1、二次函数一、基础知识1二次函数有以下三种解析式：一般式：_顶点式：_零点式：_其中是方程的根2研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。3二次函数的单调性（1）当a0时，函数在上 递减 ，在上 递增 ，并且当x = 时，（2）当a0时，函数在上 递增 ，在上 递减 ，当x = 时，4二次函数一般问题大多通过数形结合求解，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化（1）的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根；（2）利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：.一看开
2、口,二看,三看对称轴,四看端点值.设是方程的两个实根，写出下列各情况的充要条件当时，_当在有且只有一个实根时，_当在内有两个不相等的实根时，_当两根分别在,且时，_5二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论.若a0，二次函数f (x)在闭区间p、q上的最大值为M，最小值为N.，令x0 =若，则 M = ， N = ；若，则M = ， N = ；若，则M = ，N = ；若，则M = ，N = 6二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x
3、)0在p,q恒成立或二.自主热身1.已知函数在区间上具有单调性，则实数的范围为 .1若，且则实数的取值范围是_2方程有一根大于1，另一根小于1，则实根的取值范围是_3函数在上有零点，则实数的取值范围为_4已知二次函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数使f(c)0,则实数p的取值范围是_5函数,若的定义域为时,实数的取值范围为若的值域为时,实数的取值范围为则 6二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)f(1+2xx2),则x的取值范围是_7若关于的不等式的解集中整数恰好有3个，则实数的取值范围是_8函数
4、则的最小值为 9函数在区间上的最小值记为则的函数表达式为 二、例题精练例1已知函数求的最小值；例2.已知二次函数在时取得最小值且满足(1)求函数的解析式. (2)当函数在上的最小值是时,求的值.例3.设二次函数（1）若，方程两根都小于，求a的取值范围；（2）若，求 在上的最大.例4.设二次函数方程的两个根满足(1)当时,证明： (2)设函数的图象关于直线对称,证明：例5（1）.已知函数的两个零点分别在内，则的范围为 （2）.已知有大于的零点，则实数的范围为 .（3）方程有实根，则的最小值为 .4.已知函数的最小值为，记（1）求的值；（2）若不等式对任意都立，求实数的范围；（3）关于的方程有六个
5、不等实根，求实数的范围.例6.已知函数其中均为实数.(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由.(2)若,求的范围.(3)若,且,是否存在,使得对于恒成立,若有,求的解析式?若无,说明理由.二次函数课后练习1.二次函数的图像如图所示，记，则M与N的大小关系是_2已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围为 3设函数，给出下列四个命题：c0时，是奇函数； b0，c0时，方程0只有一个实根；的图象关于（0，c）对称； 方程0至多两个实根其中正确的命题是 4.已知函数，若关于的方程，有四个不同的实数根，则实数的取值范围是_5已知（1） 讨论的单调性；（2） 设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围6已知函数（1）当时，写出的单调区间；解不等式；求在的最大值；（2）若函数无减区间，求的取值集合；（3）讨论的零点个数，并求出零点；（4）若对任意，均存在使得成立，求的取值范围11
