1、13.3 三角恒等变换与解三角形命题角度 1 利用正弦定理和余弦定理解三角形 高考真题体验对方向1.(2018 全国 17)在平面四边形 ABCD 中, ADC=90, A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cos ADB;(2)若 DC=2 ,求 BC.2解 (1)在 ABD 中,由正弦定理得 .= 由题设知, ,545= 2所以 sin ADB= .25由题设知, ADB0,2 sin B=cos A,即 cos -B =cos A.2A (0,), -B 0, ,2 2 -B=A,即 A+B= .C= .2 2 2(2)设 BD=x,CB=a. ABC= , ACB= ,3 2AC=
2、a,AB=2a,AD=2a+x.3S ACD= ACADsin A12= a(2a+x) ,123 12=343即 a(2a+x)=3. 在 BCD 中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos DBC,即 x2+a2+ax=3. 联立 可解得 x=a=1.即 BD=1.命题角度 2 解三角形中的最值与范围问题 高考真题体验对方向(2013 全国 17) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.(1)求 B;7(2)若 b=2,求 ABC 面积的最大值 .解 (1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Cs
3、in B.又 A= -(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由 , 和 C(0,)得 sin B=cos B,又 B(0,),所以 B= .4(2) ABC 的面积 S= acsin B= ac.12 24由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos .4又 a2+c22 ac,故 ac ,当且仅当 a=c 时,等号成立 .42- 2因此 ABC 面积的最大值为 +1.2新题演练提能刷高分1.(2018 四川资阳 4 月模拟)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且( a+b)(sin A-sin B)=c(sin C
4、-sin B).(1)求 A.(2)若 a=4,求 b2+c2的取值范围 .解 (1)根据正弦定理,得( a+b)(a-b)=c(c-b),即 a2-b2=c2-bc,则 ,即 cos A= .2+2-22 =12 12由于 016,所以 b2+c2的取值范围是(16,32 .2.(2018 山东烟台一模)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C).(1)求 B 的值;(2)若 b=3,求 a+c 的最大值 .解 (1)在 ABC 中,由正弦定理得,( b-c)(b+c)=a(a-c),即 b2=a2+c2-ac
5、,由余弦定理,得 cos B= .2+2-22 =128B (0,), B= .3(2)由(1)知,9 =a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.于是 =ac 2,解得 a+c6,(+)2-93 +2当且仅当 a=c=3 时,取等号 .所以 a+c 的最大值为 6.3.(2018 辽宁大连一模)已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2,且 2bcos B=acos C+ccos A.(1)求 B 的大小;(2)求 ABC 面积的最大值 .解 (1)由 2bcos B=acos C+ccos A,可得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos
6、A=sin B, sin B0, cos B= ,B= .12 3(2)方法一:由 b=2,B= ,根据余弦定理可得 ac=a2+c2-4,3由基本不等式可得 ac=a2+c2-42 ac-4,所以 ac4,当且仅当 a=c 时,等号成立 .从而 S ABC= acsin B 4 ,12 12 32=3故 ABC 面积的最大值为 .3方法二:因为 ,= = =232=43所以 a= sin A,c= sin C,43 43S= acsin B= sin A sin Csin B12 1243 43= sin Asin -A = cos 2A- + ,433 23 233 23 33当 2A-
7、=0,即 A= 时, Smax= ,23 3 3故 ABC 面积的最大值为 .34.(2018 贵州凯里模拟)已知在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,m=(2cos C,acos B+bcos A),n=(c,-1),且 mn .(1)求角 C;(2)若 c=3,求 ABC 周长的最大值 .解 (1) mn,9 2ccos C-(acos B+bcos A)=0.由正弦定理得 2sin Ccos C-(sin Acos B+cos Asin B)=0.即 2sin Ccos C-sin(A+B)=0. 2sin Ccos C-sin C=0.在 ABC 中,0 3, 32
8、b+c6 .6.(2018 东北三省三校二模)已知 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若( a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角 C;(2)若 ABC 的外接圆半径为 2,求 ABC 周长的最大值 .解 (1)由正弦定理得( a-c)(a+c)=b(a-b),a 2-c2=ab-b2, ,即 cos C= .2+2-22 =12 12 0C,则 C= .3(2)设 ABC 的外接圆半径为 R,由正弦定理 2R= =4,= = 10a= 4sin A,b=4sin B,c=4sin C=2 ,3 周长 l=a+b+c=4sin A
9、+4sin B+2 3=4sin A+4sin -A +223 3=4sin A+4 cos A+4 sin A+232 12 3=6sin A+2 cos A+23 3=4 sin A+ +2 ,36 3A 0, ,A+ .23 6 6,56 当 A+ 即 A= 时, lmax=4 +2 =6 .6=2 3 3 3 3 当 A=B= 时, ABC 周长的最大值为 6 .3 3命题角度 3 应用正弦定理和余弦定理解决实际问题 高考真题体验对方向(2009 全国17)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量 .A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) .飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离 .请设计一个方案,包括: 指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出); 用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤 .解 方案一: 需要测量的数据有: A 点到 M,N 点的俯角 1, 1;B 点到 M,N 点的俯角 2, 2;A,B 的距离 d(如图所示) . 第一步:计算 AM,由正弦定理得 AM= ; 2(1+2)
