1、17.3 解析几何(压轴题)命题角度 1 曲线与轨迹问题 高考真题体验对方向1.(2017 全国 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂22足为 N,点 P 满足 .=2 (1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解 设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 得 x0=x,y0= y.=2 22因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 =1.22+22因此点 P 的轨迹方程为
2、x2+y2=2.(2)证明 由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1 得 -3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.22.(2016 全国 20)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点 .(1)若 F
3、在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明: AR FQ;(2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 .(1)证明 由题知 F .(12,0)设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,且 A ,B ,P ,Q ,R .(22,) (22,) (-12,) (-12,) (-12,+2 )记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1= =-b=k2.-1+2=-2-=1=-所以 AR FQ.(2)解 设 l 与 x 轴的交
4、点为 D(x1,0),则 S ABF= |b-a|FD|= |b-a| ,S PQF= .12 12 |1-12| |-|2由题设可得 |b-a| ,12 |1-12|=|-|2所以 x1=0(舍去), x1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得 (x1) .2+= -1而 =y,所以 y2=x-1(x1) .+2当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合 .所以所求轨迹方程为 y2=x-1.新题演练提能刷高分1.(2018 山西太原二模)已知以点 C(0,1)为圆心的动圆 C 与 y 轴负半轴交于点 A,其弦 AB 的中点
5、D 恰好落在 x 轴上 .(1)求点 B 的轨迹 E 的方程;(2)过直线 y=-1 上一点 P 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 M,N.求证:直线 MN 过定点 .(1)解 设 B(x,y),则 AB 的中点 D ,y0.(2,0)C (0,1),则 ,=(-2,1),=(2,)在 C 中, DC DB, =0,- +y=0,243即 x2=4y(y0). 点 B 的轨迹 E 的方程为 x2=4y(y0).(2)证明 由已知条件可得曲线 E 的方程为 x2=4y,设点 P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).y= ,y= ,24 2 过点 M、 N 的切线方程分别为 y-y1
6、= (x-x1),y-y2= (x-x2).1 22由 4y1= ,4y2= ,上述切线方程可化为 2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.21 22 点 P 在这两条切线上, 2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线 MN 的方程为 2(y-1)=tx,故直线 2(y-1)=tx 过定点 C(0,1).2.(2018 广西梧州 3 月适应性测试)已知 A(-2,0),B(2,0),直线 PA 的斜率为 k1,直线 PB 的斜率为 k2,且 k1k2=- .34(1)求点 P 的轨迹 C 的方程;(2)设 F1(-1,0),F2(1,0),连接 PF1并延长,与轨迹 C
7、交于另一点 Q,点 R 是 PF2中点, O 是坐标原点,记 QF1O 与 PF1R 的面积之和为 S,求 S 的最大值 .解 (1)设 P(x,y),A (-2,0),B(2,0),k 1= ,k2= ,+2 -2又 k1k2=- , =- ,34 22-4 34 =1(x 2),24+23 轨迹 C 的方程为 =1(x 2).24+23(2)由 O,R 分别为 F1F2,PF2的中点,故 OR PF1,故 PF1R 与 PF1O 同底等高,故,S= =S PQO, 1=1 1+1当直线 PQ 的斜率不存在时,其方程为 x=-1,此时 S PQO= 1 ;12 32-(-32)=32当直线
8、PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+1),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线 PQ 不与 x 轴重合,即 k0;联立=(+1),24+23=1,4解得(3 +4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,= 144(k2+1)0,1+2=- 823+42,12=42-123+42, 故 |PQ|= |x1-x2|= ,1+21+2 (1+2)2-412=12(1+2)3+42点 O 到直线 PQ 的距离 d= ,|1+2S= |PQ|d=6 ,令 u=3+4k2(3, + ),故 S=612 2(2+1)(3+42)2,故 S 的最大值为 .-34 +142 =32 - 32
9、-2+1(0,32) 323.(2018 甘肃兰州一模)已知圆 C:(x+1)2+y2=8,过 D(1,0)且与圆 C 相切的动圆圆心为 P.(1)求点 P 的轨迹 E 的方程;(2)设过点 C 的直线 l1交曲线 E 于 Q,S 两点,过点 D 的直线 l2交曲线 E 于 R,T 两点,且l1 l2,垂足为 W(Q,R,S,T 为不同的四个点) . 设 W(x0,y0),证明: |CD|=2,2由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 E 是椭圆, a= ,c=1,b= =1,E 的方程为 +y2=1.2 2-122(2) 证明 由已知条件可知,垂足 W 在以 CD 为直径的圆周上,则有 =1,又因
10、Q,R,S,T20+20为不同的四个点, 0,(-1)0, 整理得44-42+10,-4+642(1+2)(1+42)20,即 所以 解得 k44-42+10,124+82-10, 212,218.,所以 k 的取值范围为(-,- 22)(- 22,- 24)( 24,22)( 22,+).(-,- 22)(- 22,- 24)( 24,22)( 22,+)命题角度 2 直线与圆锥曲线的位置关系 高考真题体验对方向1.(2018 全国 19)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点22M 的坐标为(2,0) .(1)当 l 与 x 轴垂直时,
11、求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点,证明: OMA= OMB.(1)解 由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1.由已知可得,点 A 的坐标为 .(1,22)或 (1,- 22)所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x- .22 2 22 27(2)证明 当 l 与 x 轴重合时, OMA= OMB=0,当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以 OMA= OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0), A(x1,y1),B(x2,y2),则 x10)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|=8.(
12、1)求 l 的方程 .(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4 = 16k2+160,故 x1+x2= .22+42所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= .42+42由题设知 =8,解得 k=-1(舍去), k=1.42+42因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.
13、设所求圆的圆心坐标为( x0,y0),则80=-0+5,(0+1)2=(0-0+1)22 +16.解得 0=3,0=2或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或( x-11)2+(y+6)2=144.3.(2018 全国 20)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C: =1 交于 A,B 两点,线段 AB 的24+23中点为 M(1,m)(m0).(1)证明: k- ;12(2)设 F 为 C 的右焦点, P 为 C 上一点,且 =0.证明: | |,| |,| |成等差数+ 列,并求该数列的公差 .(1)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =
14、1, =1.214+213 224+223两式相减,并由 =k 得 k=0.由题设知1-21-2 1+24 +1+23=1, =m,于是 k=- .1+22 1+22 34由题设得 0m ,故 k- .32 12(2)解 由题意得 F(1,0).设 P(x3,y3),则( x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点 P 在 C 上,所以 m= ,34从而 P ,| |= .(1,-32) 32于是 | |= (1-1)2+21= =2- .(1-1)2+3(1-214) 12同理
15、| |=2- .229所以 | |+| |=4- (x1+x2)=3.12故 2| |=| |+| |,则 | |,| |,| |成等差数列, 设该数列的公差为 d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= .12 12(1+2)2-412将 m= 代入 得 k=-1.34所以 l 的方程为 y=-x+ ,代入 C 的方程,并整理得 7x2-14x+ =0.74 14故 x1+x2=2,x1x2= ,代入 解得 |d|= .所以该数列的公差为 或 - .128 32128 32128 321284.(2017 全国 20)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于
16、 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 .(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程 .(1)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.又 x1= ,x2= ,故 x1x2= =4.=+2,2=2 212 222 (12)24因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 =-1,所以 OA OB.故坐标原点 O 在圆1122=-44M 上 .(2)解 由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M 的坐标为(
17、 m2+2,m),圆 M 的半径r= .(2+2)2+2由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 =0,故( x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1 或 m=- .12当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 ,圆 M 的10方程为( x-3)2+(y-1)2=10.当 m=- 时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为 ,圆 M 的半径为 ,12 (94
18、,-12) 854圆 M 的方程为 .(-94)2+(+12)2=8516105.(2017 北京18)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点 作直线 l 与抛物线 C 交于(0,12)不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点 .(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证: A 为线段 BM 的中点 .(1)解 由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p= .12所以抛物线 C 的方程为 y2=x.抛物线 C 的焦点坐标为 ,准线方程为 x=- .(14,0) 14(2)证明 由题意
19、,设直线 l 的方程为 y=kx+ (k0), l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).12由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.=+12,2= 则 x1+x2= ,x1x2= .1-2 142因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为( x1,x1),直线 ON 的方程为 y= x,点 B 的坐标为 .22 (1,212)因为 y1+ -2x1=21212+21-2122=(1+12)2+(2+12)1-2122=(2-2)12+12(2+1)2= =0,(2-2)142+1-222所以 y1+ =2x1.212故 A 为线段 BM 的中点 .
