1、第二章学业质量标准检测本试卷分第卷(选择题)和第卷( 非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列命题中正确的是 ( D )导 学 号 14434912A B 0OA OB AB AB BA C0 0 D AB AB BC CD AD 解析 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量， ； ，OA OB BA AB 是一对相反向量，它们的和应该为零向量， 0；0 0.BA AB BA AB 2已知点 P，Q 是ABC 所在平面上的两个
2、定点，且满足 0,2 ，若| | |，则正实数 ( A )PA PC QA QB QC BC PQ BC 导 学 号 14434913A B12 13C1 D14解析 满足 0，点 P 是线段 AC 的中点PA PC 2 ，QA QB QC BC 2 2 ，QA QC QB QC QB BQ 点 Q 是线段 AB 的中点，| | |，PQ BC .123如果 a、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 ( D )导 学 号 14434914Aab Bab1Cab D|a|b|解析 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项 A、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则 ab1 不
3、成立，所以选项 B 不正确；|a| |b|1，则选项 D 正确4如右图，ab 等于 ( C )导 学 号 14434915A2e 14e 2 B4e 12e 2Ce 1 3e2 D3e 1e 2解析 abe 13e 2.5如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 DC、BC 的中点，那么 EF ( D )导 学 号 14434916A B 12AB 12AD 12AB 12AD C D AD12AB 12AD 12AB 12解析 ( )EF 12DB 12AB AD 6( )( )等于 ( A )1a|a| 1b|b| 2a|a| 2b|b| 导 学 号 14434917A0 B 1 2
4、C 1 2 D 12解析 a0.(a0为 a 的单位向量)a|a|原式即( 1a0 1b0)(2a0 2b0) 12(a b )0.20 207已知点 A( 1,1)、B(1,2)、C (2，1)、D (3,4)，则向量 在 方向上的投影为AB CD ( A )导 学 号 14434918A B322 3152C D322 3152解析 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算由条件知 (2,1)， (5,5)， 10515.AB CD AB CD | | 5 ，则 在 方向上的投影为CD 52 52 2 AB CD | |cos ， ，故选 AAB AB CD AB CD |CD | 1552
5、 3228已知 a、b 是不共线的向量， ab， ab(，R) ，那么 A、B、C 三AB AC 点共线应满足的条件是 ( D )导 学 号 14434919A2 B 1C1 D 1解析 A，B ，C 三点共线即存在实数 k，使得 k ，即 abk(ab)，所以AB AC 有 aka，bkb，即 k,1k，得 1.9设 a、b 是两个非零向量 ( C )导 学 号 14434920A若|a b| |a| b|，则 abB若 ab，则| ab|a| |b|C若|ab|a| |b|，则存在实数 ，使得 abD若存在实数 ，使得 ab，则|ab| |a| b|解析 利用排除法可得选项 C 是正确的，
6、|ab| |a| |b|，则 a、b 共线，即存在实数 ，使得 a b.如选项 A：| ab| |a| b|时，a、b 可为异向的共线向量；选项 B：若ab，由正方形得| ab| |a| |b|不成立；选项 D；若存在实数 ，使得 a b，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|a b|a| b|不成立10(山东高考)已知非零向量 m、n 满足 4|m|3|n|，cos .若 n(tmn)，则13实数 t 的值为 ( B )导 学 号 14434921A4 B4C D94 94解析 由 n(tmn )可得 n(tmn)0，则 tmnn 20 ，所以 t n2mn 3 3 4.故选 Bn2|m|n
7、|cosm，n |n|2|m| |n| 13 |n|m| 4311(四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形，| |6，| |4.若点 M、N 满足AB AD 3 ， 2 ，则 ( C )BM MC DN NC AM NM 导 学 号 14434922A20 B15C9 D6解析 选择 ， 为基向AB AD 量 3 ， ，又BM MC AM AB BM AB 34BC AB 34AD 2 ， ，于是 ( )( )DN NC NM NC CM 13AB 14AD AM NM AB 34AD 13AB 14AD (4 3 ) (4 3 ) (16| |29| |2)9，故选 C14 AB AD
8、112 AB AD 148 AB AD 12已知点 O 为ABC 所在平面内一点，且 2 2 2 2 2 2，则点OA BC OB CA OC AB O 一定为ABC 的 ( D )导 学 号 14434923A外心 B内心C重心 D垂心解析 2 2 2 2，OA BC OB CA 2 2 2 2，OA OB CA BC ( )( )( )( )，OA OB OA OB CA BC CA BC ( ) ( )，BA OA OB BA CA BC ( )0，BA OA OB CA BC ( )0，BA OA AC OC 0，BA OC .BA OC 同理可得： ， .CA OB CB OA O
9、为ABC 的垂心第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知向量 a、b，且 a2b， 5a6b， 7a2b，则 A、B、C、DAB BC CD 四点中一定共线的三点是_A、B、D _.导 学 号 14434924解析 ( 5a6b) (7a2b)2a4b2(a2b)2 .BD BC CD AB 14设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab) c，a b，若|a|1，则|a| 2|b| 2|c| 2的值是_4_. 导 学 号 14434925解析 由于 a b，由此画出以 a，b 为邻边的矩形 ABCD，如图
10、所示，其中，a， b ， abc 0， c ， ab.AD AB CA BD (ab) c， 矩形的两条对角线互相垂直，则四边形 ABCD 为正方形|a| |b|1，|c | ，|a| 2|b| 2|c| 24.215若对 n 个向量 a1，a 2， ，a n存在 n 个不全为零的实数 k1，k 2，k n，使得k1a1k 2a2k nan0 成立，则称向量 a1，a 2， ，a n为“线性相关” 依此规定，能说明 a1(1,2)，a 2(1，1)，a 3(2,10)“线性相关”的实数 k1，k 2，k 3 依次可以取_4,2,1_(写出一组数值即可，不必考虑所有情况 ).导 学 号 1443
11、4926解析 由 k1a1k 2a2k 3a30 得Error!k 14k 3，k 22k 3，令 k3c(c0)，则 k14c ，k 22c.16(2017 天津理科)在ABC 中，A60，AB3，AC2，若 2 ， BD DC AE (R)，且 4，则 的值为 .AC AB AD AE 311 导 学 号 14434927解析 由题意，知| |3，| |2，AB AC 32 cos603，AB AC ( ) ，AD AB BD AB 23BC AB 23AC AB 13AB 23AC ( )( ) 2 2AD AE 13AB 23AC AC AB 23 AB AC 13AB 23AC 3
12、32 22 23 13 23 54 ，解得 .113 311三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 10 分)已知向量 a(1,2)，b(x,1). 导 学 号 14434928(1)若a，b为锐角，求 x 的范围；(2)当(a 2b)(2ab)时，求 x 的值解析 (1)若a，b为锐角，则 ab0 且 a、b 不同向abx 20， x2当 x 时，a、b 同向12x2 且 x12(2)a2b(1 2x,4)，2ab(2x,3)(2x1)(2x) 340即2x 23x140解得：x 或 x2.7218(本题满分 12 分)如图，A
13、OB ，动点 A1，A 2 与 B1，B 2 分别在射线 OA，OB 上，3且线段 A1A2 的长为 1，线段 B1B2 的长为 2，点 M，N 分别是线段 A1B1，A 2B2 的中点.导 学 号 14434929(1)用向量 与 表示向量 .A1A2 B1B2 MN (2)求向量 的模MN 解析 (1) ， A1A2 A1M MN NA2 B1B2 B1M MN NB2 将 2 ，所以 ( )；A1A2 B1B2 MN MN 12A1A2 B1B2 (2)| |2 ( 22 2) (1212cos 4) .MN 14A1A2 A1A2 B1B2 B1B2 14 3 74| | .MN 72
14、19(本题满分 12 分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2).导 学 号 14434930(1)若|b|2 ，且 a b，求 b 的坐标5(2)若|c| ，且 2ac 与 4a3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 .10解析 (1)设 b(x，y)，因为 a b，所以 y2x 又因为|b| 2 ，所以 x2y 220 5由联立，解得 b(2,4)或 b(2， 4)(2)由已知(2 a c)(4a3c)，(2ac)(4a3c)8a 23c 2 2ac0，又|a | ，| c| ，5 10解得 ac5，所以 cos ，0， ，ac|a|c| 22所以 a 与 c 的夹角 .
15、420(本题满分 12 分)已知 a 和 b 是两个非零的已知向量，当 at b(tR )的模取最小值时. 导 学 号 14434931(1)求 t 的值；(2)已知 a 与 b 成 45角，求证：b 与 at b(tR )垂直解析 (1)设 a 与 b 的夹角为 ，则|a tb|2 |a|2 t2|b|22tab |a|2t 2|b|22|a| b|tcos|b| 2(t cos)2| a|2(1cos 2)|a|b|当 t cos 时，|atb| 取最小值|a|sin.|a|b|(2)a 与 b 的夹角为 45，cos ，从而 t ，b (atb)abt|b| 2|a| b|22 |a|b
16、| 22 |b|20，所以 b 与 at b(tR)垂直，即原结论成立22 22|a|b|21(本题满分 12 分)在ABC 中，设 .BC CA CA AB 导 学 号 14434932(1)求证：ABC 为等腰三角形；(2)若| |2，且 B ， ，求 的取值范围BA BC 3 23 BA BC 解析 (1)证明： ，BC CA CA AB ( )0.CA BC AB 又 0 则 ( )，AB BC CA CA AB BC ( )( )0.AB BC BC AB 2 20，AB BC | |2| |2.AB BC | | |，即ABC 为等腰三角形AB BC (2)解：B ， ，cosB
17、， 3 23 12 12设| | | |a.AB BC | |2， | |24，则有 a2a 22a 2cosB4.BA BC BA BC a2 ，则 a 2cosB 2 .21 cosB BA BC 2cosB1 cosB 21 cosB又 cosB ， ，12 12 2， BA BC 2322(本题满分 12 分)已知向量 a，b 满足|a|b|1，| ka b| |akb|(k0，kR).3导 学 号 14434933(1)求 ab 关于 k 的解析式 f(k)(2)若 a b，求实数 k 的值(3)求向量 a 与 b 夹角的最大值解析 (1)由已知|k ab| |akb|，3有|k ab| 2( |ak b|)2，3k2a22kabb 23a 26k ab 3k2b2.又因为|a| |b| 1，得 8kab2k 22，所以 ab ，k2 14k即 f(k) (k0)k2 14k(2)因为 a b，k0，所以 ab 0，k2 14k则 a 与 b 同向因为|a|b| 1，所以 ab1，即 1，整理得 k24k 10，k2 14k所以 k2 ，3所以当 k2 时，a b.3(3)设 a，b 的夹角为 ，则 cos ab (k ) ( )22 ab|a|b| k2 14k 14 1k 14 k 1k当 ，即 k1 时，k1kcos 取最小值 .12
