1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，参考版解析）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共 6 页，时间 120 分钟，满分 150 分 .一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求 的.1.已知 21iiz（ 为虚数单位），则复数 z=（ ）A. i B. C. 1i D. 1i【答案】D.考点：复数的计算.2.设 A,B 是两个集合，则 ” AB”是“ AB”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得， AB，反之，
2、ABA，故为充要条件，选 C.考点：集合的关系.3.执行如图 1 所 示的程序框图，如果输入 3n，则输出的 S( )A. 67 B. 3 C.89 D. 41y时，xz3的最小值是 7，故选 A.考点：线性规划.5.设函数 ()ln1)l()fxx，则 ()f是（ ）A.奇函数，且在 0,上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1)上是减函数C. 偶函数，且在 ()上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数【答案】A.【解析】试题分析：显然， )(xf定义域为 )1,(，关于原点对称，又 )(1ln()l()( xfxf ，)(xf7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落
3、入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【答案】C.考点：正态分布.A.512 B. 3 C. 4 D. 6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移 个单位后，得到 )2sin()xg，又 2|)(|1xgf，不妨kx21， mx22， )(1mk，又 1min3， 63，故选 D.考点：三角函数的图象和性质.10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= 新 工 件 的 体
4、积原 工 件 的 体 积 ）（ ）A. 89 B. 16 C.34(21)D.312()【答案】A.考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.二、填空题：本大题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 20(1)xd .【 答案】 .【解析】试题分析： 0)21()(220xdx.考点： 定积分的计算.12.在一次马拉松 比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 4 所示.若将运动员按成绩由好到 差编为 135:号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .【答案】 4.【解析 】试题分析：由茎叶图可知，在区间 15,
5、39的人数为 20，再由系统抽样的性质可知人数为 435720人.考点：1.系统抽样；2.茎叶图.14，设 nS为等比数列 na的前 项和，若 1a，且 123,S成等差数列，则 na .【答案】 32-.考点：等差数列的通项公式及其前 n项和.15，已知32,()xaf，若存在实数 b，使函数 ()gxfb有两个零点，则 a的取值范围是 .【答案】 ),1(0,(.【解 析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程 )(3axb与方程 )(2axb的根的个数和为 2，若两个方程各有 一个根：则可知关于 的不等式组 ab31有解，从而 1；若方程 )(3axb无解，方程 )(2axb有 2 个根：则可知关 于 b的不等式组 ab31有解，从而0a；，综上，实数 a的取值范围是 ),1(0,(.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
