1、1课时作业 17 数学归纳法|基础巩固|(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于( n2)”时，归纳奠基中 n0的取值应为( )A1 B2C3 D4解析：边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n03.答案：C2用数学归纳法证明 123 n2 ，则当 n k1 时左端应在 n k 的n4 n22基础上加上( )A k21B( k1) 2C. k 1 4 k 1 22D( k21)( k22)( k1) 2解析：当 n k 时，左端123 k2，当 n k1 时，左端123 k2( k21)( k22)( k1) 2，故当 n k
2、1 时，左端应在 n k 的基础上加上( k21)( k22)( k1) 2，故选D.答案：D3用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除”的第二步是( )A假设 n2 k1 时正确，再推 n2 k3 时正确( kN *)B假设 n2 k1 时正确，再推 n2 k1 时正确( kN *)C假设 n k 时正确，再推 n k1 时正确( kN *)D假设 n k(k1)时正确，再推 n k2 时正确( kN *)解析： nN *且为奇数，由假设 n2 k1( nN *)时成立推证出 n2 k1( kN *)时成立，就完成了归纳递推答案：B4若命题 A(n)(nN *)n
3、 k(kN *)时命题成立，则有 n k1 时命题成立现知命题对 n n0(n0N *)时命题成立则有( )A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：由题意知 n n0时命题成立能推出 n n01 时命题成立，由 n n01 时命题成立，又推出 n n02 时命题也成立，所以对大于或等于 n0的正整数命题都成立，而对小于 n0的正整数命题是否成立不确定答案：C5 k 棱柱有 f(k)个对角面，则( k1)棱柱的对角面个数 f(k1)为( k3， k
4、N *)( )A f(k) k1 B f(k) k1C f(k) k D f(k) k2解析：三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有 2 个对角面(020(31)；五棱柱有 5 个对角面(232(41)；六棱柱有 9 个对角面(545(51)猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则( k1)棱柱有 f(k) k1 个对角面2答案：A二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6用数学归纳法证明 .假设 n k 时，不等式成立，122 132 1 n 1 212 1n 2则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式左边的分母可知，由 n k到 n k1 左边多出了 这一项1 k 2 2答
5、案： 122 132 1 k 1 2 1 k 2 212 1k 37对任意 nN *,34n2 a2n1 都能被 14 整除，则最小的自然数 a_.解析：当 n1 时，3 6 a3能被 14 整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，3 103 5不能被 14 整除，故 a5.答案：58用数学归纳法证明122 22 n1 2 n1( nN )的过程如下：当 n1 时，左边1，右边2 111，等式成立假设当 n k 时，等式成立，即122 22 k1 2 k1，则当 n k1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，1 2k 11 2所以，当 n k1 时等式成立由此可知，对任何
6、nN ，等式都成立上述证明错误的是_解析：用数学归纳法证明问题一定要注意，在证明 n k1 时要用到假设 n k 的结论，所以错误答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9用数学归纳法证明：159(4 n3)(2 n1) n.证明：当 n1 时，左边1，右边1，命题成立假设 n k(k1， kN *)时，命题成立，即 159(4 k3) k(2k1)则当 n k1 时，左边159(4 k3)(4 k1) k(2k1)(4 k1)2 k23 k1(2 k1)( k1)2( k1)1( k1)右边，当 n k1 时，命题成立由知，对一切 nN *，命题成立10求证：1 (nN *)12
7、13 12n 1n2证明：当 n1 时，左边1，右边 ，所以不等式成立12假设当 n k(k1， kN *)时不等式成立，即1 .12 13 12k 1k2则当 n k1 时，1 12 13 12k 1 12k 1 1 12k 1 2 12kk2 12k 1 1 12k 1 2 12kk2 2 k1 .12k 12k 12k k2 12k k 12当 n k1 时，不等式成立3由可知 1 (nN *)成立12 13 12n 1n2|能力提升|(20 分钟，40 分)11已知 12333 243 3 n3n1 3 n(na b) 对一切 nN *都成立，14那么 a， b 的值为( )A a ，
8、 b12 14B a b14C a0， b14D a ， b14 12解析：法一：特值验证法，将各选项中 a， b 的值代入原式，令 n1,2 验证，易知选A.法二：因为 12333 243 3 n3n1 3 n(na b) 对一切 nN *都成立，14所以当 n1,2 时有Error!即Error! 解得Error!答案：A12用数学归纳法证明“当 nN *时，求证：122 22 32 5n1 是 31 的倍数”时，当 n1 时，原式为_，从 n k 到 n k1 时需增添的项是_解析：当 n1 时，原式应加到 2511 2 4，所以原式为 122 22 32 4，从 n k 到 n k1
9、时需添 25k2 5k1 2 5(k1)1 .答案：122 22 32 4 2 5k2 5k1 2 5k2 2 5k3 2 5k413平面内有 n(n2， nN *)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数 f(n) .n n 12证明：(1)当 n2 时，两条直线有一个交点， f(2)1，命题成立(2)假设当 n k(k2， kN *)时，命题成立，即 f(k) .那么当 n k1 时，k k 12第 k1 条直线与前 k 条直线均有一个交点，即新增 k 个交点，所以 f(k1) f(k) k k ，即当 n k1 时命题也成立k k 12 k2 k2 k 1 k 1
10、 12根据(1)和(2)，可知命题对任何 n2， nN *都成立14已知数列 an中， a15， Sn1 an(n2 且 nN *)(1)求 a2， a3， a4并由此猜想 an的表达式(2)用数学归纳法证明 an的通项公式解析：(1) a2 S1 a15， a3 S2 a1 a210， a4 S3 a1 a2 a320.猜想： an52 n2 (n2， nN *)(2)当 n2 时， a252 22 5 成立假设当 n k 时猜想成立，即 ak52 k2 (k2 且 kN *)则 n k1 时，ak1 Sk a1 a2 ak551052 k245 52 k1 .5 1 2k 11 2故当 n k1 时，猜想也成立由可知，对 n2 且 nN *.都有 an52 n2 .于是数列 an的通项公式为anError!
