1、绝密启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至6 页。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题：本大题共 12 小题
2、，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=x|x=3n+2,n N,B=6,8,12,14,则集合 A B 中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D ）2解析： ，答案选 D.|2,6,814,xn（2）已知点 A（0,1） ，B（3,2） ，向量 =（-4，-3） ，则向量 =AC（A） （-7，-4 ） （B） （7,4） （C ） （-1,4 ） （D） （1，4）解析：由 及 点 A（0,1）可得点 C（-4，-2） ，则(4,3)C， 答案选 A.(,27B（3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z=（A）-2-i （
3、B ）-2+i （C）2-i （D）2+i解析：由（z-1）i=i+1 可得 ，答案选 C12izi（4）如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股数的概率为（A） （B） （C） （D）05102解析：由题意可知 1，2，3，4，5 中只有 3，4，5 这一组勾股数， ,答案选 C.3510CP（5）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y=8x 的焦点2重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
4、 解析：抛物线 C：y=8x 的焦点为 ，则椭圆 E 中的(2,0)21(0)xyab，答案故选 B.22 21,4,|6cbcabeabAB（6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米( 如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛解析：设圆锥底面半径为
5、 r，则 12384r= 16，所以米堆的体积为2163()54= 309，故 堆放的米约为 091.6222，故答案选 B.（7）已知 是公差为 1 的等差数列， 则 =4 ， =（A） （B） （C）10 （D）12解析： ，故1814110() 9,2(6),2 22nSaSaSaa答案选 B.（8）函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为（A） （k - , k - ）,k （B） （2k - , 2k - ）,k（C） （k - , k - ）,k （D ） （2k , 2k ）,k解析： ， ，由5112(),4424T()cos)4fx得 ，故答案选 D
6、.kxk32xk（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8解析：故答案选 C（10）已知函数 ，且 f（a）=-3，则 f（6-a）=（A）- （B）- （C ）- （D）-7454314解析：由题意知 ，答案选 A12 7log(1),7(6)(24xff（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都
7、为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 221rr= 254r=16 + 20，解得 r=2，故答案选 B.（12）设函数 y=f（x）的图像与函数 的图像关于直线 y=-x 对称，且 f（-2 ）xay+f（ -4）=1，则 a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4解析：函数 y=f（x）的图像上的任意一点 关于直线 y=-x 对称的点 在函数(,)xy(,)yx的图像上，即 ， ，则 y=f（x）的解析式为2xayya2log，从而 ，解得 ,答案选 C()log()f(2)431ff 2a第卷注意事项：第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。本卷包括
8、必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）在数列a n中， a1=2,an+1=2an, Sn 为a n的前 n 项和。若 Sn=126，则 n=.答案：6 解析：由 a1=2,an+1=2an,可得 .1172,26,2,6a（14）已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7） ，则a= .答案：1 解析：f(x)=ax 3+x+1， .271()31,()35,12afxaf a（15）x,y 满足约束条件
9、 ，则 z=3x+y 的最大值为 .答案：4 解析：画出可行域，经分析可知当 时 z=3x+y 取最大值为 4.1xy（16）已知 F 是双曲线 C：x 2- =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,68y）. 当APF 周长最小时，该三角形的面积为 .6答案： 解析：设 是双曲线 C：x 2- =1 的左焦点，而 P 是 C 的左支上一点，则128y,APF 周长等于|PF|2PAFAF,当且仅当点 共线时等号成立，点 在线段 上，线段|23A, A，代入 x2- =1 可得:6(0)yxx8y22(6)8,x，解得 （舍去） ，则 到直线29140x2,7(,)P的距离为 .:6
10、FAyx6186,|15252dSdAF三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知 a，b，c 分别为 ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求 ABC 的面积.2解：（）由题设及正弦定理可得 ，又 ，可得 ，2bacb2,ca由余弦定理可得 ；-6 分21cos4acB（）由（）知 ，因为 B=90，由勾股定理知 ，2b22bac故 ，得 ，所以ABC 的面积为 1.-12 分.2ac2ac（18）（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为
11、AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AE EC，三棱锥ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积36（19） （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （i=1,2， ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 xyw（x 1-8i（w 1- ）8i2（x 1- ）(y-8i（w 1- ） (y- )8iy） 2x)y46.6 563 6.8 289.8 1.6 14
12、69 108.8表中 w1 = 1, ， = 1x8iw（1） 根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 xx的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v1） ,（u 2 v2）. （u n vn）,其回归线 v= u 的斜率和截距的最小二乘
13、估计分别为：（20） （本小题满分 12 分）已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于M,N 两点.（1） 求 K 的取值范围；（2） 若 =12，其中 0 为坐标原点，求MN.OMN（21）.（本小题满分 12 分）设函数 .2()lnxfea（）讨论 的导函数 零点的个数；()fx（）证明：当 时， 。0a()2lfxa请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是 的直径，AC 是 的切线，OBC 交 于点 E。
14、（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 的切线； O（）若 CA= CE，求ACB 的大小。3（22）解：（1）证明：连结 AF，由已知得， .,AEBCA在 中，由已知得 ，故 ，连结 OE，则RtAECECD.OB又 ，所以 ，90 90O故 ,DE 是 的切线；-5 分D（）设 ，由已知得1,CEAx 223,1.ABEx由射影定理得 ,所以 ，即 ，可得 ，21x403x所以 . -10 分.60B（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 :x= ,圆 ： ，以坐标原点为xOy1C222(1)()1xy极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐
15、标系。（1）求 ， C2 的极坐标方程。1（2）若直线 C3 的极坐标为 = （ R）,设 C2 与 C3 的交点为 M，N,求C 2MN 的面积4（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=|x+1|-2|x-a|， a0.（1） 当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2） 若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.()由题设得 所以函数 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形12,1,()3,.xaxf的三个顶点分别为 ，于是 的面积为 ，(0)(21),()ABaC， ABC2(1)3a由题设得 ，而 a0，解得 ，故所求的 的取值范围是 .-10 分21)63aa,
