . y x 1e2 e答案：1e2 e6质点的运动方程是 s(t) ，则质点在 t2 时的速度为_1t2解析： s t s 2 t s 2 t 1 2 t 2 14 t ，当 t 趋于 0 时， .4 t4 2 t 2 s t 14答案：147设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)的函数关系为 h(t)5 t26 t10.(1)求该运动员从时间 t1 到时间 t3 的平均速度；(2)求该运动员在时间 t1 处的瞬时速度解：(1)由 h(t)5 t26 t10，得该运动员
12、从时间 t1 到时间 t3 的平均速度： 14. h t h 3 h 13 1故该运动员从时间 t1 到时间 t3 的平均速度为14 m/s；7(2) h t h 1 t h 1 t 5 1 t 2 6 1 t 10 512 61 10 t 5 t 2 4 t t5 t4，当 t 趋于 0 时， 趋于4， h t即该运动员在时间 t1 处的瞬时速度为4 m/s.8若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)sError!求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度 v0；(3)物体在 t1 时的瞬时速度解：(1)物体在 t3,5内的时间变化量为 t532，物体在 t3,5内的位移
13、变化量为 s35 22(33 22)3(5 23 2)48，物体在 t3,5上的平均速度为 24(m/s) s t 482(2)求物休的初速度 v0即求物体在 t0 的瞬时速度.物体在 t0 附近的平均变化率为 s t f 0 t f 0 t 3 t18，29 3 0 t 32 29 3 0 3 2 t当 t 趋于 0 时， 趋于18， s t即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在 t1 时瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时变化率物体在 t1 附近的平均变化率为 s t f 1 t f 1 t 3 t12.29 3 1 t 32 29 3 1 3 2 t当 t 趋于 0 时， 趋于12， s t即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.
