1、 4-70 4-2-2 M进制正交（类）信号的差错率 (1) M进制正交信号 发送信号： 12 ( ), ( ),., ( ), 0 M s stst st tT 等能量： 2 0 () s T si E std t ， 1, 2 , , iM 等概率发送： 1 m P M 正交： 0 s T ij s i j ststd tE 。 信号矢量： 4-71 1 0 , , 0 mss m mM EE Se ， 1, 2, , mM 接收信号： () () () m rt s t nt ， 1, 2 , mM ， s T t 0 最佳接收机：信号解调、检测 4-72 ) ( 1) ( 1 1 t
2、s E t f b T dt 0 ) ( T t 1 r) (t r T dt 0 ) ( M r 1 () () MM b fts t E 检测 器 () st 性能分析：发送信号为 1 () s t （ 1 s ）时， 4-73 接收信号： ) ( ) ( ) ( 1 t n t s t r ， 0 s tT ， () nt 为零均值，其 PSD 为 2 0 N 的高斯随机过程。 信号解调后的观察矢量为 12 , , ., M rr r r ， 111 1 1 0 1 () () s T s rr t f tsnEn 其中， 2 11 0 1 () () 0 , s T n S nn t
3、s t d t N E ， 2 0 2 n N m r 0 1 () () , 2 ,3 , , s T m S rts tdt m M E 2 0, mn nN ， 2 0 2 n N 4-74 检测器： 1 (, ) , 1 ,2 , , M mk m k k Cr s mM rs 111 (, ) T S CE r rs rs (, ) , 2 , 3 , , T mmS m CE r mM rs rs 正确判决： 1 2 (, ) (,) M m m CC rs rs 1 2 M m m rr 2131 1 , M rrrrrr 错误判决： 11 22 (, ) (, ) MM mm
4、mm CCr r rs rs 正确判决概率： 12 1 3 11 Pr | Pr , , , M cr r r rr r s 4-75 = 1 2131 1 1 Pr , , , ( ) mr rrrrrrrxpxd x = 1 2 Pr ( ) M mr m rx px d x 2 0, mn rN ， 2 2 2 1 () 2 n m t r n pt e 2 2 2 2 2 11 Pr 22 n n t x t x m n rx ed t ed t 2 1 , s n rNE ， 2 2 1 2 1 () 2 s n xE r n px e ，所以 2 12 2 , 0 2 11 1 1
5、 1 ( ) exp ( ) 2 22 x y M s eM c E PP e d x yd y N 4-76 注 1计算 , eM P ，一般情况需进行数值计算。 注 2 , eM P 为符号差错率， 0 s s E N 为符号信噪比。为比较性 能，需要转换成比特差错率和比特信噪比。 比特信噪比：设 2 k M ( 2 log kM )， s b Ek E 1 bs k 比特差错率： 1) 相等的符号错误概率：任两个信号点距离相等，所 以任一符号错误成其他符号的概率都相等（比特 4-77 不需要进行 Gray 编码） 。 2) 因观察量中的噪声分量独立， 因此错误判决事件相 互独立。 3）现
6、假定发送符号为 1 s ，错误判决概率为 , eM P ，由上 述条件知， 判断成其他某一符号的概率为 , 1 1 eM P M 。 4) 假定 1 2 . 1 00 0 k s ，即k比特零。分析第 1 比特位置， 23 , M ss s 中共有 /2 M 个符号第 1 比特位置为 1， （ /2 1 M 个第 1 比特位置为零） ，即有 /2 M 个符 4-78 号在比特 1 上产生错误， , 1 21 eb eM M PP M 。 5) 其他比特位置同样，所以 , 2( 1) eb eM M PP M 。 6) 1 M 时， , 1 2 eb eM PP 由此，对 , eM s P 关系
7、修正得到 , eb b P 关系。 注 3由 , eb b P 性能曲线，对给定 , eb P ， b M 。 注 4联合界：在发送 1 s 条件下， 4-79 记（成对）错误事件： ,1 1 (, ) (, ) mm ECC rs rs ， M m , , 3 , 2 条件错误事件： 1, 1 2 | M m m Err E s , 1, 1 2 2 Pr Pr M M eM m m m m PEE 成对错误概率（PEP） ： ,1 0 Pr s m E EQ N ， M m , , 3 , 2 , 1 00 1P r ( 1 ) ss eM m EE PMEMQ M Q NN 由 Cher
8、noff界， 0 2 0 N E s s e N E Q 4-80 000 22( / 2 l n 2 ) / 2 , 2 sb b Ek E NNk E N k eM PM e ee 当k 时，只要 0 /2 l n 2 bb EN （1.39 或 1.42 dB）时， , 0 eM P 。实际上， 0 /2 l n 2 b EN 时，由 Chernoff 界给定的 上界是相当松的， 而 0 /2 l n 2 b EN 时， 一个更紧的上界为： 2 0 (l n 2 ) , 2 b E k N eM Pe 。因此，只要 0 /l n 2 b EN =0.693（-1.6 dB） ， 当k 时
9、， , 0 eM P 。 注意： -1.6 dB是 AWGN 信道的仙农界，因此， M进制 正交信号是一种接近于 shannon 界的调制信号。 4-81 注 5错误概率界： 1) 上界 设发送信号为 m s ，接收机判决为 n s 的错误事件记为 :, , nm n m ED MD M rr sr s 事件 nm E 的概率为 2 0 Pr 2 nm nm d EQ N 因此，在发送信号为 m s 条件下，接收机错误判决的概率 为 4-82 1, 1, Pr | Pr Pr M M mn mn m nnm nnm Err E E s 应用全概率与 Bayesian 公式， （符号）差错率（假
10、设先 验等概） , 1 11 , 2 11 , 0 Pr | Pr 1 Pr 1 2 M eM m m m MM nm mnnm MM nm mnnm PE r r E M d Q M N ss4-83 min , nm nm d d ， 2 2 min 00 22 nm d d QQ NN ，所以 22 min min , 00 1 22 eM dd PMQ M Q NN 2) 下界 给定 m s 时，记 min,m d 为 m s 到其它信号矢量的最小欧氏距 离， min, mn m d ss ，则 2 min, 1, 0 Pr | Pr Pr 2 M m mn mn m nnm d Er
11、r E E Q N s 4-84 （因为 1, M nm nm nnm EE ） 其中nm 为最小距离的信号矢量。所以 , 1 2 min, 1 0 Pr | Pr 1 2 M eM m m m M m m PE r r d Q MN ss若记 min N 为信号集中，其距离为最小值的信号数量，则 2 min min , 0 2 eM Nd PQ M N 4-85 其中 min 2NM 。 (2) M进制双正交信号 发送信号： 2 M 个正交信号及其反极性信号。等能量 s E ， 等概率发送。 信号矢量： 2 1 2 2 0 , , 0 mss m M m M M m m EE Se ， 1,
12、2,., / 2 mM 接收信号： ,0 , 1 , 2 , mS rt st nt tT m M 最佳接收机： 4-86 ) ( 1) ( 1 1 t s E t f b T dt 0 ) ( T t 1 r) (t r T dt 0 ) ( /2 M r /2 /2 1 () () MM b ftst E 检测 器 () m st 性能分析： 4-87 假定发送信号 1 s t ， 1 , 0 , 0 s E s 观察矢量： 11 2 2 , M rr r rsn 12 2 , M nnnn 为零均值， 2 0 2 n N 统计独立的高斯 随机矢量。 相关量度： 11 , s CE r r
13、s ， 1/ 2 1 (, ) Ms CE r rs /2 (, ) ms m mM CE r rs 2 , , 2 M m 4-88 正确判别: 11 / 21 ,( ,)0 M CCr rs rs 且 11 1 1/ 2 1 , , mm m mM m CC r r rr CC rr rs rs rs rs ， 2 , , 2 M m 121/ 2 1 1 Pr( | ) Pr , ,| | , 0 M cr rrr r s 1 21 / 211 0 Pr| | , ,| | | ( ) Mr rrrrrxpx d x 而 2 2 0 0 0 /2 2 /2 0 11 Pr | 0 2 x
14、 t t x N N x m x N rxx ed t ed t N 2 2 0 0 0 1 2 /2 2 0 /2 0 11 . 2 s M xE x t N N x c N Pe d te d x N 4-89dy e dx e y M N E N E y N E y x s s s 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 1 2 1 , 1 eM P 得到 , eM P b （ s ）之间关系曲线。 注 1差错率性能和正交信号的性能相似。 注 2联合界： 1,1 / 2 2 M s dE ， 1, 1, / 2 min,1 2 mm M s dd d E ， 2 , , 2
15、M m 4-90 1,1 / 2 min,1 , 00 00 2 2/ 2 2/ 2 2 1 M eM ss dd PQ MQ NN EE QM Q NN (3) M进制单纯信号 M 进制单纯信号由 M 进制正交信号，通过减去平均值 （相当于信号星座图中将原点平移到平均值信号点） ， 因此， 距离特性不发生变化， 从而差错率关系同样成立， 只是平均信号能量需做修正。若正交信号的平均能量为 4-91 s E ，则单纯信号只要 M E s 1 1 信号能量，就能传达到相 同的距离特性，从而有相同的误码率性能。因此，信号 能量节省值为 dB M M 1 log 10 。可见，当 M1 时，信号节省
16、能量近似为 0，当 M=2 时，节省 3dB（实际上由正交信 号变换成反极性信号） 。 (4) M进制二进制编码信号 信号矢量为: 12 , mmmm N ss s s ， M m , , 2 , 1 其中 / mj s sE N ， N j , , 2 , 1 ， M m , , 2 , 1 4-92 假定信号点之间的最小距离为 ) ( min e d ，则符号差错率的上 界为 22 () () min min , 2 00 (1 )(1 ) 2 e x p 24 ee k eM e dd PMPMQ NN 4-2-3 M进制 PAM 信号 发送信号：M个信号波形为 () ()c o s2
17、mm c stAgt ft ， T t 0 ， M m , , 2 , 1 发送等概率。其中 4-93 21 m A mM d ， M m , , 2 , 1 信号矢量： 1 2 mg m sE A ， M m , , 2 , 1 T g dt t g E 0 2 ) ( 相邻点间的距离: min 2 g ddE 平均能量: 2 22 11 1 (2 1 ) 2 MM g avg m mm dE EsmM MM 22 1 1 6 g M dE 平均功率: 1 avg avg s avg PER E T 4-94 接收信号: () () () m rt s t nt ， T t 0 最佳接收机：
18、 ) (t r () f t T dt 0 ) ( T t r 检测器 () m st 性能分析：发送信号 mm s s 时， 观察矢量: m rsn 4-95 /2 M s /2 1 M s 2 g dEn 为零均值， 2 0 2 N 的高斯随机变量。 错误事件：内点 min /2 m rs d ， min 11 /2 2 22 g g dd E d E ； 最左点： 1m i n /2 rsd 最右点： min /2 M rsd 4-96 , 11 1P r 2 eM m g PMr sdE M = 2 / 0 0 2 2 . 1 g E d N x dx e N M M = 0 2 2
19、/ 2 2 2 1 N E d x g dx e M M = 0 2 / 1 2 N E d Q M M g , 2 0 6 1 21 (1 ) avg eM PT PQ M MN 2 0 6 1 21 (1 ) avg E Q M MN 4-97 2, 2 0 6log 1 21 (1 ) bavg ME Q MMN 注 1当 M=2 时，同反极性信号的情况。 注 2给定 , eM P ， M 时， b 注 3当比特信噪比 b 较大时，错误事件主要为检测器判 决成最小距离符号产生的错误。当采用 Gray 编码时， 一个相邻点符号错误只产生一个比特错误，因此 , , 2 11 log eb e
20、M eM PP P kM 4-98 4-2-4 M进制 PSK信号 发送信号： M个信号波形为 2 () ()c o s 2 ( 1 ) mc stgt ft m M ，0, 1 tT mM 等能量 s E ,假定发送等概率。 信号矢量： 22 cos ( 1), sin ( 1) ms s EmEm MM S 接收信号： () () m rt st nt ， T t 0 最佳接收机： 4-99 1 () f t T dt 0 ) ( T t 1 r) (t r T dt 0 ) ( 2 r 2 () f t 检测器 () m st 性能分析：假定发送信号 1 () st（ 1 ,0 s E
21、s ） ， 观察矢量： 12 1 1 11 2 2 , rr s ns n r 4-100 12 , s Enn 1 n ， 2 n 为零均值，方差 2 0 2 N n ，相互统计独立的高斯变 量。 当观察向量上落在下图所示 1 R 区域中，检测器正确判 决。正确判决概率为（观察）随机向量r位于 1 R 概率， 即 PDF 12 , p rr r 在 1 R 上的积分。 概率计算可以在直角坐标 系中进行计算，但采用极坐标可能更方便。 4-101 2 2 12 1 2 22 11 (,) e x p 22 s nn prr r E r r令 2 2 2 1 r r r ， 1 2 1 tan r
22、 r ，即 12 cos , sin rr rr 则： 2 ,22 2c o s exp 22 ss r rE Er r p 4-102 , 0 , r pp r d r 2 2 (2c o s ) sin 2 0 1 2 s s r er ed r 其中 0 s s E N 为符号信噪比，所以 , 1( ) M eM M Pp d 注 1 一般地，性能计算需进行数值计算。 注 2 M=2 时，为反极性信号，所以 4-103 , 0 2 s eb E PQ N 当 M=4 时， 等价于正交载波上两个 2-PAM的叠加， 所以 2 ,2 1 ce PP 2 ,4 0 2 111 b ec E P
23、PQ N 00 22 1 21 2 bb EE QQ NN 注 3给定 , eM P 时， M ， b 4-104 注 4M 1，且 0 1 s E N 时，近似计算： 2 sin () c o s s s pe , 1( ) M eM M Pp d 22s i n b Qk M 注 5采用 Gray 编码时， , 2 1 log eb eM PP M 4-105 注 6绝对相位 PSK 信号（参考相位为 0 ） ，实际使用中存 在 相位模糊问题。为克服相位模糊，发送端可进行差 分编码，而接收端首先进行绝对相位相干解调，然后 进行相邻区间的相位比较，从而获得发送信息，但这 种接收处理方法产生
24、误差扩散问题。 一种更实用的方 法是使用非相干（差分）相位检测器。 注 7联合界： min 2s i n/ s dEM min min , 00 2 2/ 2 2/ 2 eM dd QP Q NN 4-106 4-2-5 QAM信号 发送信号： t f t g A t f t g A t s c ms c mc m 2 sin ) ( 2 cos ) ( ) ( , 0 tT 信号矢量： 11 , 22 mm cgm sg AEAE s 接收机结构：相关解调（匹配滤波器解调）+ 检测器。 信号解调：两个相关器或匹配滤波器，产生观察信号 4-107 矢量（二维） ； 检测器：计算 M 个距离量度
25、，选择使距离量度最小的 信号矢量作为检测器的输出。 性能分析：性能取决于信号点在信号空间中的排列，即星 座的形状。 平均功率： 22 1 11 () M avg avg ms mc m PE AA TT M . 在错误概率性能上，应选择信号星座，在给定平均功 率条件下，使得 ) ( min e d 最大。 4-108 矩形 QAM 星座结构简单（I、Q 正交，可独立检测） ， 性能近似最优，实际中最常使用。 令 k 2 M ，若 k 是偶数（方形星座） 2 , , (1 ) 1 ce M eM PPP ， 2 , , 1( 1 ) eM eM PP ，其中 , 0 13 21 1 avg eM
26、 E PQ MN M 对任意 k， （一般矩形星座） 4-109 2 , 00 33 112 4 (1 ) (1 ) avg avg eM EE PQ Q MNM N 对非矩形星座， 0 2 ) ( min , 2 ) ( ) 1 ( N d Q M P e M e注： 比较矩形 QAM和 PSK 的性能，两者信噪比之比为 0 22 3 3 1 1 . 2 sin 2sin ( ) av s E MN M M M 4-110 4-2-6 OFDM信号 发送信号： 0 2 Re j ft RF st ste ， 0 tT ， k f kf ， 1 f T 复基带信号 11 00 1 exp 2
27、NN kkk k kk st s j ft s t T k s 为子载波k上的（复）符号 1 exp 2 kk tj f t T 为复基函数 信号空间维数：复数N 4-111 复信号向量： 01 1 , ,., N ss s s 接收信号： 实信号 RF RF rtstnt ， 复基带 () () rt st zt ， T t 0 最佳接收机：信号解调、检测 信号解调： （复数）基函数 1 exp 2 kk j ft T * 0 T kk rr tt d t ， 0,1,., 1 kN 4-112 * 00 1 * 0 0 1 , 0 TT kkk N T mmk k m N mmk k m
28、kk rs tt d tz tt stt d t n sn sn * 0 0 0, T kk n z t t dt N 相互统计独立复高斯 rsn检测器：寻找距离量度 , DM rs最小的信号向量 s。假设 k ， k s 为M 进制调制，需要计算 N M 。由于 k r 相互独 立，假设对 k s 检测， 4-113 11 222 00 , NN mmkk mm mm mk D M rs rs rs rs量度第二项与 k s 无关，因此 2 min k kk k s sr s ， 0,1,., 1 kN 即各个子载波可以独立进行检测，量度计算量为NM 。 注 1：OFDM等价于N 条并行、独
29、立的复信道 注 2：接收信号 rt，以抽样周期 / s TTN 进行离散化，则 1 0 12 exp N ks n rr n Tj n k N N 为离散接收数据的 Fourier 变换，可以使用 FFT 算法有 4-114 效计算 注 3：性能与2 维调制方式完全相同。 4-2-7 数字调制方法的比较 差错率性能是通信系统技术要求中的一个基本技术指 标，另一个重要的技术指标是频谱利用率 / b RW 。 假定基本脉冲 () gt 是矩形脉冲，时间宽度为T，基本脉 冲的频带近似为1/2T 。由 Nyquist抽样定理，信号带宽为W， 则信号不失真重构的最小抽样速率为 2W （对应于符号速 4-
30、115 率） 。现在符号速率为1/T ，所需最小信号带宽为1/2T 。 M进制 PSK： 1/ WT ，信号带宽与进制数无关。 2 log bb M k T RR ， 2 log b R M W M进制单边带 PA M： 1/ 2 WT ，由于上下边带具有 对称性，理论上去除上（下）边带不丢失信息。 2 2log b R M W 。 M进制 QAM： 2 log b R M W ，同 PSK 信号。 4-116 M 进制正交信号： 1 2 WM T 2 2log b M R M ，所以 2 2log b R M WM 。 对 M 进制双正交信号： 1 22 M W T ， 2 4log b R
31、 M WM OFDM 信号：假设各个子载波使用相同的 2 维调制， 单个子载波信号带宽 1/ WT ，N 个子载波信号总带宽 / WNT 。另外N 个子载波数据传输速率是单个子载 波数据传输速率的N倍，平均频率利用率等于单个子 载波的频率利用率。 4-117 调制进制数对频率利用率与功率利用率的影响： 对给定的 出错率指标，例如， , eb P 5 10 ， PAM/PSK/QAM （低维信号 2 N ） ： M ， b R W ， b ， 适用于频带受限情况； 正交信号（多维信号 2 N ，维数随进制数增加而增 加） ， M ， b R W ， b ，适用于功率受限场合。 4-118 注 1
32、AWGN 有限带宽W 的信道容量为 2 0 log 1 av P CW WN ，单位为 b/s。 数据传输速率 b R ，由信息论知道 22 0 l o g1 l o g1 sb b b n P RE RCW W P WN / 0 21 / b RW b b E NRW ， 上式给出了比特 SNR与频率利用率的关系（下界） 。 4-119 当 /1 () b RW 时， / 0 2 exp ln 2 ln / b RW bbb b E RR NRW W W ； 当 /1 (0 ) b RW 时， 0 ln 2 b E N 1.6 dB。 记 s n P SNR P ，输入 SNR，则 2 /l
33、 o g 1 b RW S N R 当 1 SNR （高 SNR）时， 2 /l o g b RW S N R 。SNR 增 加 1 倍，谱效率增加 1。在频带受限场合，为提高数 据传输速率，需要付出高昂的信号功率为代价。 当 1 SNR （低 SNR）时， 2 /l o g b RWS N R e ，谱效率 4-120 随 SNR 增加而线性增加。在信号功率受限场合，通 过扩展信号传输的带宽，可以有效提高数据传输速 率。 注 2相干解调时，各种调制方式比较： 调制方式 误码率 , eM P 频率利用率 b R W（带宽W） 4-121 二进制反极性 （基带） 0 (2 ) b E Q N2（
34、 1 2T ） M-PAM（SSB） , 2 0 16 2(1 ) ( ) 1 bavg E Q MMN 2 2log M（ 1 2T ） M-PAM（DSB） 2 log M （ 1 T ） M-QAM （方型星 座） 0 13 2(1 ) ( ) 1 s E Q M N M 2 log M （ 1 T ） M-PSK（M 4） 2 0 2(2 s i n ) av E Q M N 2 log M （ 1 T ） 4-122 正交（M-FSK） 0 (1 ) s E MQ N 2 log 2 M M （ 2 M T ） 双正交 00 (2 ) 2 ss EE MQ Q NN 2 log 4 M M （ 4 M T ） 注 3常用调制方式，以错误概率为参数，频率利用率与功 率利用率之间的关系，以及与信息论理论值的比较（参考教 材图5.2-17） 。由此可见，未编码数字通信系统与理论界有 相当的差距。
