1、硕士学位论文变分法研究带边界值限制的随机 微分方程的 P范数解Variational approach for P-norm solutions of the two-point boundary value problem of stochastic differential equations作 者 ：晁晓倩 导师：江龙教授中国矿业大学 二一五年五月 中图分类号： O211.5 学校代码 ：10290UDC: 519.2 密 级：公开肀 ( S矿夂火摩硕士学位论文 变分法研究带边界值限制的随机 微分方程的 P范数解Variational approach for P-norm soluti
2、ons of the two-point boundary value problem of stochastic differential equations作 者 晁晓倩 申请学位 理学硕士 学科专业 应用数学 答辩委员会主席导 师 江龙培养单位 理学院研究方向 随机分析 评 阅 人二_五年五月学位论文使用授权声明本人完全了解中国矿业大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意本人所撰 写的学位论文的使用授权按照学校的管理规定处理：作为申请学位的条件之一， 学位论文著作权拥有者须授权所在学校拥有学位 论文的部分使用权， 即： 学校档案馆和图书馆有权保留学位论文的纸质版和电 子版， 可以使用影印
3、、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文； 为教学和 科研目的， 学校档案馆和图书馆可以将公开的学位论文作为资料在档案馆、图书 馆等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览 . 另外， 根据有关法规， 同意中国国 家图书馆保存研究生学位论文 .(保密的学位论文在解密后适用本授权书 ).作者签名：年月日导师签名：年月日论文审阅认定书研究生晁晓倩在规定的学习年限内， 按照研究生培养方案的 要求， 完成了研究生课程的学习， 成绩合格； 在我的指导下完成本学位 论文， 经审阅， 论文中的观点、数据、表述和结构为我所认同， 论文撰 写格式符合学校的相关规定， 同意将本论文作为学位申请论文送专家 评审 .导师
4、签名：年月日致谢岁月如歌，光阴似箭，六月的毕业季将至，三年的矿大研究生学习生活也 即将结束。时光匆匆，却收获颇丰，我怀着一颗感恩的心一路走过。硕士论文 的撰写在坎坷的道路中完成，真心的感谢这一路给予我莫大帮助的老师、同学 们以及支持我的家人们。在这里 ,表示我最衷心的感谢！在即将毕业之际，衷心的感谢我的导师江龙教授，研究生期间，江老师不 但在理论研究中给我指导和帮助，而且在生活以及为人处事上深刻地影响着我。 江老师渊博的知识，严谨的治学态度，敏锐的观察力 ,勤勤恳恳的作风，力求创 新的精神给了我极大的影响和鼓舞 ,激励着我更加努力认真的学习。三年来我的 每一个进步都离不开江老师的关心和帮助。衷
5、心的感谢我的同学们，谢谢你们在学习上对我的帮助和支持，在生活上 对我的关爱与鼓励。感谢田德建、石学军、肖立顺师兄，同 届 申晓 慧 、方瑞 、 王先飞 、陈 晓 峰 等人，在我学习中 遇到困难 时，给予我的 耐 心指导和 无私 帮助， 与你们的 交流 和 讨 论，给了我 很 大的 启发 和帮助，使我的 思 路更加开 阔 。因 为 有你们我的生活 才会格 外的 灿烂 与 明媚 ，三年 相伴 一 起 走过，一 起 学习，一 起 笑 ，一 起哭 ，这 些 日子将 会是 我一生中 难忘 的日子。最后 特别 感谢我的 父母 ，无 论 什么 时 候 都一如 既往 的支持我，鼓励我， 正是 由于他 们的 默
6、默 支持和鼓励，我 才能 走 好 人生道路上的每一步， 再次 衷心感谢 所有帮助和关心我的人们，谢谢 您 们！摘要本文 主要 研 宄 了 带边界值限 制的 n维随机微 分 方程（ 简记 为 SDE) P-范数 解 的存在 性 及 其 解的 连续依赖性 .第 1章简单 地 介绍 了本文的研 宄背景 ,研 宄现状 ，研 宄 内 容 及 预备 知识 .第 2 章通 过 变 分法 ,构造 Picard序列,证明 了 带边界值约 束条件的 随机微 分 方程具 有 P-范数 解 ,并 且 举例说明 这 种 解的 形式并 不 唯 一 . 在解 决此类方程 解的 问题 时 ,Xia-Lin2011证明 了 带
7、边界值限 制的 随机微 分 方程具 有适 应 的 平方 可 积 解 .而本 章 的 主要 内 容是 研 宄带边界值限 制的 随机微 分 方程 P-范数 解的存在 性 .受 Xia-Lin2011的 启发,针 对 带边界值限 制的 随机微 分 方程应 用了 变 分法 探 宄 解的存在 性 .本 章 的 证明思 路为 :第 一步 ,构 建 带边界值限 制的 随机微 分 方程 的 Picard迭 代 解 序 列 G 0,T ,并 且 证明 解 序列（ X t n , / t n) G Sp x M p 空 间 .第二 步 ,证明 解的 序列 (X n， / D ， t G 0,T 分 别 为 Sp和
8、 Mp 中的 柯西 收 敛 列 ,且收 敛到 过 程（ X t ,/ t ) .第 三步 ,证明（ X t ,/ t )是带边界值限 制的 n 维随机微 分 方程 的 P-范数 解 . 与 Xia-Lin2011相比 本文不但 推广 了 带边界值限 制的 随机微 分 方程 解所 属 的 空 间 ,也 从应 用 方 法上给 出 了 带边界值限 制的 随机微 分 方程 P-范数 解存在 性 的另一 种 解 决方 法 .第 3 章 在 第 2章 的 基础 上 举例说明 了 第 2章 中 构造出 来的 带边界值限 制的 随 机微 分 方程 P-范数 解 只是它 解的一 种较好 的 形式, 而 带边界值
9、限 制的 随机微 分 方 程 P-范数 解 并 不 具备唯 一 性 .但 由于 这 种第 2章 中 证明出 来的 P-范数 解 具 有 较好 的 形式 和 性 质 ,第 3章 我们 则单独就 这 种形式 的 P-范数 解而 言证明 了 P-范数 解的 连 续依赖性 .第 4 章 我们对本文进 行 了 简单 的 总 结与 展望 .关 键词 ： 随机微 分 方程 ;两点边值 ; P-范数 解 ;存在 性 ;连续依赖性 .IAbstractThis study focuses on existence and continuous dependence of P-norm solutions for
10、 the two-point boundary value problem of n dimensional stochastic differential equations (SDE in short) by variational approach.Chapter 1 introduces research background, research status, research contents and some preliminaries for the following chapters.Chapter 2 presents the Picard sequence by var
11、iational approach. That two-point boundary value problem of stochastic differential equations do have P-norm solutions is proved and examples are cited to show the form of this solution is not unique. Xia-Lin(2011) proved that two-point boundary value problem of stochastic differential equations hav
12、e corresponding square interable solutions. But this chapter mainly studies the existence of P-norm solutions for the two-point boundary value problem of stochastic differential equations. So the author applies variational approach for the study of solutions existence under the influence of them. Pr
13、oving steps are as follow： Step 1, the Picard iterative sequence (X , ftn) ,t G 0,T of the two-point boundary value problem of stochastic differential equations was structured and the space of solutions sequence (X , fj1 ) G Sp x M p was proved. Step 2, solutions sequence (Xtn, ftn) , t G 0,T was pr
14、oved to be Cauchy convergence sequence in Sp and M p respectively and was converged to the procedure (Xt, ft) . Step 3, that (Xt, ft) is P- norm solutions for the two-point boundary value problem of n dimensional stochastic differential equations is proved. Therefore, compared with Xia-Lin(2011) thi
15、s study not only promotes the space of solutions two-point boundary value problem of stochastic differential equations, but also gives another solution to the existence of P-norm solutions for this kind of equation.Chapter 3 makes a further discussion in examples that P-norm solutions is just a form
16、 of the stochastic differential equations with good quality on the basis of Chapter2, but the P-norm solutions are not unique. But for the good form and quality of P-norm solutions in Chapter 2 the author w ill especially prove the continuous dependence of this kind of P-norm solutions in Chapter 3.
17、Finally, Chapter 4 gives a summary and prospect of this paper.Keywords: Stochastic differential equation; Tow-point boundary value; P-norm solutions; existence; continuous dependenceII目录翻 .I目 i . I I I变量注释 表 . V1 绪论 .11 .1研 宄背景 . 11 .2研 宄现状 . 21 .3研 宄 内 容 . 31 .4预备 知识 . 42 带边界值限 制的 n 维随机微 分 方程 P-范数
18、解的存在 性 . 72 . 1 引言 及 主要 结 果 . 72 .2 主要 结 果 的 证明 . 93 带边界值限 制的 n 维随机微 分 方程 P-范数 解的 连续依赖性 .203.1 弓 I言 及 举例说明 . 203 .2主要 结 果 及 证明 . 214 总 结与 展望 . 23参考 文 献 . 25作者 简历 . 29学位论文 原 创 性声明 . 30学位论文 数 据 集 .31IIIContentsA bstract. I IContents . IVList of Variables . V1 Introduction . 11.1 Research Background. 1
19、1.2 Research Status. 21.3 Research Contents . 31.4 Preliminaries . 42 Existence of P-norm solutions for the two-point boundary value problemof n dimensional stochastic differential equations . 72.1 Introduction and Main Results. 72.2 Proofs of Main Results. 93 Continuous dependence for P-norm soluti
20、ons of the two-point boundary value problem of n dimensional stochastic differential equations. 203.1 Introduction and Illustrate. 203.2 Main Results and Proofs . 214 Conclusions and Prospects. 23References . 25Authors Resume . 29Declaration of Thesis Originality . 30Thesis Data Collection . 31IV变量注
21、释表R 实数集R+ 非负实数集R+ 正实数集R k k维欧式空 间Rkxdk x d实数矩阵 的 集合W欧氏空 间中 元素 x 的 范数Zl Z2 R d 中 两元素 Z1和 Z2的内 积e e 随机变量 e在 概率测 度 p 下 的 数 学期 望e eiFt 随机变量 e在 概率测 度 p 下 关 于 F t的条件 数 学期 望L2， F t , P ) F t 可 测 且 满足 E |e| 2 +的 随机变量 e 全 体LF (0,T ) R 值 ， （ Ft)-适 应 且 满足 E (/0 T I仍 I2 dt) 的 随机 过 程 (t)teo,T全 体轉 ,F t , P) F t 可
22、 测 且 满足 E |e鬥 +的 随机变量 全 体S p(0,T ; R n) R n 值 , （ Ft)-循序 可 测 且 满足 E supte o； T剛 + 程 （ Yt)teo,T全 体的 连续 过Mp(0,T ; R n) R n 值 , (万 )-循序 可 测 且 满足 E ( f0 T |Zt|p dt) + 程 （ Zt)te 。 全 体的 连续 过V1 绪论 1 绪论1 Introduction1.1 研究背景 （ Research Background)首先回顾 一 下多维倒向随机微 分 方程（ 简记 为 BSDE ) 的一 般形式 ：Vt = i + / g(s,ys,Z
23、s)ds - ZsdBs, t G 0,T, (1.1)Jt Jt其 中 （ B t ) t y为 d维布朗运动 ； i 是 一个 平方 可 积 的 随机变量 , 称 为 BSDE (1.1)的终端 条件； T 0 是 给定的有 限 时间 , 称 为 BSDE (1 .1 )的 终端 时间 ;对每个 (y, z),随机函数 g(,t,y,z) : Q x 0,T x x Rkxd R 是循序 可 测 的， 称 为 BSDE(1.1)的生成 元 . 同时 , ( i,T ,g )称 为 BSDE (1 .1 )的 参数 . B S D E的解 （ 仏 z)是 一对适应 过 程 .非线性 的 倒向
24、随机微 分 方程被 Pardoux和 Peng在文 Pardoux-Peng 39中 首次引入并 加以研 宄 ， 他 们在生成 元 g 关 于 (y ,z )的一 致 Lipschitz条件 下 建立了 B S D E平方 可 积 适 应 解的存在 唯 一 性 定理 , 为 B S D E理论与 应 用的 发展奠 定了 基 础 . 从此 , 倒向随机微 分 方程吸引 了 众多 学者的关 注 , B S D E渐渐 成为研 宄随机 分 析 、随机 博 弈 、最 优控 制、 金融数 学及 偏微 分 方程 等 诸多领域 的 重要数 学 工 具 . 倒向随机微 分 方程 理论研 宄 的 历史较短 ,
25、但 其 进 展 却 非常迅速,除 了 其 本 身 所 具 有的有 趣数 学 性 质外 , 还由于 学者 发现 了 它重要 的 应 用 前景 , 例 如 ,著名的 经 济 学家 D uffie和 Ep Stein发现 可以用 B S D E来描 述 不 确 定 经济 环境 下 的 消费 偏 好 (即 效 用 函数 理论 , 见 Duffie-Epstein 11); Peng 40运 用 B S D E获 得 了 非线性 Feymman K a c公 式 ,从 而可以用来处理 诸 如 反 应 扩散 方程 和 Navier-Stokes方程 等 众 所 周 知的 重要非线性偏微 分 方程 组 ;接
26、 着法国 数 学家 El Karoui-Peng-Quenez教 授 又 发现 B S D E可以 应 用 于金融领域 , 特别是 衍 生 证 券 定 价 理论 ; Peng 42利 用 B S D E引入 了 g 期 望 和条件 g 期 望 的 概 念 ,在研 宄 不 确 定条件 下 的 效 用 函数 和不 完 备金融 市 场中 未 定权 益 定 价 方 面 有 重要 的 应 用 .自 从 Pardoux和 Peng得 到多维 B S D E解的存在 唯 一 性 结 果 以后， 国内外 许 多 学者 致 力 于 减弱 生成 元 g 的条件， 来研 宄 B S D E解的存在 唯 一 性问题.
27、 对 倒向随机微 分 方程 的研 宄 大 体 上可以分为三 类 ： 第 一 ,对生成 元 g 所 需 满足 的 条件进 行 弱化 ， 进而 得 到倒向随机微 分 方程 解 是 存在 唯 一的， 例 如 ，Lepeltier 35, Mao 36, Kobylanski 34, Hamadene 27, Wang-Huang 45, Pardoux 38, Bahlali 3, Fan-Jiang 21 等 ;第二 ， 研 宄倒向随机微 分 方程 解的 性 质， 如 比较 定 理、 连续依赖性 、稳 定 性 定理等等， 比 如 ， El Karoui-Peng-Quenez 12, Pardou
28、x1硕士学位论文 38 和 Jia 32 等； 第 三 , 对 倒向随机微 分 方程 的解 空 间进 行 一 般 化 ， 即将最 初 的 L 2 (Q, F t , P )空 间 拓 展 为 轉 ,F t , P)(p 1 )空 间 , 然 后 依次 弱化 生成 元 g 的 条件， 如， Briand-Delyon-Hu-Pardoux-Stoica 6, Fan-Jiang 16, Ma-Fan-Song 37, Fan 13, Fan-Jiang 22, Fan-Jiang 18, Fan-Jiang 19等 .但 是 这 样 的 倒向随机微 分 方程 和我们理论 较 早 成 熟 的 随机
29、微 分 方程 又 有 怎 样 的 联系呢？ Xia-Lin2011研 宄 了 具 有 两点边值问题 的 随机微 分 方程 存在 平方 可 积 解 . 本文 第二 、三 章 也 从随机微 分 方程 的 角 度 入 手 , 但 主要 研 宄带边界值限 制的 随机微 分 方程 p-范数 解的存在 性,证明 完毕解的存在 性 后 继 续考 虑 解的 连续 依赖性 .在 证明 的过 程 中 ,我们可以 发现 我们 众 所 周 知的 倒向随机微 分 方程 ( 1.1)式 只是 本文 带边界值限 制的 随机微 分 方程 取 特 殊 边界值 的一 种 情 形. 故 而本文的研 宄 结 果方程 ( 1.1)完全
30、适用 ,下 文不 再 累 述说明 .1.2 研究现状 （ Research Status)在 实 际研 宄 中 ,方程 ( 1.1)中的 扩散项 常常被考 虑 成 噪音 .因此很 自然 地 我们 就 想 到 去 讨 论如 下 一 般形式 的 倒向随机微 分 方程 ：Yt = e + / f(s,Y s,Z s)ds - / g(s,Ys,Zs)dBs, t G 0,T, (1.2) t t解的存在 性 .Peng1994研 宄 了 方程 (1.2)发现它 的 扩散系 数 g(s， ys， zs)不 能被 任 意分 配 ，它 必 须 满足 一个 必 要 条件 - - （ E-well posed
31、 condition)：(H1) 对 Va G Rk,b G ,其 中 b = 1 ,则 至 少 存在一对 (y, z) G Rm x Rk , 使 得 数量积b(g(t,y,z) - g(t,y,a) = 0.若 g(t,y,z) = z ,则方程 (1.2)就 转 变 成了 方程 (1.1),且条件 (H1)仍 然 满足 ，这可 能 也 是 为 什么 那 么多 人 去 研 宄方程 ( 1.1)的 原因 . 若 g(t,y,z) = 1 ,则 有 g (t,y,z)- g(t,y,a) = 0 ,这时 就 不 满足 条件 (H1)了 .但 是 这时 候 的 方程 (1.2)就变 为了：Yt
32、= f(s,Ys,Zs)ds - dBs, t G 0,T, (1.3)t t方程 (1.3)在 (2004)年 已 经被 Protter证明出具 有一对适 应 解：(Y t,ft)= (T - 1) j 0 T s， 1 )其 中 Yt = (T - t) f ( t d - s是 一个 布朗 桥 (Protter,2004).相 似的，有一对适 应 过 程 ：(Yt, ft) = (exp(T - t) ! f & , ( / 1 T s - 1 exp(T - t) f 告 )21 绪论 满足 如 下方程 BSDE:Yt = 1+ / f(s,Ys,Zs)ds - YsdBs, t G
33、0,T, (1.4)t t但这里的 扩散系 数 g(t,y,z) = y 仍 然 不 满足 必 要 条件 (H1).这 些例 子 告诉 我们 应该去寻找 一 种 不同的 方 法 去 研 宄形 如 方程 (1.2)般形式 的 倒向随机微 分 方程 .Xia-Lin2011研 宄 了 具 有 两点边值问题 的 随机微 分 方程 ：dYt = ft dt + a(t, Yt) dBt, AYo + BYt = 6 (1.5)通 过 把漂移项 f t作为 控 制 项 ,在 Lipschitz条件 下 存在解 （ Yt， ft), 并 且同时获 得 方 程 (1.5)存在适 应 解时的关 于 (e ,f
34、,a )的 约 束条件 .这 样 的解 被称 为 变 分法解 .注 意 到 当 A = 0 ,B = I 时 ,方程 (1.5)则变 为如 下 BSDE :Yt = e + / fsds - a(s,Ys)dBs, t G 0,T, (1.6)t t此 时的 方程 (1.6)即为我们开 篇 回顾 的 方程 (1.1).1.3 研究内容 （ Research Contents)本文 主要 研 宄 如 下带边界值限 制的 n 维随机微 分 方程 ：| dXt = ft dt + a(t,Xt)dWt, t G 0,T ( ) AXo + B X t = e. .其 中 _/ : 0,T Rn,a
35、: Q x 0,T x Rn Rnxd. 布朗运动 生成的 a代数流记 为 (Ftto.本文的 第二章是 本文的 主要 结 果 ,我们 利 用 变 分法研 宄方程 (1.7)的 P-范数 解的存在 性 ,存在 性 的 证明 我们分三步进 行 .在这里 Briand-Delyon-Hu-Pardoux- Stoica 6 利 用 拓宽 的 伊藤 公 式证明 的关 于 B S D E的 Lp 解 ,和 Yong-Zhou47里 面 的 利 用 小区 间上不 动点原 理 证明 关 于 S D E的 Lp 解的 方 法分 析, 我们 发 现 这 两种 处理 Lp解的 方 法 应 用 于方程 (1.7)
36、均 不适用 .所以我们在本文中 受 Xia- lin(2011)的 启发 ，针 对 方程 (1.7)应 用了 变 分法 探宄 解的存在 性 ,即 :第 一步 , 我们 构 建了 方程 (1.7)的 Picard的 迭代 解 序列 ( H ) ， t G 0,T,并 且 证明 解 序列 (X t n, f t n) G Sp x M p 空 间 .第二 步 ,我们 证明 解的 序列 (X fD t G 0,T分 别 为 和 M p 中的 柯西 收 敛列, 且收 敛到 过 程 (Xt ,ft) 第 三步 ,证明 ( X t f 是带边界 值限 制的 n 维随机微 分 方程 (1.7)的 P-范数
37、解 .本文的 第 三 章 我们 举例说明第二章构造出 来的 方程 (1.7)的解 只是它 的一 种 具 有 较好性 质的、 形式特 殊 的解 .所以我们 只能证明方程 (1.7)P-范数 解的存在3硕士学位论文 性 ,却 无 法给 出它唯 一 性 的 说明 .但 是 这 样 的解 由于性 质 较好, 我们在本 章 进而 讨 论了 方程 (1.7)在 P-范数 意 义 下 的解的 连续依赖性 . 最后 ,在 第 四 章, 我们对本文进 行 了 简单 的 总 结与 展望 .1.4 预备知识 (Preliminaries)作为本 章 的结束 ,下 面把 一 些基础 的知识 ,基 本 记 号 以及 几
38、 个后 面 要 用 到 的定 理 ,公 式介绍 如 下 ：我们 介绍 一 下 本文后 面 要 用 到 的一 些记 号 .用 1a 表示 集合 A 的示 性函数 , 用 | 卜 | |表示 欧氏空 间 Rd中 元素 x 的 欧氏范数, 用 x y 表示 x, y G R 的内 积. 设 (B t)tc是 完 备概率空 间 队 F , P)上的 d 维 标准 布朗运动 ，（ 万 ) 是由 （ B tk o 生成的 自然 a-域流, 我们 总 假 定 (F)to是 右 连续 且完 备 的， 并 设 F t = F .用 L 2 (Q, F t , P )表示所有 R 值 F t -可 测 且 满足
39、|i|L = E|i|2 1, 是由满足下 面 条件的 R k实值 且适 应 的 连续 过 程（ Yt)teo ,T 组 成的 集合 | | Y|sp ： = (E sup 剛 ) + .V te0,T J很明 显 ， II lisp是空 间 S P上的 范数 . 进一步 ,MP是由满足下 面 条件的 Rd-实值 且 （ Ft)-循序 可 测 过 程（ Zt)tecvr组 成的 集合| | Z | | m p :=E ( J : |Zt| 2 d t)显然 ,Mp是 一个 Banach空 间 .在 接 下 来的 几 章 内 容 中， 我们 主要 研 宄形 如 (1.7)的 SDE,其 中 终端
40、 条件 i 是 F t -可 测 的 ;终端 时间 T 有 限 ， 即 0 g T +;且对 任 意的 （ X , f ) G R x Rn,下 面 我们给 出 SD E (1.7)解的定 义 .定 义 1.1 (P-范数 解 ) . 若 一对 循序 可 测 的过 程 对 (X t， ft)teor满足方程 (1.7),并 且 落 入 S p x 空 间， 则称其 为 方程 (1 .7 )的一个 P - 范数 解 .下 面把 一 些基础 的知识、 基 本 记 号 以及 几 个后 面 常 用 到 的 引 理 介绍 如 下.下 面 的 引 理 1.2本 身就是 鞅 表示定理 ,它 来 自 于 Yo
41、ng-Zhou47中的定理 5.7.引 理 1 .2 .连续 的 平方 可 积 鞅 （ M t)teo,T可表示为 随机 过 程 . 即 :对 V(Mt)teo ,T， 存 在 唯 一的 f (s),使 得 Mt = E(M t) + f (s)dBs.丄 /P +OC.41 绪论 下 面 的 引 理 1.3可以 看 作为 “倒向 的 Gronw all不等 式 ”， 在本文的 证明 中 发 挥 着 重要 的作用 ,读者可 从 文 献 46中 参 阅 .引 理 1 .3 .设 a 0 ,0 t T +且 函数 卢 (r) : t,T R+ 满足 f tTp (s) ds + .令 函数 u(r
42、) : t, T 4 R十 满足 sup u(r) + w 且ret,T u(r) a + f p (s)u(s) ds, r G t, T.J r则u(r) 2 (d 2)P i (d i )J Ql X2 Q x J 2( X (i,2 )P i (d i )P 2(d2)! J QlGirsanov 定理 设 W = Wt, 0 t T,为 Brown 运动 ， H = Ht, 0 t T 为可 测 适 应 过 程,满足 t/ H 2 sds oc a.s.Jo对 t G 0,T,令C r t 1 p t 、Zt(H ) = exp (y HsdWs - 2 j H 2 S ds 假 定
43、EZt (H ) = 1 令 概率测 度 Q满足 dQ|Ft = Z t (H ) ,及Wt = Wt - Hsds (0 t T),so5硕士学位论文 则 （ Wt)为 Q - Brown 运动 .D o o b不等 式 设 X = X n, n G N 为 鞅 或 非负下 鞅 , 记 X : = sup Xk| , X *k0llX* 1 1, 1 +1 = 1；n p qEX * f 1 + sup E|Xn log+ |Xn II).e - 1 nBurkholder-Davis-Gundy (简记 为 BDG )不等 式 对一 切 p 0存在之 依赖于p 的 普 通常数 A 0 及
44、B 0 使AEMp/2 E(MT *)p B EMp/2对一 切 M 及一 切停 时 t 成立 ,其 中 M 是 零初 值连续 局 部 鞅 , M t * = sup |Ms|.0s 1, q 1 且 1/p + 1/q = 1 (约 定 1 + 1/ =1), X , Y 为 随机变量 , 则 成立E|XY | x) 0.Lebesgue控 制收 敛 定理 若 X n, n 1 为 随机变量序列 ， |Xn| Y , Y 可 积 , lim Xn = X 存在 ,则nlim E x : = E Xn上 述 的 基础 知识读者可 从 (SidneyResnick (1998),(黄志远 （ 2
45、001),(汪嘉冈 (2005)中 参 阅 .62 带边界值限制的 n 维随机微分方程 P-范数解的存在性 2 带边界值限制的 n 维随机微分方程 P-范数解的存 在性 2 Existence of P-norm solutions for the two-point boundary value problem of n dimensional stochastic differential equations2.1 引言及主要结果 （ Introduction and Main Results)El Karoui-Peng-Quence (1997)第 一 次 研 宄 了 B S D E的
46、 Lp 解 ,他 们在 随机变量 i 和 随机 过 程 (g(t, 0 ,0)teo ,T 是 p 可 积 , 生成 元 g 关 于 y, z 是 Lipschitz连续 的 条件 下 , 得 到 了 多维 B S D E的 L P解 是 存在 唯 一的 , 其 中 p 1 .当 生成 元 g 关 于 y 单 调 且 是多 项 式 增长 的 , Briand-Carmona (2000)证明 了 多维 B S D E的 Lp解 是 存 在 唯 一的， 其 中 p 2.当 p 1, Briand-Delyon-Hu-Pardoux-Stoica (2003)在生成 元 g关 于 y 单 调 且关
47、 于 z是 Lipschitz连续 的条件 下 , 证明 了 多维 B S D E有一个 唯 一解 . 当 随机变量 i 是 p 可 积 和 (g(t, 0 ,0)teo,T 是 有 界 的 随机 过 程 且 1 p o.对 于 p 1,引入空 间 S p 和 M p:S p = X. : Q x 0,T Rn | Vt G 0,T,Xt G Ft, E(sup |Xt|P) ，tM p = f. :Q x 0,T R n | Vt G 0,T ,ft G Ft, E( f T |ft|p dt) .o易 知 , S p 和 M p均 为 Banach空 间 . 为 方 便 起 见 ， 设 矩
48、阵 A + B 满 秩 .这一 假设 是合 理的， 具体 分 析 见 下 文 . 记 rank(B) = k ,不 失 一 般性 地 . 假设 B 可分解为 f 0 0 I ,其 中 B 22 G Rkxk可 逆 ， 1 k n .若 k = 0 ,即 B = 0 .此 时 ,方y B 2 1 B 22 J程 组 （ 2 .1 )退化 为一 般 的 SDE.7硕士学位论文 Ning-Mao Xia和 Ai-Hong Lin在 1中给 出 了 问题（ 2 .1 )解的等 价 表 述 ：引 理 2 .1 .假设 问题（ 2 .1 )中 矩阵（ 乂 + B ) 可 逆 ， 且 下 文所有 涉 及 积
49、 分、条件期 望 均 有 良 好 定 义 ， 则问题（ 2.1)有一适 应 解 当 且 仅当(1) 初 值问题Xt = Xo + / f (s,Xs) ds + / a(s,Xs)dWs 0 0有适 应 解 ,其 中(2.2)-1 E(e |Fo) - E ( 2 fs ds |Fo X o = (A + B)( 2 ) 满足限 制条件：B= e - E(e | Fo) - B I a(s,Xs)dWs. lo丨 : f s ds - E ( 2 f s dse | F o r T(2.3)在 引 理 2.1的 基础 上 ,Ning-Mao Xia和 Ai-Hong Lin在 1中的定理 3.
50、1证明 了 方 程 （ 2 .1 )具 有适 应 的 平方 可 积 解 .而本 章 的 主要 内 容是 研 宄方程 (2.1)P-范数 解的存 在 性 .注 2 .2 .若 （ 乂 + B )奇异 ， 设 其 秩 为 m ,则 存在可 逆 阵 U 和 （ C1, C2) G Rmxn,满足h 、 , 0 0 U-1(A + B)U Cl C2相应 地 , 令 Yt = U-1XtU = I 2 |, ft = U- 1 ftUdt = U- 1a(t,Xt)U = 卜 (t,X t)( ) r 2 (t,Xt)所以 只 需 对 dYt = ft dt + a(t, Xt) dWt, T TC1
