1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷(理工农医类)共 4 页 .满分 150 分 .考试时间 120 分钟 .注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 .2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号 .3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上 .4.所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效 .5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回 .特别提醒:14、15、16 三题为选做题, 请从中任选两题作答, 若三题全做
2、,则按前两题给分 .一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.(2015 重庆,理 1)已知集合 A=1,2,3,B=2,3,则( )A.A=B B.AB=C.AB D.BA答案:D解析:因为 A=1,2,3,B=2,3,所以 BA.2.(2015 重庆,理 2)在等差数列 an中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( )A.-1 B.0 C.1 D.6答案:B解析:因为 an是等差数列,所以 2a4=a2+a6,于是 a6=2a4-a2=22-4=0.3.(2015 重庆,理 3)重庆市 2013 年各月的
3、平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A.19 B.20 C.21.5 D.23答案:B解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为 =20.20+2024.(2015 重庆,理 4)“x1”是“lo (x+2)1,即 x-1,而 x|x1x|x-1,所以“ x1”是“lo (x+2)0,b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C2222两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线 ,两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ ,则该双曲线的渐2+2近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1, +)
4、C.(- ,0)(0, ) D.(-,- )( ,+)2 2 2 2答案:A解析:设双曲线半焦距为 c,则 F(c,0),A(a,0),不妨设点 B 在点 F 的上方,点 C 在点 F 的下方, 则 B ,C .(,2) (,2)由于 kAC= = ,且 AC BD,则 kBD=- ,0(2) 2() ()2于是直线 BD 的方程为 y- =- (x-c),2 ()2由双曲线的对称性知 AC 的垂线 BD 与 AB 的垂线 CD 关于 x 轴对称,所以两垂线的交点 D 在 x 轴上,于是xD= +c= +c,(2) 2() 42()从而 D 到直线 BC 的距离为 c-xD=- ,42()由已
5、知得 - 0,340, 1, 所以 f(x)在( -,a)上单调递减,在( a,+)上单调递增,则 f(x)在 x=a 处取得最小值 f(a)=-a-1,由 -a-1=5 得 a=-6,符合 a-1;当 a-1 时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=3+21,. 所以 f(x)在( -,a)上单调递减,在( a,+)上单调递增,则 f(x)在 x=a 处取最小值 f(a)=a+1,由 a+1=5,得 a=4,符合 a-1.综上,实数 a 的值为 -6 或 4.三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17.(本小题满分 13 分,(1)小问 5
6、 分,( 2)小问 8 分)(2015 重庆 ,理 17)端午节吃粽子是我国的传统习俗 .设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个, 肉粽 3 个,白粽5 个,这三种粽子的外观完全相同 .从中任意选取 3 个 .(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望 .解:( 1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= = .12131531014(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且P(X=0)= = ,38310715P(X=1)= = ,1228310715P(X=2)= = .221831
7、0115综上知, X 的分布列为X0 1 2P715715115故 E(X)=0 +1 +2 = (个) .715 715 1153518.(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,( 2)小问 6 分)(2015 重庆 ,理 18)已知函数 f(x)=sin sin x- cos2x.(2) 3(1)求 f(x)的最小正周期和最大值 ;(2)讨论 f(x)在 上的单调性 .6,23解:( 1)f(x)=sin sin x- cos2x(2) 3=cos xsin x- (1+cos 2x)32= sin 2x- cos 2x- =sin - ,12 32 32 (23) 32因此 f(x)
8、的最小正周期为 ,最大值为 .232(2)当 x 时,02 x- ,从而6,23 3当 02x- ,即 x 时, f(x)单调递增,32 6 512当 2x- ,即 x 时, f(x)单调递减 .2 3 512 23综上可知, f(x)在 上单调递增 ;在 上单调递减 .6,512 512,2319.(本小题满分 13 分,(1)小问 4 分,( 2)小问 9 分)(2015 重庆 ,理 19)如图,三棱锥 P-ABC 中, PC平面 ABC,PC=3,ACB= .D,E 分别为线段 AB,BC 上的点,且2CD=DE= ,CE=2EB=2.2(1)证明: DE平面 PCD;(2)求二面角 A
9、-PD-C 的余弦值 .(1)证明: 由 PC平面 ABC,DE平面 ABC,故 PC DE.由 CE=2,CD=DE= 得 CDE 为等腰直角三角形, 故 CD DE.2由 PCCD=C,DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线, 故 DE平面 PCD.(2)解:由 (1)知, CDE 为等腰直角三角形, DCE= .4如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又已知 EB=1,故 FB=2.由 ACB= 得 DFAC, = = ,故 AC= DF= .2 23 32 32以 C 为坐标原点 ,分别以 , , 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间
10、直角坐标系,则 C(0,0,0),P(0,0,3),A ,E(0,2,0),D(1,1,0), =(1,-1,0), =(-1,-1,3), = .(32,0,0) (12,1,0)设平面 PAD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),由 n1 =0,n1 =0,得 故可取 n1=(2,1,1). 11+31=0,1211=0, 由(1)可知 DE平面 PCD,故平面 PCD 的法向量 n2 可取为 ,即 n2=(1,-1,0).从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为cos= = ,12|1|2| 36故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 .3620.(本小题满分 12 分,(1)小问
11、7 分,( 2)小问 5 分)(2015 重庆 ,理 20)设函数 f(x)= (aR) .32+(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值, 并求此时曲线 y=f(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程;(2)若 f(x)在3, +)上为减函数,求 a 的取值范围 .解:( 1)对 f(x)求导得 f(x)= = .(6+)(32+)()2 32+(6)+因为 f(x)在 x=0 处取得极值, 所以 f(0)=0,即 a=0.当 a=0 时, f(x)= ,f(x)= ,32 32+6故 f(1)= ,f(1)= ,3 3从而 f(x)在点( 1,f(1)处的切线方程为 y- =
12、 (x-1),化简得 3x-ey=0.33(2)由(1 )知 f(x)= .32+(6)+令 g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由 g(x)=0 解得 x1= ,x2= .62+366 6+2+366当 x0,即 f(x)0,故 f(x)为增函数;当 xx2 时, g(x)b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ PF1.2222(1)若 |PF1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程;2 2(2)若 |PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.解:( 1)由椭圆的定义,2 a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故 a
13、=2.2 2设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1 PF2,因此 2c=|F1F2|= = =2 ,|1|2+|2|2 (2+2)2+(2 2)2 3即 c= ,从而 b= =1.3 22故所求椭圆的标准方程为 +y2=1.24(2)解法一 :如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上, 且 PF1 PF2,则+ =1, + =c2,202202 2020求得 x0= ,y0= .222 2由 |PF1|=|PQ|PF2|得 x00,从而 |PF1|2= +(222 +)242=2(a2-b2)+2a =(a+ )2.222 222由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2
14、a.从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有 |QF1|=4a-2|PF1|.又由 PF1 PF2,|PF1|=|PQ|,知 |QF1|= |PF1|,2因此(2 + )|PF1|=4a,2即(2 + )(a+ )=4a,2 222于是(2 + )(1+ )=4,2 221解得 e= = - .121+( 42+21)2 6 3解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义, |PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有 |QF1|=4a-2|PF1|.又由 PF1 PQ,|PF1|=|PQ|,知 |QF1|= |P
15、F1|,2因此,4 a-2|PF1|= |PF1|,得2|PF1|=2(2- )a,2从而 |PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2- )a=2( -1)a.2 2由 PF1 PF2,知 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此 e= = |1|2+|2|22= = = - .(2 2)2+( 21)2 962 6 322.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,( 2)小问 8 分)(2015 重庆 ,理 22)在数列 an中, a1=3,an+1an+an+1+ =0(nN +).2(1)若 =0,=-2,求数列 an的通项公式;(2)若 = (k0N +,k02
16、),=-1,证明: 2+ 0,归纳可得3=a1a2anan+10.因为 an+1= = =an- + ,2+102120+120+10 1010 10+1所以对 n=1,2,k0 求和得=a1+(a2-a1)+( - )0+1 0+10=a1-k0 + + +1010( 101+1 102+1 100+1)2+ 10( 130+1+130+1+130+10个 )=2+ .130+1另一方面,由上已证的不等式知 a1a2 2,得00+1=a1-k0 + + +0+11010( 101+1 102+1 100+1)2+ 10( 120+1+120+1+120+10个 )=2+ .120+1综上,2 + 2+ .130+10+1 120+1
