1、1课时作业 8 “杨辉三角”与二项式系数的性质|基础巩固|(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1. 11的展开式中二项式系数最大的项是( )(x1x)A第 6 项 B第 8 项C第 5,6 项 D第 6,7 项解析：由 n11 为奇数，则展开式中第 项和第 1 项，即第 6 项和第 7 项11 12 11 12的二项式系数相等，且最大答案：D2若 n(nN *)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x31x2)A210 B252C462 D10解析：由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为 11，从
2、而 n10，于是得其常数项为 C 210.610答案：A3若(12 x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是( )A. x B. x112 15 16 15C. x D. x112 23 16 25解析：由Error!解得 x .112 15答案：A4若 C C (nN *)，且(2 x)n a0 a1x a2x2 anxn，则2n 620 n 220a0 a1 a2(1) nan等于( )A81 B27C243 D729解析：由 C C 可知 n4，令 x1，可得 a0 a1 a2(1)2n 620 n 220nan3 481.答案：A5已知关于 x 的二项式 n展开式的
3、二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a(x a3x)的值为( )A2 B1C1 D2解析：二项式系数和为 2n32， n5，通项公式为 Tr1 C ( )5 r rr5 x (a3x)C arx56.r5常数项为 80. r3 时，C a380，35 a2，故选 A.2答案：A二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6(1 )n展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32，则系数最大的项是x_解析：因为 8C C C 32，0n 1n n即 82n32，且 nN *，所以 n4.所以展开式共有 5 项，系数最大的项为 T3C ( )26 x.24 x答案：6 x7( a x)(1 x
4、)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.解析：设( a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5.令 x1，得( a1)2 4 a0 a1 a2 a3 a4 a5.令 x1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5.，得 16(a1)2( a1 a3 a5)232， a3.答案：38如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 与第15 个数的比为 23.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是 C 、C ；第 2 行中的数是 C 、C 、C ；第 3 行01 1 02 12 2中的数是 C 、C 、C 、C ；第 n 行中的
5、数是 C 、C 、C 、C .设第 n 行中从左到03 13 23 3 0n 1n 2n n右第 14 与第 15 个数的比为 23 ，则 C C 23 ，解之得 n34.13n 14n答案：34三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知 n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含 x 项的系数(x 12x)及二项式系数解析： n展开式的通项公式(x 12x)Tr1 C ( )n r r rC x2nr.rn x (12x) (12) rn由题意知：C ， C ， C 成等差数列，0n121n 142n则 C C C ，1n 0n142n即 n29 n80，解得 n8 或 n1
6、(舍去) Tr1 rC x4 r.令 4 r1，得 r3，(12) r8含 x 项的系数为 3C 7，二项式系数为 C 56.(12) 38 3810在 8的展开式中，(x2x2)(1)求二项式系数最大的项；3(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解析：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项故 T5C 24x4 1 120 x6 .48202(2)因 Tk1 C ( )8 k k(1) kC 2kx54-2.k8 x (2x2) k8设第 k1 项系数的绝对值最大，则Error!即Error! 整理得Error!于是 k5 或 6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项|能力提
7、升|(20 分钟，40 分)11若 n(nN *)的展开式中存在常数项，则 n 的最小值是( )(2x31x2)A3 B5C8 D10解析： Tr1 C (2x3)n rx2 rC 2n rx3n5 r.rn rn展开式中存在常数项，3 n5 r0，即 n r，又 3,5 互质， r 必是 3 的倍数，53当 r3 时， n 的最小值是 5.答案：B12将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 01 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第n 次全行的数都为 1 的是第_行；第 61 行中 1 的个数是_解析
8、：观察可得第 1 行，第 3 行，第 7 行，第 15 行，全行都为 1，故第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n1 行； n62 6163，故第 63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共有32 个 1，第 61 行共有 32 个 1.答案：2 n1 3213已知(12 x)7 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a3(x1) 3 a7(x1) 7.求：(1)a0 a1 a2 a7；(2)a0 a2 a4 a6.解析：(1)令 x2，则 a0 a1 a2 a7(14) 73 72 187.(2)令 x0，则 a0 a1 a2 a6 a71.得 a0 a2 a4 a6 1 093.
9、2 37 1214已知 f(x)(1 x)m(12 x)n(m， nN *)的展开式中 x 的系数为 11.(1)求 x2的系数取最小值时 n 的值(2)当 x2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和解析：(1)由已知 C 2C 11，所以 m2 n11，1m 1nx2的系数为 C 2 2C 2 n(n1)2m 2nm m 124 (11 m)m2 m2 (11 m2 1) 2 .(m214) 35116因为 mN *，所以 m5 时， x2的系数取得最小值 22，此时 n3.(2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时， m5， n3，所以 f(x)(1 x)5(12 x)3，设这时 f(x)的展开式为f(x) a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，令 x1， a0 a1 a2 a3 a4 a52 53 3，令 x1， a0 a1 a2 a3 a4 a51，两式相减得 2(a1 a3 a5)60，故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.
