1、第 1 讲 立体几何中的计算与位置关系高考定位 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.真 题 感 悟1.(2016全国 卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A.17 B.18C.20 D.28解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的 后得到的组合
2、体，18其表面积是球面面积的 和三个 圆面积之和，易得球的半径为 2，则得78 14S 4223 2217 ，故选 A.78 14答案 A2.(2015重庆卷 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. 13 23C. 2 D. 213 23解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V 122 12 131 ，选 A.(1212) 13答案 A3.(2016全国 卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.1836 5B.54 18 5C.90D.81解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3，3， ，几何体的
3、表面45积 S3623323 25418 .45 5答案 B4.(2016全国 卷)， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：(1)如果 mn ，m ，n ，那么 .(2)如果 m，n ，那么 mn.(3)如果 ，m ，那么 m.(4)如果 mn ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号)解析 当 mn，m ，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.答案 考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需
4、要注意长对正，高平齐，宽相等.3.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)；S 锥侧 ch(c 为底面周长， h为斜高)；12S 台侧 (cc )h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高)；12S 球表 4R 2(R 为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V 柱体 Sh( S 为底面面积， h 为高)；V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13V 球 R 3.434.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ，b ，ab a .(2)线面平行的性质定理：a，a ， bab.(3)面面平行的判定定理
5、：a ，b ，abP，a ，b .(4)面面平行的性质定理：， a， bab.5.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ，n ，mnP ，l m ，l nl .(2)线面垂直的性质定理：a，b ab.(3)面面垂直的判定定理：a ，a .(4)面面垂直的性质定理：， l，a ，ala .热点一 空间几何体的表面积与体积的求解微题型 1 以三视图为载体求几何体的面积与体积【例 11】 (1)(2016衡水大联考 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B.8203C. D.223 163(2)某三棱锥的三视图如图
6、所示，该三棱锥的表面积是( )A.286 B.3065 5C.56 12 D.60125 5解析 (1)由图知此几何体为边长为 2 的正方体裁去一个三棱锥.所以此几何体的体积为 222 122 .故选 C.13 12 223(2)由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中 AE平面 BCD，CDBD，且 CD4，BD5 ，BE2，ED3， AE4.AE4，ED3，AD 5.又 CDBD，CDAE，则 CD平面 ABD，故 CDAD，所以AC ，且 SACD10.41在 RtABE 中，AE 4，BE2，故 AB2 .在 RtBCD 中，BD5，CD 4，5故 SBCD10 ，且 BC
7、 .41在ABD 中， AE4，BD5，故 SABD10.在ABC 中， AB2 ，BCAC ，则 AB 边上的高 h6，故 SABC 25 411266 .5 5因此，该三棱锥的表面积为 S306 .5答案 (1)C (2)B探究提高 截割体、三棱锥的三视图是高考考查的热点和难点，解题的关键是由三视图还原为直观图，首先确定底面，再根据正视图、侧视图确定侧面.微题型 2 求多面体的体积【例 12】 (1)如图，在棱长为 6 的正方体ABCDA 1B1C1D1 中，E ， F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且C1E4，C 1F3，连接 EF，FB，DE ，BD 则几何体EFC1DBC 的体
8、积为( )A.66 B.68C.70 D.72(2)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_.解析 (1)如图，连接 DF，DC 1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥 DEFC 1 及四棱锥 DCBFC 1，那么几何体EFC1BDC 的体积为 V 346 (36)13 12 13 1266125466.故所求几何体 EFC1DBC 的体积为 66.(2)利用三棱锥的体积公式直接求解.VD1EDFVF DD 1E SD1DEAB 111 .13 13 12 16另解(特殊点法) ：让 E 点和
9、 A 点重合，点 F 与点 C 重合，则 VD1EDF SACDD1D 111 .13 13 12 16答案 (1)A (2)16探究提高 (1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.微题型 3 与球有关的面积、体积问题【例 13】 (1)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A.8 B.16C.32 D.64(2)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且
10、 SC2，则此三棱锥的体积为( )A. B.26 36C. D.23 22解析 (1)由三视图可知，几何体为一横放的四棱锥，其底面是边长为 4 的正方形，高为 2，平面 SAB平面 ABCD，易知SASB2 .如图所示.故可补全为以 DA、SA、SB 为棱的长方体，2故 2R 4 ，DA2 SA2 SB2 32 2R2 ， S 表 4R 232.2(2)法一 (排除法)V SABC2 ，排除 B、C、D，选 A.13 36法二 (直接法) ：在 RtASC 中，AC1，SAC 90，SC2，所以SA .同理，SB .过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，4 1 3 3因为
11、SACSBC，所以 BDSC，ADBD，故 SC平面 ABD，且ABD为等腰三角形.因为ASC30，故 AD SA ，则ABD 的面积为 112 32 12 ，则三棱锥 SABC 的体积为 2 .AD2 (12)2 24 13 24 26答案 (1)C (2)A探究提高 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【训练 1】 (1)(2017东营模拟 )某几何体的
12、三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54 B.60C.66 D.72(2)(2016北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. B.16 13C. D.112解析 (1)还原为如图所示的直观图，S 表 S ABC SDEFS 矩形ACFDS 梯形 ABEDS 梯形 CBEF 34 35 53 (25)12 12 124 (25) 560.12(2)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高 h1，又底面积 S 11 .12 12所以体积 V Sh .13 16答案 (1)B (2)A热点二 空间中的平行与垂直微题型 1 空间线面位置关系的判断【例 21】 已知平面
13、、 ，直线 m，n，给出下列命题：若 m，n ，mn，则 ；若 ，m ，n ，则 mn；若 m，n ，mn，则 ；若 ，m ，n ，则 mn.其中是真命题的是_(填写所有真命题的序号).解析 若 m，n ，mn，则 ， 可能平行或相交，是假命题；若 ，m，n ，则 m，n 可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知是真命题，故真命题序号是.答案 探究提高 长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置
14、关系转移到长方体(或正方体) 中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.微题型 2 平行、垂直关系的证明【例 22】(2016 昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，ABCD，AB BC，且AA1ABBC1，CD2.(1)求证：AB 1平面 A1BC；(2)在线段 CD 上是否存在点 N，使得 D1N平面 A1BC?若存在，求出三棱锥 NAA 1C 的体积；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的侧棱垂直底面，所以 A1A平面 ABCD，又 BC平面 ABCD，所以 BCAA 1，因为 BCAB，AB AA 1A，AB平面 AA1B1B，AA1平面 AA1B1B，所以 BC平面 AA1B1B.又 AB1平面 AA1B1B，所以 AB1BC，因为 A1AAB，A 1AAB1，所以四边形 AA1B1B 为正方形，所以 AB1A 1B，因为 A1BBCB ，A 1B， BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.(2)解 法一 在线段 CD 上存在点 N，且当 N 为 CD 的中点时，D 1N平面 A1BC.证明如下：连接 BN、D 1N，因为ABCD，AB 1，CD 2，
