1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于21i（A）第一象限 （B ）第二象限（ C）第三象限（D）第四象限答案：B解析：因为 ，所以复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，2i(i)i1i.12 21i(1,)故在复平面内所对应的点位于第二象限，故选（B）.2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A） （B ） （C） （D）ycosxysinxylnx2yx答案：A解析：选项（A）中的 是偶函数，且
2、由 得 ，解得 故函数存在co0,cos,2xkZ零点；选项（B）中的 是奇函数；选项（C）中的 的定义域为 ，所以 不sinyxlny(0)lnyx具有奇偶性；选项（D）中的 是偶函数，但方程 无解，即函数 不存在零点.2121x21故选(A).3设 , ，则 是 成立的:12px:xqpq（A）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件答案：A解析：由 ，解得 ，所以 ，所以 是 的充分不必要条件，故选(A.):x0,pq4下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是（ ）y2yx（A） （B） （C） （D）21y214x214214xy答案
3、：C解析：因为选项(C)中， ，所以渐近线方程为 ，故选(C).,abyx5已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）mn（A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行（B）若 ， 平行于同一平面，则 与 平行mn（C ）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线（D）若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面答案：D解析：因为 垂直于同一平面，所以 可能平行或相交，故(A)错；因为 平行于同一平面，所,mn以 可以平行或相交或异面，故(B)错；因为 不平行，但在 内可能存在与 平行的直线，如,mn 中平行于 交线的直线平行于 ，故(C)错；若假设 垂直于同一平面
4、，则 ，其逆否命题, ,mn/A CBPO即为(D)选项，故(D) 正确.6若样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，则数据 ， ， ， 的标准差为（ 1x210x812x210x）（A） （B） （C） （D）8563答案：C解析：因为样本数据 的标准差为 8，所以样本数据 的方差为 64，,而样本数据1210,.x 1210,.x的方差 ，所以标准差为 ，故选(C) .120,.x22()64Dx26417一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A） （B）33（C ） （D）答案：B解析：由该几何体的三视图可知直观图如图所示，其中侧面底面 ，且 ，由三视图中所给数据可知PAC
5、PACB，取 的中点 ，连结 ，则在 中，因为2BO,PBRtPOB，所以 ，所以 故选（B）1O223134S（ ） （ ） .8、 是边长为 的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论正确的ABC2,abAa Cb是（ ）（A） （B ） （C） （D ）1bab14答案：D解析：因为 又 所以 ，所以 ，故(A)错误；因为等2,2,abB2b边 的边长为 2， ，所以 ，所以 ，因为ABCAaB1，所以 ，故(B),(C)错误；又因为21()42abb，所以 ，故(D)正确；选(D).(4) 4()0b (4)BCab9、函数 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）2xfc（A）
6、， ， （B） ， ，0ab00ab0c（C ） ， ， （D ） ， ， 答案：C解析：由题意可知 ，易知 ，所以 ;当 时，xccx侧 (左 )视 图11俯 视 图2211正 (主 )视 图1122，所以 ;当 时， ，所以 ，所以 ，故选(C).2(0)bfc0y0axb0bxa0a10.已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函sinfxxA23x数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）f（A） （B）20ff02fff（C ） （D）2f答案：A解析：因为 ，所以 ，所以 ，当 时，T()sin()fxA23x，所以 ，所以 ，当 ，即232k26k62k时，
7、取得最大值，下面只需要判断 与最近的最高点处对称轴的距离, 距离越大，6x()fx20值越小.当 时， ， ，当 时， ， ，当 时，0k60.51k76x21.61k， ，所以 ，故选(A).56x52().(2)(0)ff二、填空题:本大题共 5 小题。每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置11. 的展开式中 的系数是 （用数字填写答案 ）371()xx答案: 5解析：由二项式通项公式得 ，令 ，得 ，所以 的系数3721417()rrrrTCxx5r45x为 .473C12.在极坐标中，圆 上的点到直线 距离的最大值是 8sin()3R答案:6解析：由 ，得 ，即 ，由
8、 ，得 ，即 ，i2xy22(4)16xy3yx30y圆上的点到直线的最大距离即为圆心到直线的距离加上半径，所以最大距离为 .46113.执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 为 n答案:4解析：第一次循环得到 ，此时3,2an，第二次循环得到 ，此1.4.5140.86.5a7,35an时 ，第三次循环得到 ，10 142此时 ，此时不满足判断条件，输出1.40.5a4n14.已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等于 n 14239,8ana答案: 2解析：因为 ，及数列为递增的,可解得 ，所以1423149,8a14,8.2,nnqS15. 设 ，其中 均为实数，下
9、列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 30xab,ab（写出所有正确条件的编号） ； ； ； ; .3,ab3,23,20,2ab1,2ab答案: 解析：令 ， ，当 时， ， 递增，必有一个实根，3()fxab2()fx()fx()f满足题意；当 时，由于选项当中 ，所以只考虑 这一种情况，所以03a3a所以2()(1)f， ()(1)2ffb极 大 ， ()(1)3fxfb极 小，要使方程有一根，则 或 ，所以 或 ，满足；故填b0fx极 大 0x极 小 .三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内16. (
10、本小题满分 12分)在 中， ,点 D 在 边上， ，求ABC3,6,324ABCBCABD的长。AD16.解 :设 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,由余弦定理得中,所以22 2cos(3)632os186(3)904ab .310又由正弦定理得, ;sin10i .3bBACa由题设知 所以0,4B23cos1i .10在 中，因为 ，所以 所以 由正弦定理得ADABD， 2ABD，17 (本小题满分 12分)已知 2 件次品和 3 件正品混放sin6sin3.(2)cos在一起,现需要通过检测将其区分, 每次随机检测一件产品,检测后不放回, 直到检测出 2 件次品或者检测
11、出3 件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检X测费用(单位: 元 ),求 的分布列和均值（数学期望）.X17.解 :(1) 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, ;1235).(0P(2) 的可能取值为 200,300,40025A1(0),PX3125AC3(0),0PX.64故 的分布列为X 200 300 400P 103610.()2435E18.(本小题满分 12分)设 , 是曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标
12、.*nNnx21nyx(,2)x(1)求数列 的通项公式;nx(2)记 ,证明 : .22131nT 4nT18. (1) 解: ,曲线 在21()()yxx21nyx点 处的切线斜率为 ，从而切线方程为(,2)(1).ynx令 解得切线与 轴交点的横坐标0, 1.nnx(2)证明：由题设和 (1)中的计算结果知22221313()().4nnTx 当 时， .当 时，因为 ,221222(1)()11()n nnx，所以 ().34nT综上可得，对任意的 均有,NnTB CDAB1A1 D1EF19.(本小题满分 13分)如图所示 ,在多面体 中, 四边形 , 均为正方形,1ABDC1AB1
13、,DAC为 的中点,过 , 的平面交 于 .E1BD1AEF(1)证明: ; /FC(2)求二面角 的余弦值.B（1 ） 证明：由正方形的性质可知 且 所以四边形 为平行四边1/,1,1形.从而 。又 平面 平面 于是 平面 .1/.BA1,ADEBC,AE1/BCADE又 平面 ，平面 平面 所以 .1C,1F.（2 ） 解：因为四边形 均为正方形 ,所以11,且11,ABAAB以 为原点,分别以 为 轴, 轴和 轴单位正向量建立1Dxyz如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标 111(0),(0),(),(0,)(,)(0,).D而 点为 的中点,E1B所以 点的坐标为 .5,.设面 的法
14、向量为 而该面上向量AD11(,)rstn由 得 应满足方程组1(0.,),011,AEn1,rst10.5.0,rst为其一组解,所以可取 设面 的法向量为 而该面上向量)1(,).BCD22(,)sn由此同理11(,)B可得 20,n所以结合图形知二面角 的余弦值为1EADB12| 6.3A20.(本小题满分 13分)设椭圆 E 的方程为 ,点 为坐标原点,点 的坐标为 ,21(0)xyabOA(0)a点 的坐标为 ,点 在线段 上, 满足 ,直线 的斜率为 .B(0bMAB|MA510(1)求 E 的离心率 ;e(2)设点 的坐标为 , 为线段 的中点,点 关于直线 的对称点的纵坐标为
15、,求 E 的方程.C()NCNB7220.解 :(1)由点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,点 在线段 上, 满足 ,知A0a(0)b|MA,即点 分线段 的比为 2,所以点 ;又直线 的斜率为 ,所以 ,即2BMB,3aMO5105210ba,由 得 .5ab22c24,5eae(2)因为 为线段 的中点, 所以 ，即 ,而直线 的方程为 ,即NAC(,)2abN5()2bAB1xyab;5xyb设点 关于直线 的对称点 的坐标为 则线段 的中点 的坐标为 又BS17(,)2xNST157(,).424xb点 在直线 上，且 从而有 解得 ,所以 ,故TAB1.NSABk1157441,725,
16、bxb3.b35a椭圆 的方程为E21.459xy21. (本小题满分 13分)设函数 .2()fxab(1)讨论函数 在 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(sinfx(2)记 ,求函数 在 上的最大值 D;200)ab0|(sin)(si)|ffx,2(3)在(2)中.取 ,求 满足条件 时的最大值.24az1D21.解 : (1) 2(sin)isisi(),fxxxab.xico,fa.2因为 所以,2xs0sinxx当 时, 函数 在 内是单调递增的，无极值;abR(i)f(,)当 时,函数 在 内存在唯一的 ，使得 当sx20x02sin.xa时函数 单调递减；当 时，函数 单调递增。因此02x(in)f 0(i)f 2时，函数 在 处有极小值, ;,bRsx0 2(sin).4afxfb当 时, 函数 在 内是单调递减的，无极值;a,(si)f,2(2) 当 时， ,2x0000|n(si)|()si|xfaxab当 时，取 ，等号成立，当 时，取 等号成立。由此00()bb2x可知， 在 上的最大值为 .0|(sin)(si)|fxf,200|Dab(3) 即为 时，此时 从而1D|1ab01,ab21.4z取 则 ，并且0,| 2.4z由此可知， 满足条件 时的最大值为 1.24azb1D
