1、14.2 数列解答题命题角度 1 等差、等比数列的判定与证明 高考真题体验对方向1.(2016 全国 17)已知数列 an的前 n 项和 Sn=1+a n,其中 0 .(1)证明 an是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S5= ,求 .3132解 (1)(等比数列的定义与通项公式)由题意得 a1=S1=1+a 1,故 1, a1= ,a10 .11-由 Sn=1+a n,Sn+1=1+a n+1得 an+1=a n+1-a n,即 an+1(- 1)=a n.由 a10, 0 得 an0,所以 .+1= -1因此 an是首项为 ,公比为 的等比数列,11- -1于是 an= .11-( -1
2、)-1(2)由(1)得 Sn=1- .(-1)由 S5= 得 1- ,即 .3132 ( -1)5=3132 ( -1)5=132解得 =- 1.2.(2014 全国 17)已知数列 an满足 a1=1,an+1=3an+1.(1)证明 是等比数列,并求 an的通项公式;+122(2)证明 + .11+12 135 成立的 n 的最小值 .解 (1)设等差数列 an的公差为 d,d0 .因为 a2,a3,a6成等比数列,所以 =a2a6,即(1 +d)2=1+4d,23解得 d=2 或 d=0(舍去) .所以 an的通项公式为 an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为 an=2n-3,所
3、以 Sn= =n2-2n.(1+)2 =(2+-1)2依题意有 n2-2n35,解得 n7.故使 Sn35 成立的 n 的最小值为 8.52.(2018 广东东莞二模)已知等比数列 an与等差数列 bn,a1=b1=1,a1 a2,a1,a2,b3成等差数列, b1,a2,b4成等比数列 .(1)求 an,bn的通项公式;(2)设 Sn,Tn分别是数列 an,bn的前 n 项和,若 Sn+Tn100,求 n 的最小值 .解 (1)设数列 an的公比为 q,数列 bn的公差为 d,则解得 (舍)或2=2+2,2=1+3, =0,=1 =1,=2,a n=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知 S
4、n= =2n-1.Tn= .1-21-2 (+1)2由 Sn+Tn100,得 2n+ 101,(+1)2 是单调递增数列,且 26+ =85101,2+(+1)2 672 782n 的最小值为 7.3.(2018 四川南充三诊)已知 an是等比数列, a1=2,且 a1,a3+1,a4成等差数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)若 bn=log2an,求数列 bn前 n 项的和 .解 (1)设数列 an的公比为 q,则 a3=a1q2=2q2,a4=a1q3=2q3,因为 a1,a3+1,a4成等差数列,所以 a1+a4=2(a3+1),即 2+2q3=2(2q2+1),整理得 q2(q
5、-2)=0,因为 q0,所以 q=2,所以 an=22n-1=2n(nN *).(2)因为 bn=log2an=log22n=n,所以 Sn=b1+b2+bn=1+2+n= (nN *).(+1)24.(2018 湖北重点高中协作体期中)已知等差数列 an的公差 d 为 1,且 a1,a3,a4成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 bn= +n,求数列 bn的前 n 项和 Sn.2+5解 (1)在等差数列 an中,因为 a1,a3,a4成等比数列,所以 =a1a4,即( a1+2d)2= +3a1d,23 21解得 a1d+4d2=0.因为 d=1,所以 a1=-4,所以数
6、列 an的通项公式 an=n-5.(2)由(1)知 an=n-5,所以 bn= +n=2n+n.2+5Sn=b1+b2+b3+bn=(2+22+23+2n)+(1+2+3+n)= =2n+1+ -2.2(1-2)1-2 +(1+)2 (+1)265.(2018 安徽马鞍山第二次质监)已知数列 an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a2=37,S4=152.(1)求数列 an的通项公式;(2)求数列 |an-2n|的前 n 项和 Tn.解 (1)设数列 an的首项为 a1,公差为 d,则 解得1+=37,41+6=152, a1=35,=2,所以数列 an的通项公式为 an=2n+33(nN
7、*).(2)由(1)知, |an-2n|=|2n+33-2n|=2+33-2(00,解得 q=2.所以, bn=2n.由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16, 联立 ,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以,数列 an的通项公式为 an=3n-2,数列 bn的通项公式为 bn=2n.(2)设数列 a2nb2n-1的前 n 项和为 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有 a2nb2n-1=(3n-1)4n,故 Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n
8、-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1= -4-(3n-1)4n+112(1-4)1-4=-(3n-2)4n+1-8.得 Tn= 4n+1+ .3-23 83所以,数列 a2nb2n-1的前 n 项和为 4n+1+ .3-23 832.(2017 山东19)已知 xn是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列 xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2)Pn+1(xn+1,n+1)得到折线 P1P2Pn+1,求由该折线与直线 y=0,x=x1,x=x
9、n+1所围成的区域的面积 Tn.解 (1)设数列 xn的公比为 q,由已知 q0.由题意得 1+1=3,12-1=2.所以 3q2-5q-2=0.因为 q0,所以 q=2,x1=1,因此数列 xn的通项公式为 xn=2n-1.(2)过 P1,P2,Pn+1向 x 轴作垂线,垂足分别为 Q1,Q2,Qn+1.由(1)得 xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形 PnPn+1Qn+1Qn的面积为 bn,8由题意 bn= 2n-1=(2n+1)2n-2,(+1)2所以 Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2. 又 2Tn=320+521+
10、722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1, - 得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1= -(2n+1)2n-1.32+2(1-2-1)1-2所以 Tn= .(2-1)2+123.(2015 全国 17)Sn为数列 an的前 n 项和 .已知 an0, +2an=4Sn+3.2(1)求 an的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 .1+1解 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.可得 +2(an+1-an)=4an+1,2 2+1 2+12即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an).2
11、+12由于 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去), a1=3.21所以 an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.(2)由 an=2n+1 可知bn=1+1= 1(2+1)(2+3)= .12( 12+1- 12+3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn,则Tn=b1+b2+bn= + + = .12 1315 1517 12+1 12+3 3(2+3)新题演练提能刷高分1.(2018 河北石家庄一模)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=2n+1+m(mR) .(1)求数列 an的通项公式;(2)若
12、数列 bn满足 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.1(2+1)2(+1)解 (1)由 2Sn=2n+1+m(mR)得 2Sn-1=2n+m(mR),当 n2 时,2 an=2Sn-2Sn-1=2n,即 an=2n-1(n2),9又 a1=S1=2+ ,当 m=-2 时符合上式,所以通项公式为 an=2n-1.2(2)由(1)可得 log2(anan+1)=log2(2n-12n)=2n-1,b n= ,1(2+1)(2-1)=12 12-1 12+1T n=b1+b2+bn= 1- + = .12 13+1315 12-1 12+1 2+12.(2018 广东珠海 3 月质检)已知数
13、列 an的前 n 项和为 Sn,满足 a1=2,Sn+1-2Sn=2.(1)求数列 an的通项 an;(2)令 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.+2解 (1)S n+1-2Sn=2 ,S n+2-2Sn+1=2 ,- 得 an+2=2an+1,a 1=2,S 2-2S1=a1+a2-2a1=a2-2=2,a 2=4,n N *时, =2, =2,即 nN *时, =2,21+2+1+1 数列 an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,a n=2n.(2)Sn= =2n+1-2,则 bn= ,2(2-1)2-1 2+1T n=b1+b2+b3+bn= + ,122+223+324
14、2+1 2Tn= + ,12+222+323 2- 得 Tn= +12+122+123 12 2+1=1- .12(1- 12)1-12 2+1 +22+13.(2018 江西南昌一模)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,满足 S4=2a4-1,S3=2a3-1.(1)求 an的通项公式;(2)记 bn=log2(anan+1),数列 bn的前 n 项和为 Tn,求证: + 0,nN *).(1)证明:数列 an为等比数列,并求 an;(2)若 = 4,bn= (nN *),求数列 bn的前 n 项和 Tn.,是奇数,2,是偶数 (1)证明 由题意可知 S1=2a1- ,即 a1= ;当
15、 n2 时, an=Sn-Sn-1=(2an- )-(2an-1- )=2an-2an-1,即 an=2an-1.所以数列 an是首项为 ,公比为 2 的等比数列,所以 an= 2n-1.(2)解 由(1)可知当 = 4 时, an=2n+1,从而 bn=2+1,是奇数,+1,是偶数 .当 n 为偶数时, Tn= ;4(1-42)1-4 +2(3+1)2 =4(2-1)3 +(+4)4当 n 为奇数时, Tn=Tn+1-bn+1= -(n+2)4(1-4+12)1-4 +12 (3+1+1)2= -n-24(2+1-1)3 +(+1)(+5)4= .4(2+1-1)3 +(-1)(+3)4综上,Tn=4(2-1)3 +(+4)4 ,是偶数,4(2+1-1)3 +(-1)(+3)4 ,是奇数 .
