1、高等数字通信 Advanced Digital Communications 第四讲 波束成形，PAM 陈巍 教授回顾传输波形的信号空间 L_2传输波形可以表示为某种正交展开 信号空间与向量空间具有某种相似性 向量空间具有成熟的数学工具 内积与投影 () () l kk kl ut u t l kk kl u ue本讲概要 投影的一个典型应用 波束成形，迫零与空分多址 熟悉一种常见的调制方法 PAM脉冲幅度调制 夯实一个理论基础 延时正交函数与Nyquist准备多天线通信概述 多天线系统 Multi-antenna System 包括如下三种情况 单入多出（SIMO）：发端单天线，收端多天线
2、多入单出（MISO）：发端多天线，收端单天线 多入多出（MIMO）：发端多天线，收端多天线 基站具有多根天线，终端具有一根天线时，其上行 和下行传输各属于以上哪种情况？ 多天线通信既可以提高传输的自由度，又可以提高 传输的分集度，但二者之间有某种折中单入多出通信的波形模型 我们先从单入多出通信开始讨论 Single Input Multiple Output 发射机传输的信号为 接收机具有N根天线，其第n根上接收波形的信号部 分为 写成向量形式 () () kk k xt x t () () nk k k yt h x t 注意我们说的是信号部分， 没有包含噪声 量 () kk k xt yh
3、 Tx Rx 忽略噪声的两个原因： 1.我们还没学严格的噪声理 论；2.不影响我们的讨论单入多出通信的向量模型 我们希望检测第k个符号x_k，则将每个天线的 接收波形向基 作投影，并且略去下标k 针对每根天线得到系数 写成向量形式就是 () k t x yh Tx Rx nn yx h x是随机的，离散的，承载信息 h是确定的，由信道估计得到 研究目的：根据y尽可能准确的判断x，注意实际系统中存在噪声最优化问题 为了对y进行判决，一般先把它变成一个标量 对于线性变换，可以将其看作一个内积 直观来看，系数越大，则不同的x区分的 也越大，判决的准确性越高 不考虑w本身对系数的放大作用，我们约定 于
4、是有最优化问题 * , xx wy w h wh | | 1 w max : , . | | | | 1 st wh w 这种放大其实是没用的， 因为同时也放大了噪声 如果你从含有噪声的模型 推导这个优化问题，可能 数学上更严谨，留为选做 的作业题供大 家参考最优权向量 显然，求解优化问题 最优权向量为 证明：根据Schwarz不等式 为了让等号成立，则 再由约束条件 ，得 max : , . | | | | 1 st wh w | | h w h ,| | | | | | | | | wh w h h , wh | | | | 1 wh 1 | | h直观的解释 直观解释1 从内积观点来看
5、在单位圆（球）上的w，只有与h同方向时，内积才 能最大化 这个解释直接导致了基于Schwarz不等式的证明 直观解释2： 从投影观点来看 将 像某个子空间投影，使得不同的x具有最 大的区分度 以BPSK为例 h w x yh , xAA Vs p a n w h h 两种解释在数学上的细微 差别是什么？通信上的名词 接收波束成形（Receiver Beam Forming） 给定w后，相当于在信号空间内用一个接收波束赵 向确定h的发射机，故此得名 最大比合并（Max-Ratio Combination） 故名思意：最大化信噪比的线性加权合并 Tx Rx 这两个名词在本质上是一致 的，不过在传统
6、文献中用 MRC多一些，最近讨论鲁棒 性的文献中用BF多一些！两个用户的情况 现在，我们考虑系统中有两个用户 信号模型 忽略噪声，类似的推导可以得到 Tx1 Rx Tx2 11 22 xx yhh 这里面那些是随机的？哪 些是确定的？优化问题 接收机的研究目标是 只接收来自于一个用户的信号，而把来自另一个用 户的干扰剔除掉 具体途径 仍然采用线性加权方法，即做内积 选择权向量w，使得 * 11 22 1 1 2 2 , , xxx x wy w h h wh wh 期望信号 干扰信号 2 ,0 wh 强迫干扰信号 部分为0 ， 简称迫零迫零 Zero Forcing 只要选择权向量w，使得 即
7、可 显然，若h_2在某子空间的投影为0，则任取该子空 间中的向量w，都可以达到迫零得目的 这样的子空间也称为h_2的正交空间 2 ,0 wh 如何能确定正交空间呢？ 一种方法是采用Gram Schmidt正交化！ 一般来说，迫零向量的选择不是唯一的。因此， 为进一步优化留下了空间！ 什么时候唯一 ？ 2 h进一步的要求 注意上面得到的w往往不是唯一的，我们可以 从中选出我们最喜欢的一个 新的目标 在对干扰信号迫零的同时，最大化期望信号的功率 优化问题的数学表示为 1 2 max : , ,0 . | | 1 st wh wh w 几何直观：从h_2正交子空间的单位球面上找 到最大化与h_1内积
8、的w迫零波束成形 Zero Forcing Beam Forming（ZFBF） 几何直观 2 h 1 h w 看上去找w不是一个简单的工作！ 但是不要忘了几何直观给我们带来的帮助！迫零波束成形的计算 权向量的确定 2 h 1 h w 步骤1：将h_1向h_2 投影，算出垂直分量 步骤2：对垂直分量 进行归一化 2 12 11 2 2 2 , | | h hh hh h h 2 2 1 1 | | h h h w h 如果有多个干 扰用户 怎么办？ 什么时候ZFBF最好？ 什么时候ZFBF最差？ZFBF的物理解释与SDMA ZFBF的物理解释 在信号空间上形成波束，将波束的零方向对准干扰 信号
9、，将其最强的方向对准期望信号 通过选择不同的权向量，就可以把来自不同用户的 信号区分开来，从而实现空间的复用 这项技术称为空分多址（Spatial Division Multiple Access，SDMA） 问题1：SIMO空分多址系统最多能容纳多少互 不干扰的用户？ 问题2：基站多天线，用户单天线系统中，下 行传输如何实现空分多址？MISO的波束成形，迫零与SDMA 基站多天线，用户单天线时 下行链路（Downlink）是MISO模型 其信号模型是 单用户 多用户 Tx Rx , yx wh , ii i i i yx wh SIMO和MISO的本质 是一致的，所以这里 不再赘述，大家可以
10、 验证一下对应的理论脉冲幅度调制 Pulse Amplitude Modulation，PAM 这是一种最基础和直观的调制方式 直接对应于L_2函数展开的形式 其中，信息加载于正交组合的系数 但是，我们关心的是 这个表达式中正交基的选择 () () kk k xt x t 考察的因素包括：因果性，频谱效率，解调方式！平移正交基 如果一个L_2函数平移kT后与其自身正交 则称其具有平移正交性质 如果我们选择平移正交函数的不同时移作为正 交基 则调制可以满足，或近似满足因果性 () ( ) k tp tk T 00 () , ( ) 10 k pt pt kT k () ( ) k k xt xp
11、t kT 不严格的说：当p(t)只在0附近非零时，kT时刻附近 的波形只决定于第k个及附近的信息承载符号脉冲与正交基 在通信工程中，将平移正交函数 称为脉冲 （Pulse） 第k个符号控制了平移到kT位置的脉冲p(t-kT) 的幅度，故得名脉冲幅度调制 由于具有平移正交性质，PAM的解调非常简单 () pt () ( ) k k xt xpt kT () , ( ) ( ) , ( ) kk k xtptk T xptk Tptk T x 在不同时段执行同样的操作就可以实现解调 这里其实还藏 着 另 一重玄机！如何构造平移正交函数 我们必须能够构造的平移正交函数作为脉冲 构造的准则称为Nyqu
12、ist准则： L_2函数p(t)平移kT正交，当且仅当其Fourier变换 满足 证明：令 则并 且 于是，转化为要证明 2 |( /) | () () m p f m T rect fT Trect fT * () ()* ( ) gt pt p t () ( ) ,( ) gkT ptpt kT 2 ()|() | gf pf 00 () ( /)() () 10 m k g kT g f m T rect fT Trect fT k Nyquist准则的证明 这里我们不打算采用书上的证明，有兴趣的同 学看Gallager书定理6.3.1、6.3.2和4.7.1 注意到g(kT)的等效表示
13、 进行Fourier变换得 换言之 () ( ) () m gt t mT t 10 () 00 k gkT k (/ )()() m g f m T rect fT Trect fT 1 () * 1 m m gf f TT 因果性和带限性 这里我们简要讨论一下因果性和带限性的问题 因果性：严格陈述为 其充要条件由Paley-Wiener定理给出，即 注意ln函数在0点为无穷大，Paley-Wiener定理指 出：时域有限必频域无限，频域有限必时域无限 , ( ) 0 tp t 2 | ln | () | 1 pf df f 因此因果性和带限性不能同时达到，在实现中只能近似！PAM信号的能量
14、和功率 PAM信号的能量 作为L_2信号，PAM信号的功率为0，但若考虑 在0，KT区间的平均功率，则为 2 () ,() ( ) , ( ) | | kkk kkk E xt xt xpt kT xpt kT x 22 () ,() 1 1 | | kk k xt xt Px E x KT KT T 这个估算对于熟悉等效基带模型的SNR换算是有帮助的 很多情况下不 必 考 虑1/T作业 选做 在本讲对SIMO的讨论中，我们忽略了噪声的存在。 若考虑噪声，则SIMO的信号模型为 其中，噪声向量n的各分量均为独立同分布的高斯 噪声。求最大化信噪比 的加权向量w。 x yhn 2 2 |,| |,
15、| Ex E wh wn SNR推荐阅读 D. TSE and P. Viswanath，Fundamentals of Wireless Communications, Chapter 5.3 R. G. Gallager, Principles of Digital Communications, Chapter 6.1- 6.4 P. Viswanath, D. TSE, and R. Laroia, Oppertunistic Beamforming and Dumb Antenna, IEEE T-IT, 2002,06. T. Yoo and A. Goldsmith, On the Optimality of Multiantenna Broadcast Scheduling Using Zero-Forcing Beamforming, IEEE JSAC 2006.03高等数字通信 Advanced Digital Communications 谢谢！ Thanks！
