1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为（ 32,6,8102,4AxnNBAB）（A） 5 （ B）4 （C）3 （D）22、已知点 ，向量 ，则向量 （ ）(0,1)3,2(,)A（A） （B） （C） （D）7)74(1,4)(1,4)3、已知复数 满足 ，则 （ ） z(iz（A） （B） （C） （D）22i2i2i4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）1,25（A） （B
2、） （C） （D）1015101205、已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 的焦点重合，2:8Cyx是 C 的准线与 E 的两个交点，则 （ ）,BA（A） （B） （C） （D）369126、 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）（A） 斛 （B） 斛 （
3、C） 斛 （D） 斛423667、已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）nanSa84S10a（A） （B） （C ） （ D）910128、函数 的部分图像如图所示，则 的单调()cos)fx()fx递减区间为（ ）（A） （B）13(,),4kkZ(2,（C） （D ）13(,),4kkZ13(2,),4kkZ9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）0.tn（A） （B） （C）7 （D）85610、已知函数 ，且 ，12,()log()1xf()3fa则 （ ）6a（A） （B） （C） （D）7453411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半
4、径为 ）组成一个几何r体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )1620r（A） （B）（C） 4（D） 812、设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ， ()yfx2xayyx(2)41ff则 ( )a（A） （B） （C） （D ）114二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分13、数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .n112,nnaSa126nS14.已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .3fx1,f,7a15. 若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 02yx16.已知 是双曲线 的右焦点，P 是 C
5、左支上一点， ，当 周长最小F2:18yC0,6AAPF时，该三角形的面积为 三、解答题17. （本小题满分 12 分）已知 分别是 内角 的对边， .,abcAB,2sinisnBC（I）若 ，求 abcos;B（II）若 ，且 求 的面积.90B2,aABC18. （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， ，BEACD平（I）证明：平面 平面 ；AECBD（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.120B,EAC6319. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量
6、y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 和年销售量i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.1,28iy（I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的yabxycdx回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：0.2z（i）当年宣传费 =49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分 12 分）
7、已知过点 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 交于1,0A2231xyM，N 两点.（I）求 k 的取值范围；（II）若 ，其中 O 为坐标原点，求 .12OMN MN21. （本小题满分 12 分）设函数 .2lnxfea（I）讨论 的导函数 的零点的个数；fxx（II）证明：当 时 .0a2lfa请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点 E.AAA（I）若 D 为 AC 中点，证明： DE 是 O 切线；（II）若
8、 ，求 的大小.3CEB23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点,x 轴正xOy1:2Cx222:11xy半轴为极轴建立极坐标系.（I）求 的极坐标方程.12,C（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.3R423,C,MN2C24. （本小题满分 10 分） （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 .12,0fxxa（I）当 时求不等式 的解集；1a1fx（II）若 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.fx2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文答案一、 选择
9、题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16） 12三、 解答题17、解：（I）由题设及正弦定理可得 =2ac.2b又 a=b，可得 cosB= = 6 分2ac4（II）由（I）知 =2ac.2b因为 B= ，由勾股定理得 .o9022acb故 ，的 c=a= .2ac=所以ABC 的面积为 1. 12 分18、解：（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD,所以 ACBE,故 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC,所以
10、平面 AEC平面 BED. 5 分 （II）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，又ABC= ，可得 AG=GC= ，GB=GD= .x o12032x2x因为 AEEC,所以在 RtAEC 中，可的 EG= .3x由 BE平面 ABCD,知EBG 为直角三角形，可得 BE= .2由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 = ACGDBE= .EACDV13364x故 =2 9 分 x从而可得 AE=EC=ED= .所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .6 5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 . 12 分519、解：（I）由散点图可以判断， y=c+d 适宜作为年
11、销售量 y 关于年宣传费 的回归方程式xx类型.（II）令 ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程式.由于wx,281()108.d=6iiiii，563.cyw所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ,因此 y 关于 的回归方程为y=1068wxy10.68x（） （i）由（II）知，当 =49 时，年销售量 y 的预报值 ，x10.6849=57年利润 z 的预报值 9 分z576.249.3（ii）根据（II ）的结果知，年利润 z 的预报值.=0.(1+8)-=1.620xx所以当 ，即 =46.24 时， 取得最大值.362x故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 12
12、 分20、解：（I）由题设，可知直线 的方程为 .l1ykx因为 与 C 交于两点，所以 . 解得 .l 23473k所以 k 的取值范围为 . 5 分47(,)（II）设 .12,MxyN将 代入方程 ，整理得yk2()(3)1y.2()470所以 .12122(),kxxkOMNcy2112xx.2418k由题设可得 =12，解得 k=1，所以 的方程是 y=x+1.2kl故圆心 C 在 上，所以 . 12 分lMN21、解：（I） 的定义域为 .fx20, (0)xafe当 0 时， 没有零点；afx，当 时，因为 单调递增， 单调递减，所以 在 单调递增，又 ，2xeafx0,0fa当
13、 b 满足 0b 且 b 时， ，故当 0 时 存在唯一零点.4a1()fbaf6 分（II）由（I） ，可设 在 的唯一零点为 ，当 时， 0；fx0,0x0x， fx当 时， 0.0x，故 在 单调递减，在 单调递增，所以 时， 取得最小值，最小值为f， 0， 0f.0由于 ，所以 .20xae00212afxxna故当 时， . 12 分1fn22、解：（I）连接 AE，由已知得，AEBC,ACAB.在 Rt AEC 中，由已知得，DE=DC,故DEC=DCE.连结 OE，则OBE= OEB.又OED+ABC= ，所以DEC+ OEB= ，故 OED= ，DE 是 O 的切线.o90o90o90A5 分
