1、山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校 2017 届高三第四次联考试题 (理)一、选择题(共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分)1已知 aR，则“a2”是“a 22a”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )Aa 2b 22ab Bab2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab3设 0a1，mlog a(a2 1)，nlog a(a1)，plog a(2a)，则 m，n，p 的大小关系是( )Anmp BmpnCmnp Dpmn4已知等差数列a n与等比数列b
2、n，满足 a3b 3,2b3b 2b40，则a n前 5 项的和 S5 为( )A5 B20 C10 D405己知数列a n的通项公式为 anlog 2 (nN *)，设a n的前 n 项和为 Sn，则使n 1n 2Sn4 成立的自然数 n( )A有最大值 15B有最小值 15C有最大值 31D有最小值 316各项均为正数的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn3，S 3n39，则 S4n等于( )A80 B90 C120 D1307若变量 x，y 满足约束条件Error! 且 z5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是( )A48 B30 C24 D168在ABC 中，
3、已知 a2b 2c 2 bc，则 BC 等于( )2A. B.4 34C. D. 或54 4 349若a n是等差数列，首项 a10，a 2016a 20170，a 2016a20170，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是( )A4031 B4033 C4034 D403210已知 a，b，m，n，x，y 都是正实数，且 ab，又知 a，m ，b，x 成等差数列，a，n，b，y 成等比数列，则有( )Amn，x y Bmn，x yCmn，xy Dm n，x y11已知二次函数 f(x)cx 24xa1 的值域是1，)，则 的最小值是( )1a 9cA1 B2 C3 D412若
4、a1，设函数 f(x)a xx4 的零点为 m，函数 g(x)log axx4 的零点为 n，则 的最小值为( )1m 1nA1 B2 C4 D8二、填空题(包括 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13不等式x 2|x| 20 的解集是_14已知由正数组成等差数列a n的前 20 项和为 100，那么 a7a14 的最大值为_15若等差数列a n各项均为正数，且 a3a5a 3a8a 5a10 a8a1064，则 S12_.16已知数列a n是各项均不为 0 的等差数列，S n为其前 n 项和，且满足a S 2n1 (nN *)若不等式 对任意的 nN *恒成立，则实数 的最2nan 1
5、n 8( 1)n 1n大值为_三、解答题(包括 6 个题，17 、18 题各 10 分，19、20、21 题 12 分，22 题为附加题 20 分，共 76 分，请写必要的解答过程)17(10 分) 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a ，b ，12cos( BC)0，求：3 2(1)A 的大小；(2)边 BC 上的高18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 .cos Aa cos Bb sin Cc(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2c 2a 2 bc，求 tan B.6519(12 分) 在ABC 中，角 A，B，C
6、 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C(cos A sin 3A)cos B0.(1)求B 的大小；(2)若 ac1，求 b 的取值范围20(12 分) 已知在等差数列a n中，公差 d0，其前 n 项和为 Sn，且满足：a2a345，a 1a 414.(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn ，f (n) (nN *)，求 f(n)的最大值2Sn2n 1 bn(n 25)bn 121(12 分) 数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a13，S n和 Sn1 满足等式 Sn1 Snn1，n 1n(1)求 S2 的值；(2)求证：数列 是等差数列；Snn(3)若数列b n满足 bn
7、a n2an，求数列b n的前 n 项和 Tn；(4)设 Cn ，求证：C 1C 2C n .Tn22n 3 2027附加题(共 1 小题，满分 20 分)22(20 分) 已知数列 an和b n满足：a 1 ，a n1 ann4，b n(1) n(an3n21)，23其中 为实数， n 为正整数(1)证明：当 18 时，数列b n是等比数列；(2)设 Sn为数列b n的前 n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 Sn12？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由参考答案1A 由 a22a 得 a2 或 a0，则“a2”是“a 22a”成立充分不必要条件2D 对于 A，a 2b
8、 22ab 所以 A 错；对于 B，C ，ab0，只能说明 a，b 同号，若 a，b 都小于 0，则 B，C 都不成立ab0， 2.ba ab3D 取 a0.5，则 a21，a1,2a 的大小分别为 1.25,1.5,1，又因为 0a1 时，ylog ax 为减函数，所以 pmn.4C 2b 3b 2b42b 3b 0，求得 b32，23a 3b 32，S 5 a 3510.a1 a5525D 由题意可知 anlog 2 (nN *)，n 1n 2设a n的前 n 项和为 Snlog 2 log 2 23 34log2 log 2 ，nn 1 n 1n 2log 22log 23log 23l
9、og 24log 2nlog 2(n1)log 2(n1)log 2(n2)log 22log 2(n2)log 2 4，2n 2即 2 4 ，2n 2解得 n30，使 Sn4 成立的自然数 n 有最小值为 31.6C 由已知可得，公比 q1，q0.S n3，S 3n39， 3， 39，a11 qn1 q a11 q3n1 q化为 q2nq n120，解得 qn3. .a11 q 32则 S4n (13 4)120.a11 q4n1 q 327C满足约束条件Error!的可行域如图所示：平移直线 5yx 0，经过点 B(8,0)时，5y x 最小，最小值为8，则目标函数 z5yx 的最小值为8
10、.经过点 A(4,4)时，5yx 最大，最大值为 16，则目标函数 z5yx 的最大值为 16.z5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是 24.8A 在ABC 中，由 a2b 2c 2 bc，利用余弦定理可得 cos A ，2b2 c2 a22bc 22A ，BC A .34 49D an是等差数列，首项 a10，a 2016a 20170，a 2016a20170，a 20160，a 20170，公差 d0，S 4032 2016(a 2016a 2017)0，4032a1 a40322S4033 4033a 20170.4033a1 a40332所以使前 n 项和 Sn0
11、 成立的最大自然数 n 是 4032.10B 因为 a，m，b，x 成等差数列，a，n，b，y 成等比数列，所以m ，n ，a b2 ab由基本不等式得 mn，又因为 ab，所以 a，b，m，n，x，y 互不相等，所以 mn，b ，由均值不等式得 ，m x2 mx m x2即 b ，mxb ，ny mx因为 mn，所以 xy，综上，得 mn，xy.11C 二次函数 f(x)cx 24xa1 的值域是1，)，c0 且 1，即 ac4，4ca 1 164ca0， 2 3，当且仅当 时取等号，1a 9c 1a9c 1a 9c又ac4，c 6，a ，23 的最小值为 3.1a 9c12A 由题意，构建
12、函数 F(x)a x，G (x)log ax，h(x) 4x，则 h(x)与 F(x)，G(x )的交点 A，B 的横坐标分别为 m，n，注意到 F(x)a x，G( x)log ax，关于直线 yx 对称，可以知道 A，B 关于 yx 对称，由于 yx 与 y 4x 交点的横坐标为 2，mn4， ( )(mn) (2 ) (22 )1，当且仅当 mn 时取等号，1m 1n 141m 1n 14 nm mn 14 nmmn 的最小值为 1.1m 1n13x| x2 或 x2解析 x0 时， x2x20，解得 x2 或 x1(舍)；x0 时，x 2x 20，解得 x1(舍) 或 x2，故答案为x
13、| x 2 或 x21425解析 由正数组成等差数列a n的前 20 项和为 100，a 1a 20 10，10010a 7a 1410，a 7a14 225，a 7a1425.(a7 a142 )1548解析 a 3a5a 3a8a 5a10a 8a10(a 3a5a 3a8)(a 5a10a 8a10)a 3(a5a 8)a 10(a5a 8)(a 5a 8)(a3a 10)64，a n为等差数列，故 a3a 10a 5a 8，故(a 5a 8)264，又a n0，故 a5a 88，S 12(a 1a 12)( a2a 11)(a 6a 7)6( a5a 8)48.1615解析 数列a n
14、是各项均不为 0 的等差数列，a S 2n1 (2n1)a n，2na n2n1， ，an 1n 8 1n 1n1 (2n1)恒成立，8 1n 1n易知 n 取 2,4,6 时，1 (2n1)0，8 1n 1n当 n2 时，1 (2n1)15，8 1n 1n当 n4 时，1 (2n1)9，8 1n 1n当 n6 时，1 (2n1) ，8 1n 1n 133故 15.17解 (1)因为 12cos( BC)0，ABC，所以 cos A ， sin A ，A .12 32 3(2)由正弦定理得sin B ，bsin Aa 22由 ba 知 BA，所以 B 不是最大角，B .从而 cos B ，2
15、1 sin2B 22由上述结果知 B ，C ，4 512sin Csin(A B)sin( )，4 3设边 BC 上的高为 h，则有hbsin C sin( ) ( ) .24 3 2 22 12 22 32 3 1218(1)证明 根据正弦定理，可设 k (k0)，asin A bsin B csin C则 aksin A， bksin B，c ksin C .代入 中，有cos Aa cos Bb sin Cc ，变形可得cos Aksin A cos Bksin B sin Cksin Csin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB )在ABC 中，由 ABC
16、，有 sin(AB)sin(C)sin C所以 sin Asin Bsin C.(2)解 由已知，b 2c 2a 2 bc，根据余弦定理，有65cos A .b2 c2 a22bc 35所以 sin A .1 cos2A45由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 sin B cos B sin B.45 45 35故 tan B 4.sin Bcos B19解 (1)由已知得cos( AB) cos Acos B sin Acos B0，3即 sin Asin B sin Acos B0，3sin A0，sin B cos B0，即 tan B ，3 3又B 为三角形的内角，则 B .3(2)ac1，即 c1a，cos B ，12由余弦定理得 b2a 2c 22accos B，即 b2a 2c 2ac(ac) 23ac13a(1a)3(a )2 ，12 140a1， b21，14则 b1.1220解 (1)数列a n是等差数列，a 1a 4a 2a 314.又 a2a345，
