1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理数 答案解析注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设复数 z 满足 =i，则|z|=1+（A）1 （B） （C） （D）223【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20 cos10-c
2、on160sin10=（A） （B） （C ） （D ）323212【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30 = ，故选 D.12考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题 P： n N， ，则 P 为2n（A） n N, （B） n N, 2n（C ） n N, （D） n N, =2n2n【答案】C【解析】试题分析： : ，故选 C.p2,nN考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648
3、（B）0.432 （C）0.36 （D）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选 A.2330.64.C考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知 M（x 0， y0）是双曲线 C： 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个21xy焦点，若 0，则 y0 的取值范围是1F2（A） （- ， ） （B） （- ， ）336（C） （ ， ） （D） （ ， ）22【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八 尺，高五尺。问:积及为米几何
4、? ”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【答案】B考点：圆锥的体积公式（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 ，则（ ） 3BCD（A） (B) 143AB14A（C） (D) 413ADBC413ADBC【答案】A【解析】试题分析：由题知 =11()33AABAB，故选 A.143BC考点：平面向量运算(8) 函
5、数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为()fxcos)()fx(A)（ ）,k (b)（ ）,k14,+34, 214,2+34 (C)（ ）,k (D)（ ）,k14,+34 214,2+34 【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知， ，解得 ， ，所以1+4253=4，令 ，解得 ，()cos)4fx2,4kxkZ12kx324k，故单调减区间为（ ， ） ， ，故选 D.kZ13考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8【答案】C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0
6、,m= =0.5,S=S-12m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，2m执行第 2 次，S=S-m=0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2执行第 3 次，S=S-m=0.125, =0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是，循环，m执行第 4 次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.0078
7、125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，m执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图（10 ） 的展开式中， 的系数为25()xy52xy（A）10 （B）20 （C）30（ D）60【答案】C【解析】试题分析：在 的 5 个因式中，2 个取因式中 剩余的 3 个因式中 1 个取 ，2()xy2xx其余因式取 y,故 的系数为 =30，故选 C.513C考点：排列组合；二项式定理（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视
8、图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12. 设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得()fx21)ex0，则 的取值范围是（ ）()fxaA.- ，1） B. - ， ） C. ， ） D. ，1）32 3234 3234 32【答案】D【解析】试题分析：设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得()gx21)eyax0x在直线 的下方.0()gxya因为 ，所以当 时， 0，当 时， 0，()xe2x()gx12()gx所以当 时， =
9、 ，12maxg1-e当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故0x()()30yaxa，且 ，解得 1，故选 D.1ag1ge32e考点：导数的综合应用第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数 f(x)=xln（x+ ）为偶函数，则 a= 2a【答案】1考点：函数的奇偶性（14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标2164xy准方程为 。【答案】 235()xy【解析】试题分析：设圆心为（
10、 ，0） ，则半径为 ，则 ，解得a4|a22(|)|a，故圆的方程为 .学科网来源:学科网32a235()xy考点：椭圆的几何性质；圆 的标准方程（15）若 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值为 .104xyyx【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内yx一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.yx考点：线性规划解法（16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是 【答案】 （ ， ）62+【解析】试题分析：如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当
11、 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B= C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，平移 AD ，当siniBCEoo2sin30i75BE6+2D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在 BCF 中，B=BFC=75，FCB=30 ，由正弦定理知， ，即 ，解sisinCoosin30i75BF得 BF= ，所以 AB 的取值范围为（ ， ）.6262+考点：正余弦定理；数形结合思想三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）为数列 的前 n 项和.已知 0， = .nSnana2na43
12、nS（）求 的通项公式：（）设 ,求数列 的前 n 项和= 1+1 【答案】 （） （）2n164【解析】试题分析：（）先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列 的递推公式，可以判na断数列 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 的通项公式；na（）根据（）数列 的通项公式，再用拆项消去法求其前 n 项和. 学科网nb试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以1211143+aSa0=3，1a当 时， = = ，即2n221nna1nnn，因为 ，所以 =2，1()()()0a1a所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，na所以 = ；21（）由（）知， = ，nb11()(2)323n所以数列 前 n 项和为 =1b= .1()()()235723n 164n考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法（18）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。来源:学&科&网（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值来源:学科网【答案】 （）见解析（） 3
