1、科目： 数学 试卷名称 2015 年普通高等学校招生全国统一考试山东卷(理科)知识点检索号新课标 题目及解析1 1.（2015山东高考理科T1）已知集合 ，2|430Ax，则|24BxBA. B. C. D. (1,3)(,)2,3(,)【解题指南】先利用三个二次化简集合 A，进而求出集合 .AB【解析】选 C. ， ,故 .1Ax24x23x232.（2015山东高考理科T2）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 =zi1izA. B. C. D. 1ii1ii【解题指南】先求出共轭复数 ，进而求出复数 .z【解析】选 A.由 ，得 , .izi()=1+izi173.（2015山东高考理科
2、T3）要得到函数 的图象，只需将函数sin43yx的图象sin4yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位1212C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位33【解题指南】对于 一类的图象的左右平移问题，一定要将函数sinyAx变形为 再加以判断，即针对 的变化了 个单位（左加右减）.sinyxx【解析】选 B. 要得到 的图象，只需将sin4()12sin43yxx的图象向右平移 个单位，故选 B.sin4yx1222 4. （2015山东高考理科 T4）已知菱形 的边长为 ， ，则ABCDa60ABCBDCA. B. C. D. 23a2423a2【解题指南】因为 ， ，所以只
3、需求 和 .CDBABDABDA【解析】选 D. 由菱形 的边长为 , 得 ，a60C120，在 中由余弦定理得 ，所以30AB3.23cosaaa60 5. （2015山东高考理科T5）不等式 的解集是|1|5|2xA. B. C. D. (,4)(,1)(,4,)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号，也可以利用绝对值的几何意义，还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选 A. 当 时，原不等式化为 即 ，不等式恒x1(5)2x4成立；当 时，原不等式即 ，解得 ；当 时，原不15()5x等式化为 即 ，显然不成立，综上可得不等式的解集为 .()2x4 (,)解法 2：由绝对
4、值的几何意义可得数轴上的点 到 两点（距离为 4）的距离之x1,5差小于 2 的点满足 ，所求不等式的解集为 .x(4)解法 3：用排除法，令 符合题意，排除 C，D；令 符合题意，排除02B，故选 A.316. （2015山东高考理科T6）已知 满足约束条件 若 的最大,xy0,.xyzaxy值为 4，则 =aA. B. C. D. 323【解题指南】首先画出可行域，分情况讨论可得正确结果；还可以结合选择题的特点直接将选择支代入验证.【解析】选 B. 由约束条件可画可行域如图，解得, .若过点 时取最大值 ，则 ,(20)A1B(2,0)A42a验证符合条件；若过点 时取最大值 ，则 ，13
5、而若 ，则 最大值为 (此时 是最3azxy6,0)A大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)故选 B.36 7.（2015山东高考理科T7）在梯形 中， ， / ，BCD2ADBC，将梯形 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所22BCAD围成的几何体的体积为A. B. C. D. 234532【解题指南】因为直角梯形 的两底边分别为 ，高 ，则以 为ABCD1,21ABD轴旋转一周所得几何体是圆柱挖去同底的圆锥（高是一半）.【解析】选 C. 如图，所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥，其体积 . 523V56 8.（2015山东高考理科T8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
6、，从中随机取一件，其长度误差落在区间 内的概率为2(0,3)N(3,6)（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，2(,)N)68.2%P）(2)95.4%PA. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%【解题指南】因为 ，所以利用对称性可计算 的0,33,6一半.【解析】选 B. 由正态分布的对称性可得 ，1(0)8.2%4.13P，1(06)95.4%7.22P3647. 59.43 9. （2015山东高考理科T9）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆(,)y相切则反射光线所在直线的斜率为22(3)()1xyA. 或 B. 或 C. 或 D. 或535443【
7、解题指南】本题考查光的反射（对称性）及点到直线的距离公式.【解析】选 D. 反射光线过点 ，设反射光线所在直线方程为 ，(2,) 3(2)ykx即 ，反射光线与圆相切，圆心 到直线的距离等于半径 1，即230kxy(3,2)则 ，解得 或 .2143k910.（2015山东高考理科T10）设函数 = 则满足 的()fx1,2.()(2faf的取值范围是aA. B. C. D. 2,130,12,31,【解题指南】首先画出分段函数 的图象，再令 ，分情况讨论()fx()fat.()tf【解析】选 C. 函数 的图象如图所示， 因为对于()fx，总有指数函数 ，所以 成立时，令 ，只需考虑xR20
8、()(2faf()fat及 即分三类： 和 及 （ ）考虑.13t131a3121当 即 时，选项 A、B 都排除，只有 时满足题意.a49()f当 时， ，此时 ；()2af()(faf当 时， ，若 ，则 时 .131)3123()(2faf故 的取值范围是 .a,33 和 52 11.（2015山东高考理科T11）观察下列各式： ； ；014C0134； ；，照此规律，当 时，012554C012377CnN.212121nnn【解题指南】本题考查合情推理和组合数公式的计算.【解析】由类比推理可知第 个等式右端应该是 .事实上，由14n及 可知，02121121,nnnnCC 02nCC
9、，0 121212 212( )nnnn nn 即 .0 1211 4n【答案】 .4n212. （2015山东高考理科T12）若“ ， ”是真命题，则实数0,4xtanxm的最小值为 .m【解题指南】本题考查正切函数的性质（单调性和闭区间上的最值）.【解析】由 ，可得 .由 恒成立可知 ，即最小04x0tan1xt1值是 1.【答案】1. 14 和 49 13.（2015山东高考理科T13）执行右边的程序框图，输出的 的值为 .T【解题指南】本题将定积分和程序框图相结合很有新意. 【解析】因为 ，其中 ，所以10dnTx1100dnx时，输出 .1,;2,;3n 6T【答案】 . 67 14
10、.（2015山东高考理科T14）已知函数 （ ）的定义域和值()xfab0,1a域都是 ，则 = .1,0ab【解题指南】本题考查指数函数及其性质，应分 和 两种情况讨论.【解析】当 时, 函数 单调递增，则 ，无解；()fx10ba当 时，函数 单调递减，则 ，解得 ，故 .01a()fx1b12b32ab【答案】 .324815.（2015山东高考理科T15）平面直角坐标系 中，双曲线 ： （xOy1C21xyab）的渐近线与抛物线 ： （ ）交于点 ，若0,ab2Cp0,AB的垂心为 的焦点，则 的离心率为 .OAB2C1【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用，应从焦点和垂心出发
11、构造和 的关系，进而求出离心率 .,abcpe【解析】由对称性知 是以 为底边的等腰三角形，注意到双曲线的渐近OAB线方程为 ，抛物线的焦点 ，设点 ，则yxa(0,)2pF(,)(,)bAmBa，由 的垂心为 ，得 ， ，消2bmp 1OABFk21pba去 得 ，即 ，所以 ，故 .2pba254a294ca3ce【答案】 .318 和 19 16. （2015山东高考理科 T16） （本小题满分 12 分）设.2()sincos()4fxx（I）求 的单调区间；()f（II）在锐角 中，角 的对边分别为 .若 ， ，ABC, ,abc()02Af1a求 面积的最大值.【解题指南】先将函数
12、 化简成一个角的一个三角函数，再结合面积公式和()fx基本不等式求解.【解析】 （） 21cos2()4()sincos()sin4xfxxx.111si2i令 ，得 ；2,kxkZ,4kxkZ令 ，得 .32 34所以 的单增区间为 ，单减区间为()fx,()kk.3,()4kZ（）因为 ，且 为锐角三角形，所以 .1)sin02AfABC6A由 ， ，得 ，所以1a223cosbcaA231bcbc，所以 .2b123sin(3)4ABCS 即 面积的最大值为 .ABC23438 和 40 17. （2015山东高考理科T17） （本小题满分 12 分）如图，在三棱台 中，DEFABC，
13、分别为 的中点. 2ABDE,GH,ACB（I）求证： /平面 ；F（II）若 平面 ， ， ， ，求平面FDE45BAC与平面 所成的角（锐角）的大小.F【解题指南】 （）要证明线面平行可利用面面平行加以证明；（）设法构造两两垂直的三条直线，以便建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【解析】 （）证明：因为 是三棱台，且 ，所以DEABC2， .2BCE2AF因为 分别是 的中点，所以 ，因为 平面 ，,GH, /GHABFGH平面 ，所以 平面 ；/因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ， 平面/ /E， 平面 ，所以 平面 ；又因为 ，所以平面F/BEF=平面 ，因为 平面 ，所以
14、 平面 .ABEDA/D（）因为 平面 ，所以 ，又 ， ，CFCBACF所以 平面 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为x轴建立空间直角坐标系，因为 ，所以 ，设 ，则y 45B1E， ， ， ， ， ，所以(0,)B(2,0)(,20)A(1,)H(,0)G(2,)， ，设平面 的一个法向量为 ，则,1HG1,FF,xyzn，令 ，则 ，所以 .0yxzxz(1,0)n连接 ，可得 ，又 ，所以 平面B,GACBACBG.ACFD所以 是平面 的一个法向量，所以 .(1,0)BGACFDcos,BGn12所以平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 .FH6028 18. （201
15、5 山东高考理科T18） （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，nanS已知 .23nS（I）求数列 的通项公式；na（II）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .b3lognnanbnT【解题指南】 （） 要注意 并验证 是否满足所求出的关1S21系式；（）利用错位相减求解.【解析】 （） ，当 时， ；32n1632aS当 时， ，即 ，所以2n1nnaS 13nnn13,.na（）当 时， ，所以 ；当 时，13ab13b2n，所以 ，故1133lognnab1n1,2.3n当 时， ；1Tb当 时， ，2n234n nb 23113n则 ，3两式相减得 23119n nT，所
16、以1()23()()9823nn.1132()(43nnT因为 符合上式，所以 的前 项和 .1nb1132()(43nnT55 19.（2015山东高考理科T19） （本小题满分 12 分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，n则称 为“三位递增数” （如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 1 分；若能被 10整除，得 1 分.（I）写出所
17、有个位数字是 5 的“三位递增数” ；（II）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 .XEX【解题指南】 （）分十位数字是 2、3、4 讨论；（）先求 X 的可能取值及对应概率，再列举分布列及数学期望.【解析】 （）若十位数字是 4，有 145，245，345；若十位数字是 3，有135，235；若十位数字是 2，有 125.所以个位数字是 5 的“三位递增数”有145，245，345，135，235，125 共 6 个.（）个位数字是 3 时，有 1 个；个位数字是 4 时，有 3 个；个位数字是 5 时，有 6 个；个位数字是 6 时，有 10 个；个位数字是 7 时，有 15 个；
18、个位数字是 8 时，有 21 个；个位数字是 9 时，有 28 个，共 84 个.能被 10 整除的有 22 个，能被 5 整除，但不能被 10 整除的有 6 个，不能被 5 整除的有 56 个.X 的可能取值为 ，0，1; ; .()P684()PX62843(1)PX284所以 X 的分布列为0 1142342所以 X 的数学期望 EX .248 20.（2015山东高考理科T20） （本小题满分 13 分）平面直角坐标系 中，已知椭xOy圆 ： （ ）的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，以C21xyab0a3212,F为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆
19、 上.1F2FC（I）求椭圆 的方程；（II）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线E24xyabPCP交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .ykxmE,ABPOEQ（i）求 的值；|OQP（ii）求 面积的最大值.AB【解题指南】 （）由离心率 和 可求 ；（）将直线e12ar,abc与椭圆 和椭圆 C 联立消 ，再根据二次方程根与系数的关系求解面积的ykxmEy最大值.【解析】 （）因为两圆的公共点在椭圆 C 上，所以 .2314,2a又因为椭圆 C 的离心率为 ,所以32cea2,.cbc即椭圆 C 的方程为 .214xy（） （）椭圆 E： .26设 是椭圆 C 上任意一点，则 .直线 ： 与椭圆0(,)Pxy204xyOP0yxE： 联立消 得 ，所以21642222200016(1),4yxxy.即 .0(,)Qxy0OQP（）因为点 在直线 上，所以 ，点0(,)xykxm0ykxm到直线 的距离为 .0(2,)xyk22311d将 与 联立消 得 ，由km2164xyy(4)8460kx可得 . 022设 ，则 ，所以12(,)(,)AxyB21212846,kmxxk12x
