1、对 2009 年广东省深圳市中考数学试卷压轴题解法的探讨与反思笔者分析 2009 年广东省深圳市中考数学试卷压轴题的最后一道小题及其解法,对比 2008 年广东省深圳市中考数学试卷压轴题及其解法,结合平时的教学,浅谈一些体会,与大家共享.一,2009 年广东省深圳市中考数学试卷压轴题简析题目已知:RtABCA 的斜边长为5,斜边上的高为 2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边 AB与轴重合(其中 OAOB),直角顶点C 落在 Y 轴正半轴上(如图 1 所示)y,A|o,i图 1(1)求线段 OA,OB 的长和经过点A,B,C 的抛物线的关系式.(2)如图 2,点 D 的坐标为(2
2、,0),点 m,n)是该抛物线上的一个动点(其中 rig0,0),连接交 BC 于点.,A|oDj图 2当 ABDE 是等腰三角形时,直接写出此时点 E 的坐标.又连接 CD,CP(如图 3 所示),ACDP 的面积是否有最大值?若有,求出CDP 面积的最大值和此时点 P 的坐标;若没有,试说明理由.林日福(广东省深圳市宝安区教研室),/A|oD互图 3分析:第(1)小题中 ,易求得经过点A,C 的抛物线的关系式为 Y=一 1+二+2;第(2) 小题中的第问是常见的最大面积问题,这是近几年中考命题的热点,既考查了动点问题,又考查了常用的函数思想,数形结合法等数学思想方法,解答方法多样,灵活.对
3、于第(2)小题中的第 问,参考答案中给出了以下两种解法.解:(解法 1)如图 4,连接 OP.y/./DDj陉 l4ScDP=|s 四边形 CODP 一|s cnD=SoP+sP s=2m+2n 一争22=rrt+n 一 2=m 一手 m2+手 m+22=一2(m-5)225,所以当 m=手时 ,cDP 的面积最大,此时点 P 的坐标为 (手,孕),S的最大值为孚.(解法 2)如图 5,6,过点 P 作 PFiOx于点 F,)r/A|oDFj图 5,PAfo,D,互图 6则 Sc 丑尸=S 梯形一 Sc0D 干 sD=(2+n)m 一 22 一 (m 一 2)n=m+n 一 2:m 一手 m+
4、22=一上25)2+孚,所以当 m=手时 ,P 的面积最大,此时点 P 的坐标为 (手,争),s 一的最大值为25.X【评析】这两种解法都是借助坐标轴,通过辅助线对图形进行“割补 “,再寻找各图形之间的面积关系,这是求解平面图形(特别是不规则多边形) 面积的常用方法,也是考查图形面积时的常用命题点.阅读完成此题及其解法后,笔者联想822009 年第 10 期中国数学教育SHtTtYANJlu 誊/试囊研究 1.,到了 2008 年广东省深圳市中考数学试卷易得点 G 的坐标为(2,一 3),直线 AG 所以 PQ=n 一( 一 m+2)=/rt+n 一 2.的压轴题及其所提供的参考答案.的表达式
5、为,=一 1.所以 s 一=|s 脚 T-s聊二,2008 年广东省深圳市中考数学设 P(,一 2x 一 3),:(m+n 一2)2试卷压轴题简析则 Q(,一 1),尸 Q=+2.zI 题目如图 7,在平面直角坐标系 S:s 出田+s卿 m 一:三数 yax2.+.bx+c.(a的图:(:+2)3m 一争 m+手 m22象的顶点为 D,与 Y 轴交于点 C,与轴 2,交于 A,两点,AA 在原点的左侧,点:一3x一11+一27 一m 一 J当=时,3o)的面积最大.aIIA当 :一一 2I“的面8积最“大.所以当 m=一 511AAP2 时,cDP 的面积蠢y 此时点 P 的坐标为 (1,一1
6、51,大,此时点 P 的坐标为(寺)?/的最大值为下.7.J则取八阻|【评析 1 这两道压轴题都是求坐标平的直线来对 尸 cD 进行?t 割补“,其难/面内“ 动态三角形“ 的最大面积问题 ,其是要对动点 P 的不同位置进行分类.这硬 c提供的解题方法都是“割补法“,2009 年类位置的解法是相似的,因而可以整合在上,jri 就 C】怠|lLLL.,色 nHIlt 一L.标和AP 面积的最大值y/.0/B:cD图 8分析:由第(1)小题可求得这个二次函数的表达式为 Y=2 一一 3.此题第(4)小题所提供的参考答案如下:解:如图 9,过点 P 作 Y 轴的平行线,交 AC 于点 Qy|A:c图
7、 9小题中第问的解法作进一步探讨.1.借助三角形的定边所在的直线来对三角形进行“割补“解法 3:如图 10,11,过点 P 作oy,交直线 cD 的延长线(或直线CD)于点口.yA.|o.;图 1O 口PAi0Dj图 l1因为 c(o,2),D(2,0),所以直线 cD 的表达式为,=吨+2因为尸(m,n),所以 q(m,一 m+2).轴的平行线时,发现与线段 CD 没有交点,于是在紧张的心态下也就没作进一步的研究.解法 4:如图 12,l3,过点 P 作尸口,交 CD(或 CD 的反向延长线)于点 Q.y/A.|oD,互图 12Q:PA|oDj图 l3因为 c(o,2),0(2,0),所以直
8、线 cD 的表达式为,=+2因为 JP(rR,n),所以 9(2 一 n,n).所以 Pp=tn(2 一凡)=,+n 一 2.中国数学教育2009 年第 10 期33所以.s=S聊S脚=11xPQ2=m+n 一 2=m 一 m+22=一2fm 一 2+8./所以当 m=时 ,ACDP 的面积最大,此时点 P 的坐标为 (手,).所以 s 卿的最大值为等.【评析】此解法的难点之一是用点 P的坐标(字母表示) 来表示出点 q 的坐标(字母表示 ),教学中发现这也是学生所难以突破的.另一方面,对于图 13 这种情形,学生是很难考虑到的,但它的解法与图 12 是相似的,同样可以进行整合.2.借助坐标轴
9、来对三角形进行“割补“解法 5:有两种情况.(1)如图 14,延长 CP,交轴于点 Q.y/A.一一|0DfQjl 堑 l14设 JD(m,n),因为 C(0,2),所以直线 PC 的表达式为 y=+2.m所以点 Q 的坐标为(2m,0).所以 SA=.s唧一 S( DS聊=2 一争 22 一 1一2m 一2)n=m4-一 2=m 一手 m+22一.-(m5J2+ 争所以当 m=时,cDP 的面积最大,此时点 P 的坐标为 (手,孚).所以 s 一的最大值为孚.(2)如图 l5,反向延长 CP,交轴于点 q.,Pq/oDj图 15设 m,n),同理可得口 f,01.,一凡,所以 SACDPS
10、溯一 S唧=2 一 )n 一2 一 )2=m+11,一 2=m 一m2+孚 m+22=一上22)+等./8所以当 m=时 ,ACDP 的面积最大,此时点 P 的坐标为 (手,).所以.s 御的最大值为争.【评析】此方法有如下的难点:(1)要运用字母来表示出直线 Pc 的函数表达式,进而求出点 q 的坐标;(2)要进行分类讨论,两种情况的思维方法与运算结果虽然相同,但解答过程不同,因此不能仿解法 3,解法 4 那样将两种情况整合在一起.四,反思综合上述各种解法分析,坐标平面内求不规则图形的面积常用的方法是“割补法“, 它的基本思路是通过添加适当的辅助线,借助坐标轴或固定线段所在的直线来对图形进行“割“ 或“补“,以使每一个图形的面积均能比较易求,进而使问题得解.而如何进行“割“ 或“补“,对于不同的学生来说,往往会有不同的选择.
