1、1,管理系统 -非经典数学方法及其应用,主讲人：张 强博士 教授 博导北京理工大学管理与经济学院管理科学与工程系E-mail: Tel: 68912844 (O),2,应用模糊数学,主讲人：张 强博士 教授 博导北京理工大学管理与经济学院管理科学与工程系E-mail: Tel: 68912844 (O),3,教材：朱剑英. 智能系统非经典数学方法. 华中科技大学出版社，2001.,4,模糊集理论及其应用,主讲人：张 强博士 教授 博导北京理工大学管理与经济学院管理科学与工程系E-mail: Tel: 68912844 (O),5,教材：宋晓秋. 模糊数学原理与方法.（第二版） 中国矿业大
2、学出版社，2004.胡宝清. 模糊理论基础，武汉大学出版社， 2004 .,6,第一章 绪论第二章 三次数学危机及其启示第三章 模糊数学第四章 人工神经网络的数学基础第五章 遗传算法,7,第三章 模糊数学,3.1 模糊集合论的基本概念3.2 模糊集合的分解定理3.3 模糊集合的隶属度3.4 模糊集合的扩张原理3.5 模糊模式识别3.6 模糊关系与聚类分析3.7 模糊综合评判3.8 模糊逻辑与模糊推理,8,确定性 经典数学，量 随机性 随机数学， 不确定性 模糊性 模糊数学。随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生 不确定 。 （事件是否发生不确定）模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件
3、发生与否。 （事件本身的状态不确定）,9,模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念（或现象）处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性， 而模糊性是一种内在结构的不确定性。,10,模糊集理论的产生与发展,1965 年美国加尼福利亚大学控制论专家扎德 （Zadeh L. A.) 教授在 Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文 “F
4、uzzy Sets”，这标志着模糊数学的诞生。由扎德教授创立的模糊数学是继经典数学、统计数学之后数学的一个新发展。统计数学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域，模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域。,11,模糊数学研究的四大中心 美国、西欧、日本、中国模糊技术的应用涉及到各个领域。家用电器采用了模糊控制技术的有： 空调器 电冰箱 洗衣机 洗碗机,12,学术刊物, Fuzzy Sets and Systems (1978) （荷兰） IEEE Trans. on Fuzzy System （美国） Fuzzy Mathematics （美国）Fuzzy Optim
5、ization and Decision Making（美国） 模糊系统与数学 (1987) （国防科技大学） 模糊数学 (1981) （华中理工大学）,13,参 考 书,罗承忠， 模糊集引论 (上册)，北京师范大学出版社，1989（2006 再版）。 张文修，王国俊，刘旺金，方锦暄，模糊数学引论，西安交通大学出版社，1991。 胡宝清，模糊理论基础，武汉大学出版社，2004。 陈水利，李敬功，王向公，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005。,14,彭祖赠，孙温玉，模糊 (Fuzzy) 数学及其应用，武汉大学出版社，2002。 曹炳元，应用模糊数学与系统，科学出版社，2005。 韩立岩，汪培
6、庄， 应用模糊数学(修订版)，首都经贸大学出版社，1998。 Zimmermann H-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. Boston: Kluwer Nijhof, 1996.,15,方述诚，汪定伟，模糊数学与模糊优化，科学出版社，1997。 谢季坚，刘承平，模糊数学方法及其应用 (第2版)，华中科技大学出版社，2001。 邢文训，谢金星，现代优化计算方法，清华大学出版社，1999 （2006 第二版） 。,16,3.1 模糊集合论的基本概念,3.1.1 经典集合论的基本概念3.1.2 模糊集合的定义3.1.3 模糊集合的运算,17,由于计算
7、机科学及许多现代科学和现代工程的发展，特别是各个领域智能化的发展趋势，客观上迫切需要把数学研究的对象扩大到质与量统一的对象和具有模糊性概念的对象。换言之，数学研究的对象，不能只考虑“非此即彼”的集合和“二值逻辑”，而必须考虑边界不清晰的集合和非二值逻辑。在计算机领域，早在 20 世纪 80 年代初期，日本就提出要发展,18,第五代计算机智能计算机，但是到现在，十多年过去了，也没有能研制出来。究其原因，主要是计算机的逻辑基础没有改变，仍然是二值逻辑（又称经典逻辑），而人们智慧所依赖的逻辑却是非经典逻辑。这就使得新发展的数学，从一开始就涉及到数学基础的两个学科：集合论与数理逻辑。这种情况与微积分刚
8、出现时的情况不同。微积分刚出现时,19,是先建立数学方法而后再逐步建立其数学基础。诸多非经典数学论文中，发展最快、应用最多的就是模糊数学。关于模糊数学的第一篇论文是由 L. A. Zadeh 在 1965 年发表的。论文的题目是“模糊集合”，发表的杂志是美国的信息与控制。由此可见，新的数学方向往往是在技术学科领域中提出来的，而且一开始就是数学基础与数学方法同时发展的。,20,3.1.1 经典集合论的基本概念,1. 集合运算 由于经典集合论是经典数学的基础，同时了解模糊集合论又必须与经典集合论相对照，为了能循序渐进地学习模糊集合论，有必要先将经典集合论中的一些与模糊集合论有关的基本概念先给予介绍
9、。,21,定义 3.1.1 论域是所论数学对象的全体。它可以是无穷集，例如自然数的全体。但它不能是“不以自己为元素的集合”的全体，亦即不能是“非本身分子集”的集合。这样就避免了 Russell 悖论情况。事实上，我们研究某问题时，并不关心那些与所论问题无关的对象。,22,定义 3.1.2 设 X 是论域，A 是 X 的子集，即 A 的所有元素均是 X 的元素，或者说 A 是 X 中某些元素的集。 x 是 A 的元素（或 x 属于A），记为 xA ， x 不是 A 的元素（或 x 不属于A），记为 xA 。在经典集合论范围内，对任一元素 x 而言，或者xA ，或者 xA ，二者必居其一。 A 是
10、 X 的子集，记为 A X。,23,定义 3.1.3 集合用符号 表示。例如，元素 x1，x2，xn 组成的集合，记为 x1，x2，xn 。若 P 是关于论域 X 中元素的一个性质，记号 x X | x 具有 P 或 x X | P(x) 表示 X 内具有性质 P(x) 的一切元素的集合。不含任何元素的集叫空集，记为 。,24,定义 3.1.4 X 为论域，A、B 为 X 的子集，若 A 的元素也是 B 的元素，称 A 包含于B，或 B 包含于A，或A 是 B 的子集，记为 A B。若 A 与 B 由相同的元素组成，即 A B，且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 A = B。 定义 3.
11、1.5 X 的所有子集组成的集合，称为 X 的幂集，记为 P ( X ) = A | A X 。 （3.1.1）,25,命题 3.1.1 P ( X ) 的元素间的包含关系有以下性质: (1) 自反性： A P ( X )， A A； (2) 反对称性： A、B P ( X )， 若 A B 且 B A，则 A = B ；(3) 传递性： A、B、C P ( X )， 若 A B 且 B C，则 A C。,26,定义 3.1.7 若 A、B P ( X )，称集A B = x X | x A 或 x B （3.1.3）为 A 与 B 的并集；称集 A B = x X | x A 且 x B （
12、3.1.4）为 A 与 B 的交集。,27,设 T 为某个指标集, X 的子集 At | t T P ( X ), 当 T 时，X 的子集的并和交分别定义为： 特别地，当 A、B P ( X ) 时，A 与B 的并A B及交 A B 就是定义 3.1.7 的情况。当 T = ，有,28,定义 3.1.6 若 A、B P ( X ), 称集A B = A B =x X | x A 但 xB。 （3.1.2）为 A 与 B 的差集，特别地 X A 称为 A（关于 X ）的补集，记为 Ac ( ) 。,29,在一个非空集合上，可以建立若干运算，上述并、交、补就是集合上的运算。 我们把四元组 (P (
13、 X )，c）称为一个代数系统。实际上它是一个布尔代数。 定义 3.1.8 符号 x 表示 “有一个x” ！x 表示“有且仅有一个 x”， x 表示 “对于全体 x”。,30,命题 3.1.2 代数系统 (P ( X )，c）有以下性质：（1）交换律： A B = B A， A B = B A。（2）结合律: A ( B C ) = ( A B) C, A ( B C ) = ( A B) C。（3）幂等律： AA =A， AA = A。（4）分配律: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )。,31,（5）两极律: A X
14、 = A， A X = X， A = ， A = A。（6）吸收律: A( AB ) = A， A( AB ) = A。（7）复原律: ( Ac )c = A。（8）排中律（互补律）：AAc =X，AAc = 。（9）对偶律: ( A B)c = AcBc；( AB)c= Ac Bc。（10）对称差：( AcB) (ABc) = ( AcBc)(AB)， ( Ac B) (A Bc) = ( AcBc)(AB)。,32,分配律与对偶律有以下更一般地形式：设 T 为某指标集， At | t TP ( X )，AP ( X )，有以上各命题的证明是显然的，故从略。,33,2. 映射 定义 3.1.
15、9 设 A、B 是两个集合，若有一规则 f ，使每一个 xA 唯一确定一个 yB 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 的一个映射，记为 f ：AB，A 称为映射 f 的定义域，B 称为 f 的值域；y 称为 x 在 f 作用下的象，记作 yf (x)，并用符号f : x |y 表示，x 称为 y 的一个原象。,34,由此可见，一个映射必须联系两个集合（可以是同一论域上的集合，也可以不是同一论域上的集合）和一个对应规则。 例 3.1.1 取 A=0，2， B =-1，1，从 A 到 B的映射： f ：AB，x |y = f (x) = sin x是我们熟知的正弦函数。 通常我们了解的函数都是映
16、射，因此函数是映射的特殊形式，在现代数学中，映射和函数是同义词。,35,定义 3.1.10 A 到 A 的映射 IA ，即IA： AA， a |a ，称为 A 上的单位映射（或恒等映射）。 映射相等：两个映射 f ：AB，g ：CD，若有 AC，BD，并且xA， f (x) = g(x)，则称这两个映射相等，记为 f g。,36,单射：对于映射 f ：AB，若有 x，yA，xy f (x) f (y)， 则称 f 为单射。满射：对于映射 f ：AB，若有yB， x A 使 y f (x), 则称 f 为满射。双射：如果 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射。双射也叫一一对应或可逆映射。,3
17、7,例 3.1.2 设 A=a，b，c，B =1，2，3，4。（1）若有对应规则 f ：a |1， b |1， c |2，则 f 为 A 到 B 的一个映射，但不是单射，也不是满射。（2）若有对应规则g： a |1， b |2， c |3，则 g 为 A 到 B 的一个映射，g 是单射，但不是满射。,38,（3）若有对应规则h： a |1， b |2，则 h 不是 A 到 B 的一个映射，因为 c 没有对应的象。（4）若有对应规则k： a |1， a |2 ， b |3， c |4，则 k 不是 A 到 B 的一个映射，因为 a 在 k 作用下的象不唯一。 例3.1.1 中的映射是满射而不是单
18、射。,39,定义3.1.11 设 f 是 A 到 B 的映射，S A，记 f ( S ) = f (x) | xS ，这是 B 的一个子集，叫做 S 在 f 作用下的象 (当 S 时，规定 f (S) = )。 特别地，当 SA 时，f (A) 称为映射 f 的象（参见图 3.2）。,40, T B，记f 1( T ) = xA | f (x)T ,这是 A 是一个子集，叫做在 f 作用下 T 的完全原象（当 T 时，规定 f 1 () = )。f 1() 又称为 f 的逆映射。 显然，一个映射若可逆，则其逆映射是唯一的。,41,定义3.1.12 设 A、B、C 是三个集合，已知两个映射 f
19、：AB，g ：BC，则可以确定一个 A 到 C 的映射： h：ACa|h(a) = g( f (a)，称为映射 f 与 g 的合成映射（或复合映射），记为 hg 。f 。,42,例 3.1.3 设 A=a，b，c，d ，B=， ， C = 1，2。已知映射 f 及 g 如下： f ： A B g： B C a | ， |1， b | ， |2， c | ， |2。 d |，,43,则它们的合成映射 h = g 。f 为 a | 1， b | 1， c | 2， d | 2。 因为 f 不是单射， g 也不是单射，所以 f 和 g 都不可逆，合成映射 h 当然也不可逆。,44,3. 特征函数定义
20、 3.1.13 设 AP ( X )，由集合 A 诱导出的映射 A() ： X 0，1，称为 ( X 上) 集合 A 的特征函数。（注：A (x) =A(x)） 集合与其特征函数可以相互唯一确定，集合是直观概念，特征函数则是它的数学表现。,45,例如： Xa, b, c, d, e， Aa, c, e， A(a) = A(c) = A(e) = 1， A(b) = A(d) = 0。 集合若用特征函数来表现，则可写成Ax X | A(x) =1。,46,集合与特征函数在运算上有下列关系：,47,其中，sup 表示集合的上确界，inf 表示集合的下确界。 当指标集 T 为有限的情形，sup =
21、max，inf = min。有时上、下确界分别用内插符 、 来表示，即 = sup， = inf 。为了简化，还写成 =， = 。于是便有,48,记 F 0( X ) = A() A() : X0, 1 定理 P ( X ) F 0( X )。,49,例 3.1.4 考虑一个五元素的论域集合X x1，x2 ，x3，x4，x5 ，其中有一子集 Ax1, x3 , x5， 其特征函数为A(x1) = A(x3) = A(x5) = 1, A(x2) = A(x4) = 0。用特征函数表示集合 A ，可以写成A (x1 , 1)，(x2 , 0)，(x3 , 1)，(x4 , 0)，(x5 ,1)
22、。,50,例 3.1.5 设在上述论域中有两个子集 A 及 B：A (x1 , 1)，(x2 , 0)，(x3 , 1)，(x4 , 0)，(x5 ,1) ，B (x1 , 1)，(x2 , 0)，(x3 , 1)，(x4 , 1)，(x5 ,1) ，则可以求得A B (x1 , 1)，(x2 , 0)，(x3 , 1)，(x4 , 0)，(x5 ,1) ，A B (x1 , 1)，(x2 , 0)，(x3 , 1)，(x4 , 1)，(x5 ,1) ， (x1 , 0)，(x2 , 1)，(x3 , 0)，(x4 , 1)，(x5 ,0) ， (x1 , 0)，(x2 , 1)，(x3 ,
23、0)，(x4 , 0)，(x5 ,0) 。,51,3.1.2 模糊集合的定义,在经典集合中排除了 “非本身分子集的集合”，就排除了 Russell 悖论。在经典集合中可以用 Cantor造集的原则，即任给一性质（概念）p，就对应的有一集合 G，它是由所有满足 p 的对象 g，而且仅由这些 g 所组成的： G g | p(g) 。 (3.1.8),52,我们在前面已经说过，这里的性质 p 是“非此即彼” 清晰概念，它的特征函数的数值也仅是 0、1 两个值。A(x)=1，表明 x A，即对象 x 满足性质(概念) p。 A(x)=0，表明 x A，即对象 x 不满足性质(概念) p。二者必取其一，
24、也仅取其一。 但是在现实生活中，人们经常使用的概念是非清晰的概念，它们没有明确的外延，不是 “非此即彼” 的，,53,而是“亦此亦彼”的模糊概念，如“上午”、“黄昏”、“年青人”、“老年人”、“强磁”、“弱磁”等等。它们不能用论域 X 上的经典集来表示。为此，必须把经典集及其运算加以拓广。拓广的最简单的方法就是把特征函数 A(x) 的取值从值域 0, 1 拓广到区间 0, 1。相应的我们把集合 A 拓广成模糊集 A，特征函数 A(x) 就拓广成隶属度函数 (简称隶属函数) A(x)。,54,例 3.1.6 如图 3. 3 所示， x1，x2 ，x3，x4 ，x5 ，是 5 个小块，它们组成论域
25、 X。 “ 圆块块”是 X 上的一个模糊集，记为 A，它的隶属函数为： A (x1) = 1， A (x2) = 0.75， A (x3) = 0.5， A (x4) = 0.25， A (x5) = 0。这个模糊集 A 还可以写成如下的形式：A = (x1 | 1)，(x2 | 0.75)，(x3 | 0.5)，(x4 | 0.25)，(x5 | 0) ,55,定义 3.1.14 设 X 是论域，映射A()：X 0, 1x A(x)称为 X 的模糊子集(合) A ( Fuzzy Set )，简称 F 集(合) 。 对 xX， A (x) 称为 x 对 A 的隶属度， A 称为 F 集的隶属函
26、数(我们也将A (x) 简记为 A(x)。,56,定义 3.1.14 设 X 为论域，x 为 X 中的元素。对于任意的 x X，给定了如下的映射 x | A(x) 0, 1，即 A：X 0, 1，我们称所有 “序偶”组成的集合 A (x，A(x) | x X (A(x) / x)，| x X , 为 X 上的模糊子集合，简称模糊集合，称 A() 为模糊集合 A 的隶属函数，对某个具体的 x ，称 A(x) 为 x 对 A 的隶属度。,57,X 上的所有模糊子集组成的集合记为F ( X )。 正如经典集合完全由特征函数刻画一样，模糊集合也完全由隶属函数所刻画。 当 A 的值域蜕化为 0, 1时，
27、A 就是经典集合，所以经典集合是模糊集合的特例。于是便有 P ( X )F ( X ) 。,58,两个特殊的模糊集合： 空集 的隶属函数恒为 0，即(x)0，x X ； 论域 X 的隶属函数恒为 1，即X(x)1，x X。,59,模糊集可以用几种方法表示 :(1) A = (x , A(x) )| xX 。 (3.1.9)(2) A = A(x) / x | xX 。 (3.1.10) (3.1.11)(“” 这里不表示积分）,60,当 X = x1，x2，xn 为有限集时，也可以表示为：(4) A= A(x1)/ x1 + A(x2)/ x2 + . + A(xn)/ xn (3.1.12)
28、 (这里 + 不是求和) 。(5) A = ( A(x1)，A(x2), ., A(xn) ) (3.1.13) (向量表示式，A(x) = 0 的项不可略去)。,61,例 有 5 人 x1，x2 ，x3，x4 ，x5 属于“ 年轻人” 的程度分别为 0.4， 0.7， 0.4， 0.9， 1.0，则模糊集 Y = “ 年轻人” 可表示为 Y = 0.4 / x1 + 0.7 / x2 + 0.4 / x3 + 0.9 / x4 + 1.0 / x5或Y = ( x1, 0.4 ), (x2, 0.7 ), (x3, 0.4 ), (x4, 0.9 ), ( x5, 1.0 )。,62,例 设
29、 X = R = 全体实数 ，A 表示概念 “ X 中接近于 5 的数”，其隶属函数是A(x) = (1+( x5) 2 ) 1 ，则模糊集 A 可表示为 A =(1+( x5) 2 ) 1 / x 。,63,例 3.1.8 设论域 X, 200 表示人的年龄， Zadeh 给出 “ 年老 ” (O(x) 与 “ 年青 ” (Y(x) 两个模糊集的隶属函数分别为：,64,特别地O(55)=0.5;O(60)=0.8;O(80)=0.97;Y(30)=0.5;Y(35)=0.2.,65,3.1.3 模糊集合的运算,定义 3.1.15 设 A、BF ( X )(1) 若 xX 有 A(x) B(x
30、)，称 A 含于 B 或 B 包含 A，记为 A B。(2) 若 xX 有 A(x) = B(x)，称 A 与 B 相等，记为 AB。,66,由上述定义，易证下面的命题。命题 3.1.3 F ( X ) 上的包含关系 “ ” 有以下性质： (1) AF ( X )， A X。 (2) 自反性： AF ( X )， A A。 (3) 反对称性： A、BF ( X )，若 A B 且 B A，则 AB。 (4) 传递性： A、B、CF ( X )，若 A B 且 B C，则 A C 。,67,定义 3.1.16 设 A、BF ( X )，则它们的交、并、补运算可定义如下： (1) A 与 B 的并
31、集，记为 AB，其隶属函数为(AB)(x) = A(x)B(x)， xX，其中 “ ” 表示取最大值（上确界）。 (2) A 与 B 的交集，记为 AB，其隶属函数为(AB)(x) = A(x)B(x)， xX，其中 “” 表示取最小值（下确界）。 (3) A 的余(补)模糊集，记为 Ac，其隶属函数为Ac(x) =1 A(x)， x X。,68,采用 Zadeh 的记号，还可以写成（1）并：,（2）交：,69,（3）余(补)： 设 T 为任意指标集， At | t T F ( X )，其并和交运算分别定义为：,70,例3.1.9 在例 3.1.6 中，再定义这时，就有 （ 采用第（4）种记法
32、），,71,72,73,命题 3.1.4 代数系统 (F ( X )， ， ，c）有以下性质:（1）交换律：A B = B A， A B = B A。（2）结合律: A ( B C ) = ( A B) C, A ( B C ) = ( A B) C。（3）幂等律： AA =A， AA = A。（4）分配律: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )。,74,（5）两极律: A X = A， A X = X， A = ， A = A。（6）吸收律: A( AB ) = A， A( AB ) = A。（7）复原律: ( Ac
33、)c = A。（8）对偶律： (AB)c =AcBc；(AB)c= AcBc。（9）对称差：( AcB) (ABc) = ( AcBc)(AB)， ( Ac B) (A Bc) = ( AcBc)(AB)。,75,分配律与对偶律有以下更一般地形式：设 T 为某指标集， At | t TF ( X )，AF ( X )，有证明：根据定义3.1.15，要证以上各式，只须验证对,76,每个 x X，以上各式两边的隶属度相等便可。现以对偶律为例证明如下： xX，,77,注意：在代数系统 (F ( X )， ， ，c）中定义的并、交、补运算已不再满足互补律，即A Ac X， A Ac 。这是由于模糊集合
34、不再表示 “非此即彼” 的概念，而是在表示 “亦此亦彼” 的模糊概念了。,78,3.2 模糊集合的分解定理,3.2.1 模糊集合的截集定义 3.2.1 设 AF ( X ) ， 0，1，记(A) = xX | A(x) , (3.2.1) = xX | A(x) , (3.2.2)称 (A) 为 A 的 截集，简记为 A ；称 为 A 的 强截集或开截集，简记为 。,79,显然， A 或 都是 X 上的普通集。,命题 若 2 1，则 A2 A1 。,80,例 3.2.1 取则有,81,命题 3.2.1 截集与强截集关于模糊集的“”、“”运算具有下列性质：,82,83,证明： (1) x( AB
35、 ) ( AB )(x) A(x) B(x) A(x) 或 B(x) xA 或 xB x AB亦即 (A B) = A B 。,84,(2) 类似 (1) 的证明，略。(3)故,！,85,在以上推理中，第三步不一定可逆 (极限值不等于某一个点的值) ，故一般只有包含式成立而等号不一定成立。例 若 An(x)1/4(11/n)， x X，n=1, 2, 。则 ，从而但是，对任何 n， (An)1/4=，因此，,86,但是，在上述推理过程中，如果把“截集”改成“强截集”，即把 “ ” 需改成 “ ” ，这时推理过程的每一步都可逆，因而 (4) 的等号成立。 (5)、(6) 读者自证。 (7)、(8
36、) 显然。,87,(9) 一方面，另一方面，因此综合两方面有,88,(10) 类似 (9)。(11) (12) 类似 (11) 。(13) 显然。,89,定义 3.2.2 设 AF ( X )。称 A1 为 A 的核，记作 Ker A，即 Ker A x X | A(x) =1， (3.2.3)称 为 A 的支集（亦称支撑），记为 supp A，即 Supp A x X | A(x) 0， (3.2.4)称集合 Bd A = x X | 0 A(x) 1为 A 的边界，即Bd A = Supp A Ker A,90,例 古代史分期（指划分奴隶社会和封建社会的界限）是模糊的，若记由于 A(战国)
37、0.5，所以 A(奴隶社会)的过渡点是战国，这表明要判明战国到底是奴隶社会还是封建社会是最困难的。Ker A 夏，商， Supp A夏，商，西周，春秋，战国，秦，西汉，东汉，Bd A西周，春秋，战国，秦，西汉，东汉。,91,命题 3.2.2 设 AF ( X )， t | tT 0, 1, = inf t | tT ， = sup t | tT ，则 （命题3.2.1(9)）证明：这里我们只证明（1）和（2），其余略。,92,93,94,推论 命题 3.2.3 设 AF ( X )，则有证明：,95,（1）,96,（2）,97,3.2.2 分解定理 分解定理是模糊数学的基本定理之一，它反映了模糊集和经典集之间的关系，并提供了由经典集来构造模糊集的方法。,98,定义 3.2.3 设 0, 1，AF ( X )。由、A 构造一个新的模糊集，记为 A，其隶属函数为 A(x) A(x)， xX， (3.2.7)称 A 为数 与模糊集 A 的数乘。 特别地， 与截集 A 的数乘 A 的隶属函数为,
